Evenredigheid en omgekeerde evenredigheid

Recht evenredig (1.4.1)

Definitie

Twee grootheden zijn recht evenredig als het quotiënt van deze grootheden constant is. Dit wordt aangeduid als $A \sim B$, of mathematisch als $A/B = \text{constante waarde} \neq 0$. Dit betekent dat, wanneer de ene grootheid verandert, de andere in exact dezelfde verhouding mee verandert. Elke verdubbeling, halvering of andere multiplicatieve verandering in $A$ resulteert in een identieke multiplicatieve verandering in $B$.

Belangrijke concepten

• Bij recht evenredige grootheden geldt steeds: als $A$ $n$ keer groter wordt, wordt $B$ ook $n$ keer groter.

• De verhouding $A/B$ blijft in alle gevallen identiek, onafhankelijk van welke specifieke waarden $A$ of $B$ aannemen.

• Lineair verband met oorsprong als steunpunt: de grafiek van $A$ tegen $B$ is een rechte door de oorsprong.

• Alle procentuele veranderingen in $A$ weerspiegelen zich identiek in $B$: toename of afname met een bepaald percentage in $A$ impliceert exacte zelfde procentuele verandering in $B$.

Formules en berekeningen

• Notatie: $A \sim B \Leftrightarrow A/B = \text{cst}.\Leftrightarrow A = k\cdot B$, waarbij $k$ constant $\neq 0$ is.

• Proportioneel verband: - Als $A_1/B_1 = k$ en $A_2/B_2 = k$, dan geldt: - $A_1/B_1 = A_2/B_2 \rightarrow A_1 : B_1 = A_2 : B_2$

• Percentuele relatie: - Een toename van grootheid $A$ met $p\%$ → $B$ neemt altijd toe met $p\%$ - Een afname van grootheid $A$ met $p\%$ → $B$ neemt altijd af met $p\%$ - Formules: - Nieuwe waarde van $B = \text{Oorspronkelijke } B \times (1 + p/100)$ bij stijging - Nieuwe waarde van $B = \text{Oorspronkelijke } B \times (1 - p/100)$ bij daling

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Gegeven dat de massa suiker ($A$) en het aantal kilogram zakken ($B$) recht evenredig zijn. Stel dat $5\ \text{kg}$ suiker verdeeld wordt over $2$ zakken: elke zak bevat $2,5\ \text{kg}$. Indien men de suikermassa verhoogt met $20\%$ tot $6\ \text{kg}$, verhoogt het aantal zakken (vast aantal per kg) eveneens met $20\%$ tot $2,4$ zak (mathematisch): $A/B = \text{constant} \rightarrow 5/2 = 6/2,4 \rightarrow 2,5$. Voorbeeld 2: Het volume van een hoeveelheid gas ($A$) is recht evenredig met de absolute temperatuur ($B$) bij constante druk. Indien de temperatuur stijgt met $10\%$, stijgt het volume ook met $10\%$. $A/B = \text{constant} \rightarrow V/T = \text{constant}$. Indien $T$ stijgt van $300\ \text{K}$ naar $330\ \text{K}$ ($10\%$), stijgt $V$ in exact dezelfde verhouding.

Veel gemaakte fouten

• Het verwarren van recht evenredigheid met een lineair verband met niet-nulstart: niet elk lineair verband (met vorm $y = ax + b, b \neq 0$) is recht evenredig.

• Onterecht aannemen van een recht evenredig verband wanneer dit niet expliciet gegeven is, bijvoorbeeld bij schaalvergroting zonder verhoudingsbehoud.

• Foutieve toepassing van procentuele veranderingen: soms wordt gedacht dat een toename met $p\%$ in $A$ een toename van $p\%$ in $B$ veroorzaakt, ook als de grootheden niet recht evenredig zijn.

Omgekeerd evenredig (1.4.2)

Definitie

Twee grootheden zijn omgekeerd evenredig als hun product constant is. Dit wordt genoteerd als $A \sim 1/B$ of als $A\cdot B = \text{constante waarde} \neq 0$. Dit betekent dat een toename in de ene grootheid resulteert in een afname van de andere, zodanig dat het product $A\cdot B$ steeds gelijk blijft.

Belangrijke concepten

• Omgekeerd evenredige grootheden bewegen tegengesteld: stijging in $A$ impliceert daling in $B$ volgens een niet-lineaire (hyperbolische) relatie.

• Bij een $n$-voudige toename van $A$ volgt een deling van $B$ door $n$: als $A$ tweemaal zo groot wordt, wordt $B$ gehalveerd.

• Percentuele effecten zijn asymmetrisch: een gegeven procentuele toename in $A$ leidt tot een ander, rekenkundig bepaald, procentueel verlies in $B$ (en omgekeerd).

Formules en berekeningen