Veeltermen met reële coëfficiënten – bewerkingen, ontbinden en veeltermvergelijkingen

Blok 1: Ontbinden van een veelterm

Ontbinden van veeltermen en toepassing van Horner’s regel

Definitie

Het ontbinden van een veelterm betekent het herschrijven van een veelterm van graad n als een product van factoren van lagere graad, meestal tot op het niveau van lineaire en irreduceerbare kwadratische factoren met reële coëfficiënten. Hierbij wordt vaak gebruik gemaakt van nulpunten en synthetische deling, waarvan Horner’s regel een typisch voorbeeld is.

Belangrijke concepten

Om een veelterm volledig te ontbinden:

• Zoek eerst de nulpunten van de veelterm. Een nulpunt $x₀$ van een veelterm $f(x)$ voldoet aan $f(x₀) = 0$. Voor veeltermen met gehele coëfficiënten zijn volgens de stelling van Rational Root de rationale nulpunten $x₀ = p/q$, waarbij $p$ een deler is van de constante term en $q$ een deler is van de hoogste graad-coëfficiënt.

• Elk gevonden nulpunt $x₀$ levert een lineaire factor op in de vorm $(x - x₀)$ indien $x₀$ positief is, of $(x + |x₀|)$ bij negatieve nulpunten.

• Na het delen door $(x - x₀)$ wordt het quotiënt opnieuw onderzocht op verdere ontbinding.

• Horner’s regel biedt een gestructureerde en efficiënte manier om het quotiënt te berekenen wanneer men deelt door een binomiale factor $(x - x₀)$.

• Controle is steeds van belang: na volledige ontbinding mag de vermenigvuldiging van alle verkregen factoren opnieuw de oorspronkelijke veelterm opleveren.

Formules en berekeningen

Voor een veelterm

is $x₀$ een nulpunt indien $P(x₀) = 0$.

Stel je deelt $P(x)$ door $(x - x₀)$, dan geldt volgens de delingsregel:

waarbij $Q(x)$ het quotiënt en $r$ het restgetal is. Als $x₀$ een nulpunt is, geldt $r = 0$.

Toepassing van Horner’s regel:

• De coëfficiënten worden onder elkaar genoteerd.

• Het nulpunt $x₀$ wordt systematisch toegepast om nieuwe coëfficiënten van het quotiënt te bekomen, door steeds te vermenigvuldigen en optellen.

• Het laatste getal is de rest (moet nul zijn indien $x₀$ werkelijk een nulpunt is).

De voorwaarden voor het zoeken naar mogelijke aldus rationele nulpunten zijn:

• De kandidaat-nulpunten $x₀$ voldoen aan: deler van $a₀$ (constante term) gedeeld door deler van $a_n$ (coëfficiënt bij de hoogste graad).

• Elke mogelijke nulwaarde moet effectief getest worden in de veelterm.

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Ontbind $P(x) = 2x^3 - 3x^2 - 8x + 12$ volledig.

Stap 1: Mogelijke nulpunten bepalen. De constante term is 12, de toonaangevende coëfficiënt is 2.

• Mogelijke waarden voor p: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12

• Mogelijke waarden voor q: 1, 2

• Kandidaat-nulpunten: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12, ±½, ±3/2, ±6

Testen van x = 2:

Dus x = 2 is nulpunt, (x-2) is factor.

Stap 2: Delen door (x-2) met Horner’s regel.

Coëfficiënten: 2 | -3 | -8 | 12

• Zet 2 over: 2

• 2 × 2 = 4 → -3+4=1

• 1 × 2 = 2 → -8+2 = -6

• -6 × 2 = -12 → 12+(-12) = 0

Nieuwe rij: 2 | 1 | -6 Het geeft: $2x^2 + x -6$

Stap 3: Ontbind verder: $2x^2 + x -6 = 0$

Zoek nulpunten: Discriminant: $\Delta = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49$

Oplossingen: $$