Wiskunde

Reële oplossingen van vierkantsvergelijkingen

Blok 1: Discriminant en aantal reële oplossingen

Definitie

Een vierkantsvergelijking is een vergelijking van de vorm ax² + bx + c = 0, waarbij a, b en c reële getallen zijn en a ≠ 0. De discriminant D van de vierkantsvergelijking wordt gedefinieerd als [INLINE EQUATION]D = b^2 - 4ac[/INLINE EQUATION]. Het teken van de discriminant bepaalt het aantal reële oplossingen van de vergelijking.

Belangrijke concepten

De discriminant bepaalt niet alleen het aantal reële oplossingen van de vierkantsvergelijking, maar geeft ook direct inzicht in de aard en factoriseerbaarheid van de vergelijking over de reële getallen. Afhankelijk van de waarde van de discriminant zijn er drie mogelijke scenario’s:

  • D > 0: Er zijn twee verschillende reële oplossingen. De grafiek van de bijhorende parabool snijdt de x-as op twee verschillende punten. In dit geval is de vergelijking volledig factoriseerbaar als product van twee verschillende lineaire factoren met reële coëfficiënten.

  • D = 0: Er is één reële oplossing, ook wel een dubbele wortel genoemd. De parabool raakt de x-as in één punt. Factorisatie leidt tot het kwadraat van een lineaire factor.

  • D < 0: Er zijn geen reële oplossingen. De parabool snijdt de x-as niet en er bestaat geen factorisatie van de vorm a(x - x₁)(x - x₂) met x₁, x₂ ∈ ℝ.

Deze opsplitsing is fundamenteel bij het analyseren van zowel de oplosbaarheid als de factoriseerbaarheid van vierkantsvergelijkingen binnen ℝ.

Formules en berekeningen

De discriminant wordt als volgt berekend:

[BLOCK EQUATION]D = b^2 - 4ac[/BLOCK EQUATION]

Op basis van D:

  • Twee reële oplossingen (D > 0): [BLOCK EQUATION]x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}[/BLOCK EQUATION]

  • Eén reële oplossing (D = 0): [BLOCK EQUATION]x = \frac{-b}{2a}[/BLOCK EQUATION]

  • Geen reële oplossingen (D < 0): [BLOCK EQUATION]x \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}[/BLOCK EQUATION]

Factorisatie over ℝ:

  • Indien D > 0: [INLINE EQUATION]ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)[/INLINE EQUATION], met [INLINE EQUATION]x_1 \neq x_2 \in \mathbb{R}[/INLINE EQUATION]

  • Indien D = 0: [INLINE EQUATION]ax^2 + bx + c = a(x - x_0)^2[/INLINE EQUATION], met [INLINE EQUATION]x_0 \in \mathbb{R}[/INLINE EQUATION]

  • Indien D < 0: Factorisatie over ℝ is niet mogelijk

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Gegeven de vergelijking [INLINE EQUATION]2x^2 - 8x + 6 = 0[/INLINE EQUATION].

Bereken de discriminant:

[BLOCK EQUATION]D = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 64 - 48 = 16 > 0[/BLOCK EQUATION]

Er zijn dus twee verschillende reële oplossingen:

[BLOCK EQUATION]x_{1,2} = \frac{-(-8) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 2} = \frac{8 \pm 4}{4}[/BLOCK EQUATION][BLOCK EQUATION]x_1 = \frac{8 + 4}{4} = 3, \qquad x_2 = \frac{8 - 4}{4} = 1[/BLOCK EQUATION]

De factorisatie over ℝ is:

[BLOCK EQUATION]2x^2 - 8x + 6 = 2(x - 3)(x - 1)[/BLOCK EQUATION]

Voorbeeld 2: Gegeven de vergelijking [INLINE EQUATION]x^2 + 4x + 4 = 0[/INLINE EQUATION].

Bereken de discriminant:

[BLOCK EQUATION]D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0[/BLOCK EQUATION]

Er is dus exact één reële oplossing:

[BLOCK EQUATION]x = \frac{-4}{2 \cdot 1} = -2[/BLOCK EQUATION]

De factorisatie over ℝ luidt:

[BLOCK EQUATION]x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2[/BLOCK EQUATION]

Voorbeeld 3: Gegeven [INLINE EQUATION]3x^2 + 2x + 5 = 0[/INLINE EQUATION].

[BLOCK EQUATION]D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 4 - 60 = -56 < 0[/BLOCK EQUATION]

Er zijn geen reële oplossingen, deze vergelijking is niet factoriseerbaar over ℝ.

Veel gemaakte fouten

  • Het verkeerd berekenen van de discriminant, bijvoorbeeld door de verkeerde volgorde van machtsverheffen en vermenigvuldigen, wat kan leiden tot een verkeerd aantal oplossingen.

  • Vergissingen bij het kwadraat nemen van negatieve getallen binnen de discriminant, zoals (-b)² verkeerd uitwerken.

  • Proberen te factoriseren over ℝ wanneer de discriminant negatief is; dit is conceptueel fout.

  • Het aannemen dat D = 0 altijd twee gelijke oplossingen betekent, terwijl er slechts één reële oplossing van multipliciteit twee bestaat.

  • Vergeten dat factorisatie bij D = 0 resulteert in het kwadraat van een lineaire factor, niet in twee verschillende factoren.

Blok 2: Som- en productregel bij vierkantsvergelijkingen

Definitie

De som- en productregel beschrijven de exacte verbanden tussen de coëfficiënten van een vierkantsvergelijking en haar reële nulpunten. In het bijzonder geldt voor de vierkantsvergelijking [INLINE EQUATION]ax^2 + bx + c = 0[/INLINE EQUATION] met nulpunten [INLINE EQUATION]x_1[/INLINE EQUATION] en [INLINE EQUATION]x_2[/INLINE EQUATION]:

[BLOCK EQUATION]ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)[/BLOCK EQUATION]

Door uit te schrijven en te vergelijken met de standaardvorm, worden de relaties tussen de som en het product van de nulpunten en de coëfficiënten vastgesteld.

Belangrijke concepten

De manier waarop de nulpunten samenhangen met de coëfficiënten wordt volledig gekarakteriseerd door:

  • De som van de nulpunten: [INLINE EQUATION]x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}[/INLINE EQUATION]

  • Het product van de nulpunten: [INLINE EQUATION]x_1 x_2 = \frac{c}{a}[/INLINE EQUATION]

Dit geldt zowel in het geval van twee verschillende reële nulpunten (D > 0) als bij een dubbele wortel (D = 0, waarbij [INLINE EQUATION]x_1 = x_2[/INLINE EQUATION]). Deze relaties zijn bijzonder krachtig in situaties waar directe berekening van de nulpunten omslachtig is, of bij algebraïsche manipulatie zoals het opstellen van vergelijkingen met specifieke oplossingsvereisten.

Voor het verifiëren van gevonden oplossingen of bij directe factorisatie, vormt deze regel een essentieel controlemiddel.

Formules en berekeningen

Startend van [INLINE EQUATION]ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)[/INLINE EQUATION]:

Uitgeschreven:

[BLOCK EQUATION]a(x - x_1)(x - x_2) = a[x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2] = ax^2 - a(x_1 + x_2)x + a x_1 x_2[/BLOCK EQUATION] [PARAGRAPH] Door vergelijking met de standaardvorm [INLINE EQUATION]ax^2 + bx + c[/INLINE EQUATION]: [/PARAGRAPH] [UNORDERED_LIST] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH][INLINE EQUATION]a = a[/INLINE EQUATION][/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH][INLINE EQUATION]b = -a(x_1 + x_2)[/INLINE EQUATION], dus [INLINE EQUATION]x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}[/INLINE EQUATION][/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH][INLINE EQUATION]c = a x_1 x_2[/INLINE EQUATION], dus [INLINE EQUATION]x_1 x_2 = \frac{c}{a}[/INLINE EQUATION][/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [/UNORDERED_LIST] [PARAGRAPH] Deze verbanden zijn altijd geldig voor vierkantsvergelijkingen met reële coëfficiënten, onafhankelijk van het teken van D, maar de nulpunten zelf zijn enkel reëel indien D ≥ 0. [/PARAGRAPH] [HEADING level=3]Praktijkvoorbeelden[/HEADING] [PARAGRAPH] [BOLD]Voorbeeld 1:[/BOLD] Gegeven [INLINE EQUATION]2x^2 - 5x + 3 = 0[/INLINE EQUATION]. Zoek de som en het product van de nulpunten. [/PARAGRAPH] [UNORDERED_LIST] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH]Som: [INLINE EQUATION]x_1 + x_2 = -\frac{-5}{2} = \frac{5}{2}[/INLINE EQUATION][/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH]Product: [INLINE EQUATION]x_1 x_2 = \frac{3}{2}[/INLINE EQUATION][/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [/UNORDERED_LIST] [PARAGRAPH] Controleer met expliciet uitrekenen van de nulpunten: [/PARAGRAPH] [PARAGRAPH] Bereken D: [/PARAGRAPH] [BLOCK EQUATION]D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1[/BLOCK EQUATION] [BLOCK EQUATION]x_{1,2} = \frac{5 \pm 1}{4}[/BLOCK EQUATION] [BLOCK EQUATION]x_1 = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}, \quad x_2 = \frac{4}{4} = 1[/BLOCK EQUATION] [PARAGRAPH] Inderdaad: [/PARAGRAPH] [UNORDERED_LIST] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH]Som: [INLINE EQUATION]\frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2}[/INLINE EQUATION][/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH]Product: [INLINE EQUATION]\frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2}[/INLINE EQUATION][/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [/UNORDERED_LIST] [PARAGRAPH] [BOLD]Voorbeeld 2:[/BOLD] Gegeven [INLINE EQUATION]x^2 - 4x + 4 = 0[/INLINE EQUATION]. [/PARAGRAPH] [PARAGRAPH] Som- en productregel: [/PARAGRAPH] [UNORDERED_LIST] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH]Som: [INLINE EQUATION]x_1 + x_2 = -\frac{-4}{1} = 4[/INLINE EQUATION][/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH]Product: [INLINE EQUATION]x_1 x_2 = \frac{4}{1} = 4[/INLINE EQUATION][/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [/UNORDERED_LIST] [PARAGRAPH] Bereken de oplossing: Discriminant [INLINE EQUATION]D = 16 - 16 = 0[/INLINE EQUATION], dus dubbele wortel: [/PARAGRAPH] [BLOCK EQUATION]x = \frac{4}{2} = 2[/BLOCK EQUATION] [PARAGRAPH] De som van de wortels: [INLINE EQUATION]2 + 2 = 4[/INLINE EQUATION], product: [INLINE EQUATION]2 \times 2 = 4[/INLINE EQUATION]. [/PARAGRAPH] [PARAGRAPH] [BOLD]Voorbeeld 3:[/BOLD] Een vierkantsvergelijking heeft als som van de nulpunten 7 en als product 10. Wat is de vergelijkingsvorm? [/PARAGRAPH] [BLOCK EQUATION]x^2 - (\text{som})x + (\text{product}) = x^2 - 7x + 10 = 0[/BLOCK EQUATION] [PARAGRAPH] Dit is een directe toepassing, zonder de specifieke nulpunten te kennen. [/PARAGRAPH] [HEADING level=3]Veel gemaakte fouten[/HEADING] [UNORDERED_LIST] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH]Signalenfouten bij het toepassen van de negatieve b-coëfficiënt, bijvoorbeeld verkeerdelijk [INLINE EQUATION]x_1 + x_2 = b/a[/INLINE EQUATION] in plaats van [INLINE EQUATION]-b/a[/INLINE EQUATION].[/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH]Toepassen van de som- en productregel op niet tot standaardvorm gebrachte vierkantsvergelijkingen (a ≠ 1), wat leidt tot foutieve berekeningen.[/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH]Verkeerde interpretatie bij complexe wortels (D < 0): de formules voor som- en product blijven algebraïsch geldig, maar de nulpunten zijn dan niet reëel.[/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH]Vergeten dat de factor a impliciet deel is van de relaties, wat tot foute berekeningen leidt als men rechtstreeks b en c invult zonder te delen door a.[/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH]Verwarren van de productregel van nulpunten met het product van de vierkantsvergelijking zelf.[/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [/UNORDERED_LIST] [HEADING level=2]Samenvatting[/HEADING] [PARAGRAPH] De discriminant, [INLINE EQUATION]D = b^2 - 4ac[/INLINE EQUATION], is het centrale analytische hulpmiddel om te bepalen hoeveel reële oplossingen een vierkantsvergelijking bezit. Indien [INLINE EQUATION]D > 0[/INLINE EQUATION] zijn er twee verschillende reële oplossingen en is factorisatie volledig mogelijk over ℝ; bij [INLINE EQUATION]D = 0[/INLINE EQUATION] is er precies één reële oplossing met multipliciteit twee en factorisatie verloopt via het kwadraat van een lineaire factor; bij [INLINE EQUATION]D < 0[/INLINE EQUATION] zijn er geen reële oplossingen en is factorisatie over ℝ uitgesloten. [/PARAGRAPH] [PARAGRAPH] De som- en productregel leggen een directe verbinding tussen de coëfficiënten van de vergelijking en haar nulpunten: [INLINE EQUATION]x_1 + x_2 = -b/a[/INLINE EQUATION] en [INLINE EQUATION]x_1 x_2 = c/a[/INLINE EQUATION]. Deze relaties zijn essentieel bij het snel bepalen of controleren van oplossingen, het opstellen van vergelijkingen bij opgegeven eigenschappen van de nulpunten, en bij factorisatie. Fouten ontstaan vooral bij verkeerde tekenkeuze of het vergeten aanpassen van de standaardvorm. [/PARAGRAPH] [HEADING level=2]Oefenvragen[/HEADING] [ORDERED_LIST] [ORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH][BOLD]Gegeven:[/BOLD] [INLINE EQUATION]3x^2 - 6x + 2 = 0[/INLINE EQUATION]. [BOLD]a.)[/BOLD] Bepaal de discriminant en geef het aantal reële oplossingen. [BOLD]b.)[/BOLD] Factoriseer volledig indien mogelijk. [BOLD]Antwoorden:[/BOLD] a.) [INLINE EQUATION]D = 36 - 24 = 12 > 0[/INLINE EQUATION] ⇒ twee reële oplossingen b.) Oplossingen: [INLINE EQUATION]x_{1,2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}[/INLINE EQUATION]. Factorisatie: [INLINE EQUATION]3(x - (1 + \frac{\sqrt{3}}{3}))(x - (1 - \frac{\sqrt{3}}{3}))[/INLINE EQUATION][/PARAGR][/ORDERED_LIST_ITEM] [ORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH][BOLD]Voor welke waarden van k heeft de vergelijking [INLINE EQUATION]x^2 + 2x + k = 0[/INLINE EQUATION] geen reële oplossingen?[/BOLD] [BOLD]Antwoord:[/BOLD] Indien D < 0, dus [INLINE EQUATION]2^2 - 4k < 0 \Rightarrow k > 1[/INLINE EQUATION]. Dus: k > 1[/PARAGRAPH][/ORDERED_LIST_ITEM] [ORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH][BOLD]Stel een vierkantsvergelijking op waarvan de som van de nulpunten 8 is en het product -15. Los de vergelijking volledig op.[/BOLD] [BOLD]Antwoord:[/BOLD] [INLINE EQUATION]x^2 - 8x - 15 = 0[/INLINE EQUATION] Discriminant: [INLINE EQUATION]64 + 60 = 124 > 0[/INLINE EQUATION] [INLINE EQUATION]x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{124}}{2} = 4 \pm \sqrt{31}[/INLINE EQUATION][/PARAGR][/ORDERED_LIST_ITEM] [ORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH][BOLD]Gegeven:[/BOLD] [INLINE EQUATION]x^2 + px + q = 0[/INLINE EQUATION] heeft tweemaal dezelfde oplossing. Druk q uit in functie van p. [BOLD]Antwoord:[/BOLD] Voor dubbele wortel: D = 0 ⇒ [INLINE EQUATION]p^2 - 4q = 0[/INLINE EQUATION] ⇒ [INLINE EQUATION]q = \frac{p^2}{4}[/INLINE EQUATION][/PARAGR][/ORDERED_LIST_ITEM] [ORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH][BOLD]Gegeven:[/BOLD] [INLINE EQUATION]4x^2 + bx + 9 = 0[/INLINE EQUATION] heeft precies één reële oplossing. Bepaal b. [BOLD]Antwoord:[/BOLD] D = 0 ⇒ [INLINE EQUATION]b^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 0 \Rightarrow b^2 - 144 = 0 \Rightarrow b = \pm 12[/INLINE EQUATION][/PARAGR][/ORDERED_LIST_ITEM] [/ORDERED_LIST]

Test je kennis met deze examenoefeningen

Les 5 van 25