Wiskunde

Rekenregels van machtsverheffing en logaritme

Machten en wortels – Basisregels en definities

Productregel, macht van een macht en varianten

Definitie

Een macht is een uitdrukking van de vorm axa^x waarbij aa een reëel (of complex) getal is en xx een reëel getal (in eindexamencontext doorgaans geen complexe exponenten). De exponent xx geeft aan hoe vaak het grondtal aa met zichzelf vermenigvuldigd wordt. Bij negatieve en niet-gehele exponenten gelden algemene uitbreidingen via wortels en negatieve exponenten.

Belangrijke concepten

  • Product van machten met zelfde grondtal: De som van de exponenten geeft de exponent van het product.

  • Macht van een macht: De machten worden vermenigvuldigd.

  • Vermenigvuldiging van machten met verschillende grondtallen: Distributieve eigenschap over de vermenigvuldiging.

  • Eigenschappen van nulde en eerste macht.

  • Gedrag van machten wanneer de exponent naar oneindig of min oneindig convergeert, afhankelijk van het grondtal.

Formules en berekeningen

  • Productregel: ax⋅ay=ax+ya^x \cdot a^y = a^{x+y} Dit geldt voor elk reëel of complex a≠0a \neq 0, voor alle reële x,yx, y.

  • Macht van een macht: (ax)y=ax⋅y(a^x)^y = a^{x \cdot y} Dit geldt voor elke a>0a > 0, en reële x,yx, y.

  • Vermenigvuldiging grondtallen: (a⋅b)x=ax⋅bx(a \cdot b)^x = a^x \cdot b^x Toegepast bij factorisatie van wortelvormen en machten.

  • Nulde macht en eerste macht: a0=1a^0 = 1 voor a≠0a \neq 0; a1=aa^1 = a

  • Gedrag voor limieten:

    • Als a>1a > 1: a+∞=+∞a^{+\infty} = +\infty, a−∞=0a^{-\infty} = 0

    • Als 0<a<10 < a < 1: a+∞=0a^{+\infty} = 0, a−∞=+∞a^{-\infty} = +\infty

    • Als −1<a<1-1 < a < 1: a+∞=0a^{+\infty} = 0

    • Als a<−1a < -1: a+∞a^{+\infty} is niet gedefinieerd wegens oscillerend gedrag, a−∞a^{-\infty} is ook niet gedefinieerd

    • a≤0a \leq 0: Niet gedefinieerd voor niet-gehele exponenten.

  • Absolute waarde: Absolute waarde is de afstand tot nul op de getallenlijn. Bijvoorbeeld: ∣5x−4∣=2|5x - 4| = 2 heeft mogelijk twee oplossingen voor xx.

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Bereken de volgende limieten: a) lim⁡x→+∞(0.75)x\lim_{x \to +\infty} (0.75)^x b) lim⁡x→−∞(2)x\lim_{x \to -\infty} (2)^x Oplossing: a) Omdat 0<0.75<10 < 0.75 < 1: (0.75)+∞=0(0.75)^{+\infty} = 0 b) Omdat 2>12 > 1: 2−∞=02^{-\infty} = 0

Voorbeeld 2: Los de vergelijking (3x)4=81(3x)^4 = 81 op. Oplossing: (3x)4=81⇒3x=±814=±3[/INLINEEQUATION][INLINEEQUATION]x=±1[/INLINEEQUATION]Aantaloplossingen:exponenteven,dustweeoplossingen.[/PARAGRAPH][PARAGRAPH][BOLD]Voorbeeld3:[/BOLD]Herleid[INLINEEQUATION](a2⋅b1/2)5[/INLINEEQUATION].Oplossing:[INLINEEQUATION](a2)5⋅(b1/2)5=a10⋅b5/2[/INLINEEQUATION][/PARAGRAPH][HEADINGlevel=4]Veelgemaaktefouten[/HEADING][UNORDEREDLIST][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH]Vergetendatbijnegatieveofniet−geheleexponentenhetgrondtalpositiefmoetzijn(voorree¨leuitkomsten).[/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH]Verwisselenvanproductregelenmachtvaneenmacht:bijvoorbeeld[INLINEEQUATION](ax)y≠ax+y[/INLINEEQUATION].[/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH]Onterechtaannemendat[INLINEEQUATION](a+b)n=an+bn[/INLINEEQUATION],watnietgeldtbehalvevoor[INLINEEQUATION]n=1[/INLINEEQUATION].[/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH]Vergetendatvoor[INLINEEQUATION]a<0[/INLINEEQUATION],[INLINEEQUATION]a1/2[/INLINEEQUATION]nietbestaatbinnenderee¨legetallen.[/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH]Foutiefaantaloplossingenbijwortelvergelijkingen,bijvoorbeeldnietrekeninghoudenmetzowelpositievealsnegatievewortelsbijevenexponenten.[/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][/UNORDEREDLIST][HEADINGlevel=3]Wortelregels,oplossingenennotaties[/HEADING][HEADINGlevel=4]Definitie[/HEADING][PARAGRAPH]Den−demachtswortelvan[INLINEEQUATION]x[/INLINEEQUATION],aangeduidmet[INLINEEQUATION]xn[/INLINEEQUATION],ishetgetaldattotden−demachtverhevenweer[INLINEEQUATION]x[/INLINEEQUATION]oplevert.Vooreven[INLINEEQUATION]n[/INLINEEQUATION]ishetdomeinbeperkttotniet−negatievegetallen;vooroneven[INLINEEQUATION]n[/INLINEEQUATION]kan[INLINEEQUATION]x[/INLINEEQUATION]elkree¨elgetalzijn.[/PARAGRAPH][HEADINGlevel=4]Belangrijkeconcepten[/HEADING][UNORDEREDLIST][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH]Productregelbijwortels:[INLINEEQUATION]a⋅b=a⋅b[/INLINEEQUATION]indien[INLINEEQUATION]a,b≥0[/INLINEEQUATION].[/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH]Aantaloplossingenafhankelijkvanexponent:[UNORDEREDLIST][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH]Evenexponent:tweeoplossingen(positiefennegatief),alleenvoor[INLINEEQUATION]a≥0[/INLINEEQUATION][/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH]Onevenexponent:eˊeˊnoplossing,vooralleree¨le[INLINEEQUATION]a[/INLINEEQUATION][/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][/UNORDEREDLIST][/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH]Symbolen:[INLINEEQUATION]x[/INLINEEQUATION],[INLINEEQUATION]xn[/INLINEEQUATION][/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH]Absolutewaardeinwortelvergelijkingenwanneerexponentevenis.[/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][/UNORDEREDLIST][HEADINGlevel=4]Formulesenberekeningen[/HEADING][UNORDEREDLIST][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH][INLINEEQUATION]x=x1/2[/INLINEEQUATION][/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH][INLINEEQUATION]xn=x1/n[/INLINEEQUATION],geldigvoor[INLINEEQUATION]x≥0[/INLINEEQUATION]als[INLINEEQUATION]n[/INLINEEQUATION]even.[/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH][INLINEEQUATION]a⋅b=a⋅b[/INLINEEQUATION]alleenals[INLINEEQUATION]a,b≥0[/INLINEEQUATION][/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH]Oplossingenbij[INLINEEQUATION]xn=a[/INLINEEQUATION]:[UNORDEREDLIST][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH][INLINEEQUATION]n[/INLINEEQUATION]even:[INLINEEQUATION]x=±an[/INLINEEQUATION],alleenindien[INLINEEQUATION]a≥0[/INLINEEQUATION][/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH][INLINEEQUATION]n[/INLINEEQUATION]oneven:[INLINEEQUATION]x=an[/INLINEEQUATION],vooralle[INLINEEQUATION]a[/INLINEEQUATION][/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][/UNORDEREDLIST][/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH]Absolutewaarde−vergelijkingen:[INLINEEQUATION]∣x∣=a[/INLINEEQUATION]geeft[INLINEEQUATION]x=a[/INLINEEQUATION]of[INLINEEQUATION]x=−a[/INLINEEQUATION]indien[INLINEEQUATION]a≥0[/INLINEEQUATION][/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][/UNORDEREDLIST][HEADINGlevel=4]Praktijkvoorbeelden[/HEADING][PARAGRAPH][BOLD]Voorbeeld1:[/BOLD]Los[INLINEEQUATION](2x−5)2=9[/INLINEEQUATION]op.Oplossing:[INLINEEQUATION]2x−5=3[/INLINEEQUATION]of[INLINEEQUATION]2x−5=−3[/INLINEEQUATION]Maar[INLINEEQUATION]2x−5≥0[/INLINEEQUATION],dusenkel[INLINEEQUATION]2x−5=3[/INLINEEQUATION][INLINEEQUATION]2x−5=9⇒x=7[/INLINEEQUATION][/PARAGRAPH][PARAGRAPH][BOLD]Voorbeeld2:[/BOLD]Bepaalhetdomeinvan[INLINEEQUATION]x−14[/INLINEEQUATION].Oplossing:Omdatexponent4evenis,moet[INLINEEQUATION]x−1≥0[/INLINEEQUATION],dus[INLINEEQUATION]x≥1[/INLINEEQUATION][/PARAGRAPH][HEADINGlevel=4]Veelgemaaktefouten[/HEADING][UNORDEREDLIST][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH]Negerenvanhetdomeinbijevenwortels,waardoornegatievegetallenonderdewortelverkeerdwordentoegelaten.[/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH]Foutiefoplossenvan[INLINEEQUATION]x2=a[/INLINEEQUATION]zonderrekeningtehoudenmetbeideoplossingen[INLINEEQUATION]x=±a[/INLINEEQUATION].[/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH]Toepassenvanproductregelvoorwortelsopnegatievefactoren.[/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH]Vergetenabsolutewaardetecontrolerenbijnemenvandewortelbijkwadratischevergelijkingen.[/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][/UNORDEREDLIST][HEADINGlevel=2]Logaritmen–Eigenschappenenregels[/HEADING][HEADINGlevel=3]Definitievanlogaritme[/HEADING][HEADINGlevel=4]Definitie[/HEADING][PARAGRAPH]Delogaritmevaneenstriktpositiefree¨elgetal[INLINEEQUATION]x[/INLINEEQUATION]metgrondtal[INLINEEQUATION]a>0,a≠1[/INLINEEQUATION]ishetgetal[INLINEEQUATION]y[/INLINEEQUATION]zodat[INLINEEQUATION]ay=x[/INLINEEQUATION].Menschrijft:[INLINEEQUATION]log⁡ax=y[/INLINEEQUATION].Specifiekegevallen:[/PARAGRAPH][UNORDEREDLIST][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH]Briggslogaritme(decimalelogaritme):[INLINEEQUATION]a=10[/INLINEEQUATION],notatie[INLINEEQUATION]log⁡x[/INLINEEQUATION].[/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH]Denotatie[INLINEEQUATION]ln⁡x[/INLINEEQUATION]verwijstnaarhetnatuurlijkegrondtal[INLINEEQUATION]e[/INLINEEQUATION](zieverder).[/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][/UNORDEREDLIST][HEADINGlevel=4]Belangrijkeconcepten[/HEADING][UNORDEREDLIST][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH]Voorwaarden:[INLINEEQUATION]x>0[/INLINEEQUATION],[INLINEEQUATION]a>0[/INLINEEQUATION],[INLINEEQUATION]a≠1[/INLINEEQUATION].Logaritmenzijnnietgedefinieerdvoornegatieve[INLINEEQUATION]x[/INLINEEQUATION],nochvoor[INLINEEQUATION]x=0[/INLINEEQUATION].[/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH]Hetomgekeerdekaraktertenopzichtevanexponentie¨lefuncties:[INLINEEQUATION]alog⁡ax=x[/INLINEEQUATION].[/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH]Logaritmischevergelijkingenenlogaritmesvanmachten,productenenquotie¨nten.[/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][/UNORDEREDLIST][HEADINGlevel=4]Formulesenberekeningen[/HEADING][UNORDEREDLIST][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH][BOLD]Productregel:[/BOLD][INLINEEQUATION]log⁡a(bc)=log⁡ab+log⁡ac[/INLINEEQUATION][/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH][BOLD]Machtregel:[/BOLD][INLINEEQUATION]log⁡a(bk)=k⋅log⁡ab[/INLINEEQUATION][/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH][BOLD]Omkeerregel:[/BOLD][INLINEEQUATION]alog⁡ax=x[/INLINEEQUATION]voor[INLINEEQUATION]x>0[/INLINEEQUATION][/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH][BOLD]Logaritmevan1:[/BOLD][INLINEEQUATION]log⁡a1=0[/INLINEEQUATION][/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH][BOLD]Logaritmevangrondtal:[/BOLD][INLINEEQUATION]log⁡aa=1[/INLINEEQUATION][/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH][BOLD]Quotie¨ntregel:[/BOLD][INLINEEQUATION]log⁡a(bc)=log⁡ab−log⁡ac[/INLINEEQUATION][/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH][BOLD]Grondtalomschrijvingsregel:[/BOLD][INLINEEQUATION]log⁡bx=log⁡axlog⁡ab[/INLINEEQUATION][/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH][BOLD]Beperkingen:[/BOLD][INLINEEQUATION]log⁡ax[/INLINEEQUATION]isnietgedefinieerdvoor[INLINEEQUATION]x≤0[/INLINEEQUATION];hetresultaatisnegatiefvoor[INLINEEQUATION]0<x<1[/INLINEEQUATION],positiefvoor[INLINEEQUATION]x>1[/INLINEEQUATION].[/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][/UNORDEREDLIST][HEADINGlevel=4]Praktijkvoorbeelden[/HEADING][PARAGRAPH][BOLD]Voorbeeld1:[/BOLD]Bereken[INLINEEQUATION]log⁡2(32)[/INLINEEQUATION].Oplossing:[INLINEEQUATION]32=25[/INLINEEQUATION],dus[INLINEEQUATION]log⁡2(32)=5[/INLINEEQUATION][/PARAGRAPH][PARAGRAPH][BOLD]Voorbeeld2:[/BOLD]Herleid[INLINEEQUATION]log⁡3(27x2)[/INLINEEQUATION].Oplossing:[INLINEEQUATION]log⁡3(27x2)=log⁡3(27)+log⁡3(x2)=3+2log⁡3(x)[/INLINEEQUATION][/PARAGRAPH][PARAGRAPH][BOLD]Voorbeeld3:[/BOLD]Transformeer[INLINEEQUATION]log⁡10(0.01)[/INLINEEQUATION].Oplossing:[INLINEEQUATION]0.01=10−2[/INLINEEQUATION],dus[INLINEEQUATION]log⁡10(0.01)=−2[/INLINEEQUATION][/PARAGRAPH][HEADINGlevel=4]Veelgemaaktefouten[/HEADING][UNORDEREDLIST][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH]Vergetendat[INLINEEQUATION]log⁡a(x)[/INLINEEQUATION]enkelbestaatvoor[INLINEEQUATION]x>0[/INLINEEQUATION].[/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH]Foutiefgebruikvanlogaritmeregelsbijsommen:[INLINEEQUATION]log⁡a(b+c)≠log⁡ab+log⁡ac[/INLINEEQUATION].[/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH]Onjuisthanterenvannegatieveargumentenenhetnietrealiserendat[INLINEEQUATION]log⁡a(x)[/INLINEEQUATION]ongedefinieerdisvoor[INLINEEQUATION]x≤0[/INLINEEQUATION].[/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH]Verwarringtussengrondtalenargument:[INLINEEQUATION]log⁡xa[/INLINEEQUATION]verwarrenmet[INLINEEQUATION]log⁡ax[/INLINEEQUATION].[/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH]Foutievetoepassingbijdeveranderingvangrondtal,waardoorverkeerderesultatenontstaaninuitwerkingen.[/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][/UNORDEREDLIST][HEADINGlevel=3]Logaritmeregelsenbijzonderenotaties[/HEADING][HEADINGlevel=4]Belangrijkeconcepten[/HEADING][UNORDEREDLIST][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH]Destructuurentoepassingvansamengesteldelogaritmischeexpressies.[/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH]Herkenningvansamengesteldelogaritmen,verwijzingennaarmeercomplexeopgavenwaarbijlogaritmenvoorkomenalsexponentofalsoperandvananderelogaritmen.[/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH]Compactenotatieenniet−standaardtransformaties,incontextvanhogerealgebraı¨schevaardigheden.[/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][/UNORDEREDLIST][HEADINGlevel=4]Formulesenberekeningen[/HEADING][UNORDEREDLIST][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH][BOLD]Voorbeeldenvansamengesteldeformules:[/BOLD][UNORDEREDLIST][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH][INLINEEQUATION]log⁡(log⁡(c))+log⁡(b)=log⁡(log⁡(cb))[/INLINEEQUATION]Geldtenkelwanneer[INLINEEQUATION]log⁡(c)[/INLINEEQUATION]en[INLINEEQUATION]b[/INLINEEQUATION]beidenstriktpositiefzijn.[/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH][INLINEEQUATION]log⁡(log⁡(c))log⁡(b)=log⁡(log⁡(c1/b))[/INLINEEQUATION](Controleeraltijdhetdomeinvanalletussenstappen.)[/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][/UNORDEREDLIST][/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH][BOLD]Exponentinlogaritme:[/BOLD][INLINEEQUATION]log⁡a(ax)=x[/INLINEEQUATION][/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH][BOLD]Algemeneeigenschappen:[/BOLD][UNORDEREDLIST][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH][INLINEEQUATION]log⁡(x≤0)[/INLINEEQUATION]isongedefinieerd(geheledomeinbeperking).[/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH][INLINEEQUATION]log⁡(0<x<1)[/INLINEEQUATION]resulteertinnegatievewaarden,waarbijtoenamevan[INLINEEQUATION]x[/INLINEEQUATION]leidttotmindernegatievelogaritme.[/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH][INLINEEQUATION]log⁡(x>1)[/INLINEEQUATION]resulteertinpositievewaarden,stijgendmet[INLINEEQUATION]x[/INLINEEQUATION].[/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][/UNORDEREDLIST][/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][/UNORDEREDLIST][HEADINGlevel=4]Praktijkvoorbeelden[/HEADING][PARAGRAPH][BOLD]Voorbeeld1:[/BOLD]Herleid[INLINEEQUATION]log⁡2(log⁡2(8)⋅4)[/INLINEEQUATION].Oplossing:Eerst[INLINEEQUATION]log⁡2(8)=3[/INLINEEQUATION].Dus[INLINEEQUATION]log⁡2(3⋅4)=log⁡2(12)≈3.58496[/INLINEEQUATION].[/PARAGRAPH][PARAGRAPH][BOLD]Voorbeeld2:[/BOLD]Herleid[INLINEEQUATION]log⁡3(9x−2)[/INLINEEQUATION].Oplossing:[INLINEEQUATION]log⁡3(9x−2)=log⁡3(9)+log⁡3(x−2)=2−2log⁡3(x)[/INLINEEQUATION][/PARAGRAPH][HEADINGlevel=4]Veelgemaaktefouten[/HEADING][UNORDEREDLIST][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH]Onjuistcombinerenvansamengesteldelogaritmenzonderadequaatdomeinonderzoek.[/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH]Foutieveaannamesomtrentlineairedistributiviteitbijniet−lineairerekenregels.[/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH]Negerenvanbeperkingenopsamengesteldelogaritmen,zoalsargumentendienietstriktpositiefzijn.[/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH]Onvermogentotstructurerenvanuitdrukkingenmetgenestelogaritmenenexponenten.[/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][/UNORDEREDLIST][HEADINGlevel=2]Natuurlijkelogaritme(′ln′)[/HEADING][HEADINGlevel=3]Definitie,eigenschappenenrekenregels[/HEADING][HEADINGlevel=4]Definitie[/HEADING][PARAGRAPH]Denatuurlijkelogaritmevaneenstriktpositiefree¨elgetal[INLINEEQUATION]x[/INLINEEQUATION]is[INLINEEQUATION]ln⁡(x)=log⁡e(x)[/INLINEEQUATION],waarbij[INLINEEQUATION]e≈2,71828[/INLINEEQUATION].[INLINEEQUATION]ln⁡(x)[/INLINEEQUATION]isuitsluitendgedefinieerdvoor[INLINEEQUATION]x>0[/INLINEEQUATION].[/PARAGRAPH][HEADINGlevel=4]Belangrijkeconcepten[/HEADING][UNORDEREDLIST][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH]Opvolgervandestandaardlogaritme,metgrondtal[INLINEEQUATION]e[/INLINEEQUATION].[/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH]Striktedomeinrestrictie:argumentstriktpositief.[/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH]Wederkerigheidmetdeexponentie¨lefunctie:[INLINEEQUATION]eln⁡(x)=x[/INLINEEQUATION],[INLINEEQUATION]ln⁡(ex)=x[/INLINEEQUATION].[/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH]Belangrijkespecifiekewaarden,zoals[INLINEEQUATION]ln⁡(1)=0[/INLINEEQUATION]en[INLINEEQUATION]ln⁡(e)=1[/INLINEEQUATION].[/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH]Gedragvoor[INLINEEQUATION]0<x<1[/INLINEEQUATION]en[INLINEEQUATION]x>1[/INLINEEQUATION].[/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][/UNORDEREDLIST][HEADINGlevel=4]Formulesenberekeningen[/HEADING][UNORDEREDLIST][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH][BOLD]Exponentregel:[/BOLD][INLINEEQUATION]ln⁡(xy)=y⋅ln⁡(x)[/INLINEEQUATION][/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH][BOLD]Omgekeerdefunctieregels:[/BOLD][INLINEEQUATION]ln⁡(ex)=x[/INLINEEQUATION],[INLINEEQUATION]eln⁡(x)=x[/INLINEEQUATION][/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH][BOLD]Specifiekewaarden:[/BOLD][INLINEEQUATION]ln⁡(1)=0[/INLINEEQUATION],[INLINEEQUATION]ln⁡(e)=1[/INLINEEQUATION][/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH][BOLD]Gedrag:[/BOLD][UNORDEREDLIST][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH][INLINEEQUATION]ln⁡(0<x<1)<0[/INLINEEQUATION],[INLINEEQUATION]ln⁡(x>1)>0[/INLINEEQUATION][/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][/UNORDEREDLIST][/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH][BOLD]Beperkingen:[/BOLD][INLINEEQUATION]ln⁡(a≤0)[/INLINEEQUATION]isongedefinieerd[/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH][BOLD]Algemenenotatie:[/BOLD][INLINEEQUATION]ln⁡(2)≈0,6931[/INLINEEQUATION],uitdrukkingenzoals[INLINEEQUATION]ln⁡(x−1)[/INLINEEQUATION],waarbij[INLINEEQUATION]x−1>0[/INLINEEQUATION]vereistis.[/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][/UNORDEREDLIST][HEADINGlevel=4]Praktijkvoorbeelden[/HEADING][PARAGRAPH][BOLD]Voorbeeld1:[/BOLD]Los[INLINEEQUATION]ln⁡(x4)=8[/INLINEEQUATION]op.Oplossing:[INLINEEQUATION]4ln⁡(x)=8→ln⁡(x)=2→x=e2[/INLINEEQUATION][/PARAGRAPH][PARAGRAPH][BOLD]Voorbeeld2:[/BOLD]Herleid[INLINEEQUATION]ln⁡(ex−1)[/INLINEEQUATION].Oplossing:[INLINEEQUATION]ln⁡(ex−1)=x−1[/INLINEEQUATION][/PARAGRAPH][PARAGRAPH][BOLD]Voorbeeld3:[/BOLD]Bepaalhettekenvan[INLINEEQUATION]ln⁡(x−3)[/INLINEEQUATION]voor[INLINEEQUATION]x>3[/INLINEEQUATION].Oplossing:Voor[INLINEEQUATION]x>3[/INLINEEQUATION],[INLINEEQUATION]ln⁡(x−3)[/INLINEEQUATION]issteedsgedefinieerd.Voor[INLINEEQUATION]3<x<4[/INLINEEQUATION]is[INLINEEQUATION]0<x−3<1[/INLINEEQUATION],dus[INLINEEQUATION]ln⁡(x−3)<0[/INLINEEQUATION].Voor[INLINEEQUATION]x=4[/INLINEEQUATION],[INLINEEQUATION]ln⁡(1)=0[/INLINEEQUATION].Voor[INLINEEQUATION]x>4[/INLINEEQUATION],[INLINEEQUATION]ln⁡(x−3)>0[/INLINEEQUATION].[/PARAGRAPH][HEADINGlevel=4]Veelgemaaktefouten[/HEADING][UNORDEREDLIST][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH]Vergetenvandedomeinrestrictie[INLINEEQUATION]x>0[/INLINEEQUATION]bijln,bijvoorbeeld[INLINEEQUATION]ln⁡(0)[/INLINEEQUATION]of[INLINEEQUATION]ln⁡(−4)[/INLINEEQUATION].[/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH]Foutiefgebruikvanpowerregelbijsamengesteldeexponenten.[/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH]Onjuistoplossenvan[INLINEEQUATION]ln⁡(x)=y[/INLINEEQUATION]doorexponentie¨leinversenietcorrecttoetepassen.[/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH]Negerenvanhettekenvan[INLINEEQUATION]ln⁡[/INLINEEQUATION]voor[INLINEEQUATION]0<x<1[/INLINEEQUATION]en[INLINEEQUATION]x>1[/INLINEEQUATION].[/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][/UNORDEREDLIST][HEADINGlevel=2]Samenvatting[/HEADING][UNORDEREDLIST][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH][BOLD]Machtsverheffing:[/BOLD]Gebruikdeproductregelenderegelvandemachtvaneenmachtomexponentie¨leuitdrukkingenteherleiden.Letopdebeperkingenvanhetgrondtal,vooralbijnegatieveengebrokenexponenten.Limietgedragbijmachtsverheffinghangtfundamenteelafvanhetgrondtal.[/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH][BOLD]Wortels:[/BOLD]Pasdeproductregeltoealsdefactorenpositiefzijn;controleeraltijdhetdomein,zekerbijevenexponenten.Bijevenexponentenzijnerinhetalgemeentweeree¨leoplossingen.[/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH][BOLD]Logaritmen:[/BOLD]Zijnenkelgedefinieerdvoorstriktpositieveargumenten,metgrondtalongelijkaan1.Belangrijksteregelszijnoptelregel(product),machtregel,quotie¨ntregelendeomgekeerderelatiemetexponentie¨lefuncties.Letophetonderscheidtussenlogaritmevaneenproductendesomvanlogaritmen.[/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][UNORDEREDLISTITEM][PARAGRAPH][BOLD]Natuurlijkelogaritme(‘ln’):[/BOLD]Echteenlogaritmemetgrondtal[INLINEEQUATION]e[/INLINEEQUATION],relevanteeigenschap[INLINEEQUATION]ln⁡(ex)=x[/INLINEEQUATION].Beperkhetdomeinaltijdtotstriktpositieveree¨legetallenenkenhetgedragrondnulenbijgroteargumenten.[/PARAGRAPH][/UNORDEREDLISTITEM][/UNORDEREDLIST][HEADINGlevel=2]Oefenvragen[/HEADING][PARAGRAPH][BOLD]Vraag1[/BOLD]Losvolledigopin[INLINEEQUATION]R[/INLINEEQUATION]:[INLINEEQUATION](2x−3)4=81[/INLINEEQUATION][BOLD]Antwoord[/BOLD][INLINEEQUATION]2x−3=±3→2x=3+3=6→x=3; 2x=−3+3=0→x=0[/INLINEEQUATION]Oplossingen:[INLINEEQUATION]x=3[/INLINEEQUATION]en[INLINEEQUATION]x=0[/INLINEEQUATION][/PARAGRAPH]−−−[PARAGRAPH][BOLD]Vraag2[/BOLD]Herleidtoteenzoeenvoudigmogelijkeuitdrukking:[INLINEEQUATION]log⁡5(25x3)−2log⁡5(x)[/INLINEEQUATION][BOLD]Antwoord[/BOLD][INLINEEQUATION]log⁡5(25x3)−2log⁡5(x)=log⁡5(25)+log⁡5(x3)−2log⁡5(x)=2+3log⁡5(x)−2log⁡5(x)=2+log⁡5(x)[/INLINEEQUATION][/PARAGRAPH]−−−[PARAGRAPH][BOLD]Vraag3[/BOLD]Bepaalhetdomeinvandefunctie[INLINEEQUATION]f(x)=ln⁡(3−x2)[/INLINEEQUATION].[BOLD]Antwoord[/BOLD]Voorwaarde:[INLINEEQUATION]3−x2>0→x2<3→−3<x<3[/INLINEEQUATION][/PARAGRAPH]−−−[PARAGRAPH][BOLD]Vraag4[/BOLD]Zij[INLINEEQUATION]y=ln⁡(e−x2+2x)[/INLINEEQUATION].Herleid[INLINEEQUATION]y[/INLINEEQUATION]toteenzoeenvoudigmogelijkeuitdrukking.[BOLD]Antwoord[/BOLD][INLINEEQUATION]y=−x2+2x[/INLINEEQUATION][/PARAGRAPH]−−−[PARAGRAPH][BOLD]Vraag5[/BOLD]Losopvoor[INLINEEQUATION]x[/INLINEEQUATION]:[INLINEEQUATION]log⁡2(x3)=6[/INLINEEQUATION][BOLD]Antwoord[/BOLD][INLINEEQUATION]3log⁡2(x)=6→log⁡2(x)=2→x=4(3x)^4 = 81 \Rightarrow 3x = \pm \sqrt[4]{81} = \pm 3[/INLINE_EQUATION] [INLINE_EQUATION]x = \pm 1[/INLINE_EQUATION] Aantal oplossingen: exponent even, dus twee oplossingen. [/PARAGRAPH] [PARAGRAPH] [BOLD]Voorbeeld 3:[/BOLD] Herleid [INLINE_EQUATION](a^2 \cdot b^{1/2})^5[/INLINE_EQUATION]. Oplossing: [INLINE_EQUATION](a^2)^5 \cdot (b^{1/2})^5 = a^{10} \cdot b^{5/2}[/INLINE_EQUATION] [/PARAGRAPH] [HEADING level=4]Veel gemaakte fouten[/HEADING] [UNORDERED_LIST] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH]Vergeten dat bij negatieve of niet-gehele exponenten het grondtal positief moet zijn (voor reële uitkomsten).[/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH]Verwisselen van productregel en macht van een macht: bijvoorbeeld [INLINE_EQUATION](a^x)^y \neq a^{x+y}[/INLINE_EQUATION].[/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH]Onterecht aannemen dat [INLINE_EQUATION](a + b)^n = a^n + b^n[/INLINE_EQUATION], wat niet geldt behalve voor [INLINE_EQUATION]n = 1[/INLINE_EQUATION].[/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH]Vergeten dat voor [INLINE_EQUATION]a < 0[/INLINE_EQUATION], [INLINE_EQUATION]a^{1/2}[/INLINE_EQUATION] niet bestaat binnen de reële getallen.[/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH]Foutief aantal oplossingen bij wortelvergelijkingen, bijvoorbeeld niet rekening houden met zowel positieve als negatieve wortels bij even exponenten.[/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [/UNORDERED_LIST] [HEADING level=3]Wortelregels, oplossingen en notaties[/HEADING] [HEADING level=4]Definitie[/HEADING] [PARAGRAPH] De n-de machtswortel van [INLINE_EQUATION]x[/INLINE_EQUATION], aangeduid met [INLINE_EQUATION]\sqrt[n]{x}[/INLINE_EQUATION], is het getal dat tot de n-de macht verheven weer [INLINE_EQUATION]x[/INLINE_EQUATION] oplevert. Voor even [INLINE_EQUATION]n[/INLINE_EQUATION] is het domein beperkt tot niet-negatieve getallen; voor oneven [INLINE_EQUATION]n[/INLINE_EQUATION] kan [INLINE_EQUATION]x[/INLINE_EQUATION] elk reëel getal zijn. [/PARAGRAPH] [HEADING level=4]Belangrijke concepten[/HEADING] [UNORDERED_LIST] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH]Productregel bij wortels: [INLINE_EQUATION]\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}[/INLINE_EQUATION] indien [INLINE_EQUATION]a, b \geq 0[/INLINE_EQUATION].[/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH]Aantal oplossingen afhankelijk van exponent: [UNORDERED_LIST] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH]Even exponent: twee oplossingen (positief en negatief), alleen voor [INLINE_EQUATION]a \geq 0[/INLINE_EQUATION][/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH]Oneven exponent: één oplossing, voor alle reële [INLINE_EQUATION]a[/INLINE_EQUATION][/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [/UNORDERED_LIST] [/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH]Symbolen: [INLINE_EQUATION]\sqrt{x}[/INLINE_EQUATION], [INLINE_EQUATION]\sqrt[n]{x}[/INLINE_EQUATION][/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH]Absolute waarde in wortelvergelijkingen wanneer exponent even is.[/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [/UNORDERED_LIST] [HEADING level=4]Formules en berekeningen[/HEADING] [UNORDERED_LIST] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH][INLINE_EQUATION]\sqrt{x} = x^{1/2}[/INLINE_EQUATION][/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH][INLINE_EQUATION]\sqrt[n]{x} = x^{1/n}[/INLINE_EQUATION], geldig voor [INLINE_EQUATION]x \geq 0[/INLINE_EQUATION] als [INLINE_EQUATION]n[/INLINE_EQUATION] even.[/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH][INLINE_EQUATION]\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}[/INLINE_EQUATION] alleen als [INLINE_EQUATION]a, b \geq 0[/INLINE_EQUATION][/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH]Oplossingen bij [INLINE_EQUATION]x^n = a[/INLINE_EQUATION]: [UNORDERED_LIST] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH][INLINE_EQUATION]n[/INLINE_EQUATION] even: [INLINE_EQUATION]x = \pm \sqrt[n]{a}[/INLINE_EQUATION], alleen indien [INLINE_EQUATION]a \geq 0[/INLINE_EQUATION][/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH][INLINE_EQUATION]n[/INLINE_EQUATION] oneven: [INLINE_EQUATION]x = \sqrt[n]{a}[/INLINE_EQUATION], voor alle [INLINE_EQUATION]a[/INLINE_EQUATION][/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [/UNORDERED_LIST] [/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH]Absolute waarde-vergelijkingen: [INLINE_EQUATION]|x| = a[/INLINE_EQUATION] geeft [INLINE_EQUATION]x = a[/INLINE_EQUATION] of [INLINE_EQUATION]x = -a[/INLINE_EQUATION] indien [INLINE_EQUATION]a \geq 0[/INLINE_EQUATION][/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [/UNORDERED_LIST] [HEADING level=4]Praktijkvoorbeelden[/HEADING] [PARAGRAPH] [BOLD]Voorbeeld 1:[/BOLD] Los [INLINE_EQUATION](\sqrt{2x - 5})^2 = 9[/INLINE_EQUATION] op. Oplossing: [INLINE_EQUATION]\sqrt{2x - 5} = 3[/INLINE_EQUATION] of [INLINE_EQUATION]\sqrt{2x - 5} = -3[/INLINE_EQUATION] Maar [INLINE_EQUATION]\sqrt{2x - 5} \geq 0[/INLINE_EQUATION], dus enkel [INLINE_EQUATION]\sqrt{2x - 5} = 3[/INLINE_EQUATION] [INLINE_EQUATION]2x - 5 = 9 \Rightarrow x = 7[/INLINE_EQUATION] [/PARAGRAPH] [PARAGRAPH] [BOLD]Voorbeeld 2:[/BOLD] Bepaal het domein van [INLINE_EQUATION]\sqrt[4]{x - 1}[/INLINE_EQUATION]. Oplossing: Omdat exponent 4 even is, moet [INLINE_EQUATION]x - 1 \geq 0[/INLINE_EQUATION], dus [INLINE_EQUATION]x \geq 1[/INLINE_EQUATION] [/PARAGRAPH] [HEADING level=4]Veel gemaakte fouten[/HEADING] [UNORDERED_LIST] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH]Negeren van het domein bij even wortels, waardoor negatieve getallen onder de wortel verkeerd worden toegelaten.[/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH]Foutief oplossen van [INLINE_EQUATION]x^2 = a[/INLINE_EQUATION] zonder rekening te houden met beide oplossingen [INLINE_EQUATION]x = \pm \sqrt{a}[/INLINE_EQUATION].[/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH]Toepassen van productregel voor wortels op negatieve factoren.[/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH]Vergeten absolute waarde te controleren bij nemen van de wortel bij kwadratische vergelijkingen.[/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [/UNORDERED_LIST] [HEADING level=2]Logaritmen – Eigenschappen en regels[/HEADING] [HEADING level=3]Definitie van logaritme[/HEADING] [HEADING level=4]Definitie[/HEADING] [PARAGRAPH] De logaritme van een strikt positief reëel getal [INLINE_EQUATION]x[/INLINE_EQUATION] met grondtal [INLINE_EQUATION]a > 0, a \neq 1[/INLINE_EQUATION] is het getal [INLINE_EQUATION]y[/INLINE_EQUATION] zodat [INLINE_EQUATION]a^y = x[/INLINE_EQUATION]. Men schrijft: [INLINE_EQUATION]\log_a x = y[/INLINE_EQUATION]. Specifieke gevallen: [/PARAGRAPH] [UNORDERED_LIST] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH]Briggs logaritme (decimale logaritme): [INLINE_EQUATION]a = 10[/INLINE_EQUATION], notatie [INLINE_EQUATION]\log x[/INLINE_EQUATION].[/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH]De notatie [INLINE_EQUATION]\ln x[/INLINE_EQUATION] verwijst naar het natuurlijke grondtal [INLINE_EQUATION]e[/INLINE_EQUATION] (zie verder).[/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [/UNORDERED_LIST] [HEADING level=4]Belangrijke concepten[/HEADING] [UNORDERED_LIST] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH]Voorwaarden: [INLINE_EQUATION]x > 0[/INLINE_EQUATION], [INLINE_EQUATION]a > 0[/INLINE_EQUATION], [INLINE_EQUATION]a \neq 1[/INLINE_EQUATION]. Logaritmen zijn niet gedefinieerd voor negatieve [INLINE_EQUATION]x[/INLINE_EQUATION], noch voor [INLINE_EQUATION]x = 0[/INLINE_EQUATION].[/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH]Het omgekeerde karakter ten opzichte van exponentiële functies: [INLINE_EQUATION]a^{\log_a x} = x[/INLINE_EQUATION].[/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH]Logaritmische vergelijkingen en logaritmes van machten, producten en quotiënten.[/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [/UNORDERED_LIST] [HEADING level=4]Formules en berekeningen[/HEADING] [UNORDERED_LIST] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH][BOLD]Productregel:[/BOLD] [INLINE_EQUATION]\log_a (bc) = \log_a b + \log_a c[/INLINE_EQUATION][/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH][BOLD]Machtregel:[/BOLD] [INLINE_EQUATION]\log_a (b^k) = k \cdot \log_a b[/INLINE_EQUATION][/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH][BOLD]Omkeerregel:[/BOLD] [INLINE_EQUATION]a^{\log_a x} = x[/INLINE_EQUATION] voor [INLINE_EQUATION]x > 0[/INLINE_EQUATION][/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH][BOLD]Logaritme van 1:[/BOLD] [INLINE_EQUATION]\log_a 1 = 0[/INLINE_EQUATION][/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH][BOLD]Logaritme van grondtal:[/BOLD] [INLINE_EQUATION]\log_a a = 1[/INLINE_EQUATION][/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH][BOLD]Quotiëntregel:[/BOLD] [INLINE_EQUATION]\log_a \left(\frac{b}{c}\right) = \log_a b - \log_a c[/INLINE_EQUATION][/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH][BOLD]Grondtalomschrijvingsregel:[/BOLD] [INLINE_EQUATION]\log_b x = \frac{\log_a x}{\log_a b}[/INLINE_EQUATION][/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH][BOLD]Beperkingen:[/BOLD] [INLINE_EQUATION]\log_a x[/INLINE_EQUATION] is niet gedefinieerd voor [INLINE_EQUATION]x \leq 0[/INLINE_EQUATION]; het resultaat is negatief voor [INLINE_EQUATION]0 < x < 1[/INLINE_EQUATION], positief voor [INLINE_EQUATION]x > 1[/INLINE_EQUATION].[/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [/UNORDERED_LIST] [HEADING level=4]Praktijkvoorbeelden[/HEADING] [PARAGRAPH] [BOLD]Voorbeeld 1:[/BOLD] Bereken [INLINE_EQUATION]\log_2(32)[/INLINE_EQUATION]. Oplossing: [INLINE_EQUATION]32 = 2^5[/INLINE_EQUATION], dus [INLINE_EQUATION]\log_2(32) = 5[/INLINE_EQUATION] [/PARAGRAPH] [PARAGRAPH] [BOLD]Voorbeeld 2:[/BOLD] Herleid [INLINE_EQUATION]\log_3(27x^2)[/INLINE_EQUATION]. Oplossing: [INLINE_EQUATION]\log_3(27x^2) = \log_3(27) + \log_3(x^2) = 3 + 2\log_3(x)[/INLINE_EQUATION] [/PARAGRAPH] [PARAGRAPH] [BOLD]Voorbeeld 3:[/BOLD] Transformeer [INLINE_EQUATION]\log_{10}(0.01)[/INLINE_EQUATION]. Oplossing: [INLINE_EQUATION]0.01 = 10^{-2}[/INLINE_EQUATION], dus [INLINE_EQUATION]\log_{10}(0.01) = -2[/INLINE_EQUATION] [/PARAGRAPH] [HEADING level=4]Veel gemaakte fouten[/HEADING] [UNORDERED_LIST] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH]Vergeten dat [INLINE_EQUATION]\log_a(x)[/INLINE_EQUATION] enkel bestaat voor [INLINE_EQUATION]x > 0[/INLINE_EQUATION].[/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH]Foutief gebruik van logaritmeregels bij sommen: [INLINE_EQUATION]\log_a (b + c) \neq \log_a b + \log_a c[/INLINE_EQUATION].[/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH]Onjuist hanteren van negatieve argumenten en het niet realiseren dat [INLINE_EQUATION]\log_a(x)[/INLINE_EQUATION] ongedefinieerd is voor [INLINE_EQUATION]x \leq 0[/INLINE_EQUATION].[/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH]Verwarring tussen grondtal en argument: [INLINE_EQUATION]\log_x a[/INLINE_EQUATION] verwarren met [INLINE_EQUATION]\log_a x[/INLINE_EQUATION].[/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH]Foutieve toepassing bij de verandering van grondtal, waardoor verkeerde resultaten ontstaan in uitwerkingen.[/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [/UNORDERED_LIST] [HEADING level=3]Logaritmeregels en bijzondere notaties[/HEADING] [HEADING level=4]Belangrijke concepten[/HEADING] [UNORDERED_LIST] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH]De structuur en toepassing van samengestelde logaritmische expressies.[/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH]Herkenning van samengestelde logaritmen, verwijzingen naar meer complexe opgaven waarbij logaritmen voorkomen als exponent of als operand van andere logaritmen.[/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH]Compacte notatie en niet-standaardtransformaties, in context van hogere algebraïsche vaardigheden.[/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [/UNORDERED_LIST] [HEADING level=4]Formules en berekeningen[/HEADING] [UNORDERED_LIST] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH][BOLD]Voorbeelden van samengestelde formules:[/BOLD] [UNORDERED_LIST] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH][INLINE_EQUATION]\log(\log(c)) + \log(b) = \log(\log(cb))[/INLINE_EQUATION] Geldt enkel wanneer [INLINE_EQUATION]\log(c)[/INLINE_EQUATION] en [INLINE_EQUATION]b[/INLINE_EQUATION] beiden strikt positief zijn.[/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH][INLINE_EQUATION]\log(\log(c)) \log(b) = \log(\log(c^{1/b}))[/INLINE_EQUATION] (Controleer altijd het domein van alle tussenstappen.)[/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [/UNORDERED_LIST] [/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH][BOLD]Exponent in logaritme:[/BOLD] [INLINE_EQUATION]\log_a (a^x) = x[/INLINE_EQUATION][/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH][BOLD]Algemene eigenschappen:[/BOLD] [UNORDERED_LIST] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH][INLINE_EQUATION]\log(x \leq 0)[/INLINE_EQUATION] is ongedefinieerd (gehele domeinbeperking).[/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH][INLINE_EQUATION]\log(0 < x < 1)[/INLINE_EQUATION] resulteert in negatieve waarden, waarbij toename van [INLINE_EQUATION]x[/INLINE_EQUATION] leidt tot minder negatieve logaritme.[/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH][INLINE_EQUATION]\log(x > 1)[/INLINE_EQUATION] resulteert in positieve waarden, stijgend met [INLINE_EQUATION]x[/INLINE_EQUATION].[/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [/UNORDERED_LIST] [/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [/UNORDERED_LIST] [HEADING level=4]Praktijkvoorbeelden[/HEADING] [PARAGRAPH] [BOLD]Voorbeeld 1:[/BOLD] Herleid [INLINE_EQUATION]\log_2(\log_2(8) \cdot 4)[/INLINE_EQUATION]. Oplossing: Eerst [INLINE_EQUATION]\log_2(8) = 3[/INLINE_EQUATION]. Dus [INLINE_EQUATION]\log_2(3 \cdot 4) = \log_2(12) \approx 3.58496[/INLINE_EQUATION]. [/PARAGRAPH] [PARAGRAPH] [BOLD]Voorbeeld 2:[/BOLD] Herleid [INLINE_EQUATION]\log_3(9x^{-2})[/INLINE_EQUATION]. Oplossing: [INLINE_EQUATION]\log_3(9x^{-2}) = \log_3(9) + \log_3(x^{-2}) = 2 - 2\log_3(x)[/INLINE_EQUATION] [/PARAGRAPH] [HEADING level=4]Veel gemaakte fouten[/HEADING] [UNORDERED_LIST] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH]Onjuist combineren van samengestelde logaritmen zonder adequaat domeinonderzoek.[/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH]Foutieve aannames omtrent lineaire distributiviteit bij niet-lineaire rekenregels.[/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH]Negeren van beperkingen op samengestelde logaritmen, zoals argumenten die niet strikt positief zijn.[/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH]Onvermogen tot structureren van uitdrukkingen met geneste logaritmen en exponenten.[/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [/UNORDERED_LIST] [HEADING level=2]Natuurlijke logaritme ('ln')[/HEADING] [HEADING level=3]Definitie, eigenschappen en rekenregels[/HEADING] [HEADING level=4]Definitie[/HEADING] [PARAGRAPH] De natuurlijke logaritme van een strikt positief reëel getal [INLINE_EQUATION]x[/INLINE_EQUATION] is [INLINE_EQUATION]\ln(x) = \log_e(x)[/INLINE_EQUATION], waarbij [INLINE_EQUATION]e \approx 2{,}71828[/INLINE_EQUATION]. [INLINE_EQUATION]\ln(x)[/INLINE_EQUATION] is uitsluitend gedefinieerd voor [INLINE_EQUATION]x > 0[/INLINE_EQUATION]. [/PARAGRAPH] [HEADING level=4]Belangrijke concepten[/HEADING] [UNORDERED_LIST] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH]Opvolger van de standaardlogaritme, met grondtal [INLINE_EQUATION]e[/INLINE_EQUATION].[/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH]Strikte domeinrestrictie: argument strikt positief.[/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH]Wederkerigheid met de exponentiële functie: [INLINE_EQUATION]e^{\ln(x)} = x[/INLINE_EQUATION], [INLINE_EQUATION]\ln(e^x) = x[/INLINE_EQUATION].[/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH]Belangrijke specifieke waarden, zoals [INLINE_EQUATION]\ln(1) = 0[/INLINE_EQUATION] en [INLINE_EQUATION]\ln(e) = 1[/INLINE_EQUATION].[/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH]Gedrag voor [INLINE_EQUATION]0 < x < 1[/INLINE_EQUATION] en [INLINE_EQUATION]x > 1[/INLINE_EQUATION].[/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [/UNORDERED_LIST] [HEADING level=4]Formules en berekeningen[/HEADING] [UNORDERED_LIST] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH][BOLD]Exponentregel:[/BOLD] [INLINE_EQUATION]\ln(x^y) = y \cdot \ln(x)[/INLINE_EQUATION][/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH][BOLD]Omgekeerde functieregels:[/BOLD] [INLINE_EQUATION]\ln(e^x) = x[/INLINE_EQUATION], [INLINE_EQUATION]e^{\ln(x)} = x[/INLINE_EQUATION][/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH][BOLD]Specifieke waarden:[/BOLD] [INLINE_EQUATION]\ln(1) = 0[/INLINE_EQUATION], [INLINE_EQUATION]\ln(e) = 1[/INLINE_EQUATION][/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH][BOLD]Gedrag:[/BOLD] [UNORDERED_LIST] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH][INLINE_EQUATION]\ln(0 < x < 1) < 0[/INLINE_EQUATION], [INLINE_EQUATION]\ln(x > 1) > 0[/INLINE_EQUATION][/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [/UNORDERED_LIST] [/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH][BOLD]Beperkingen:[/BOLD] [INLINE_EQUATION]\ln(a \leq 0)[/INLINE_EQUATION] is ongedefinieerd[/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH][BOLD]Algemene notatie:[/BOLD] [INLINE_EQUATION]\ln(2) \approx 0,6931[/INLINE_EQUATION], uitdrukkingen zoals [INLINE_EQUATION]\ln(x-1)[/INLINE_EQUATION], waarbij [INLINE_EQUATION]x-1 > 0[/INLINE_EQUATION] vereist is.[/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [/UNORDERED_LIST] [HEADING level=4]Praktijkvoorbeelden[/HEADING] [PARAGRAPH] [BOLD]Voorbeeld 1:[/BOLD] Los [INLINE_EQUATION]\ln(x^4) = 8[/INLINE_EQUATION] op. Oplossing: [INLINE_EQUATION]4\ln(x) = 8 \rightarrow \ln(x) = 2 \rightarrow x = e^2[/INLINE_EQUATION] [/PARAGRAPH] [PARAGRAPH] [BOLD]Voorbeeld 2:[/BOLD] Herleid [INLINE_EQUATION]\ln(e^{x-1})[/INLINE_EQUATION]. Oplossing: [INLINE_EQUATION]\ln(e^{x-1}) = x-1[/INLINE_EQUATION] [/PARAGRAPH] [PARAGRAPH] [BOLD]Voorbeeld 3:[/BOLD] Bepaal het teken van [INLINE_EQUATION]\ln(x-3)[/INLINE_EQUATION] voor [INLINE_EQUATION]x > 3[/INLINE_EQUATION]. Oplossing: Voor [INLINE_EQUATION]x > 3[/INLINE_EQUATION], [INLINE_EQUATION]\ln(x-3)[/INLINE_EQUATION] is steeds gedefinieerd. Voor [INLINE_EQUATION]3 < x < 4[/INLINE_EQUATION] is [INLINE_EQUATION]0 < x-3 < 1[/INLINE_EQUATION], dus [INLINE_EQUATION]\ln(x-3) < 0[/INLINE_EQUATION]. Voor [INLINE_EQUATION]x = 4[/INLINE_EQUATION], [INLINE_EQUATION]\ln(1) = 0[/INLINE_EQUATION]. Voor [INLINE_EQUATION]x > 4[/INLINE_EQUATION], [INLINE_EQUATION]\ln(x-3) > 0[/INLINE_EQUATION]. [/PARAGRAPH] [HEADING level=4]Veel gemaakte fouten[/HEADING] [UNORDERED_LIST] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH]Vergeten van de domeinrestrictie [INLINE_EQUATION]x > 0[/INLINE_EQUATION] bij ln, bijvoorbeeld [INLINE_EQUATION]\ln(0)[/INLINE_EQUATION] of [INLINE_EQUATION]\ln(-4)[/INLINE_EQUATION].[/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH]Foutief gebruik van powerregel bij samengestelde exponenten.[/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH]Onjuist oplossen van [INLINE_EQUATION]\ln(x) = y[/INLINE_EQUATION] door exponentiële inverse niet correct toe te passen.[/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH]Negeren van het teken van [INLINE_EQUATION]\ln[/INLINE_EQUATION] voor [INLINE_EQUATION]0 < x < 1[/INLINE_EQUATION] en [INLINE_EQUATION]x > 1[/INLINE_EQUATION].[/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [/UNORDERED_LIST] [HEADING level=2]Samenvatting[/HEADING] [UNORDERED_LIST] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH][BOLD]Machtsverheffing:[/BOLD] Gebruik de productregel en de regel van de macht van een macht om exponentiële uitdrukkingen te herleiden. Let op de beperkingen van het grondtal, vooral bij negatieve en gebroken exponenten. Limietgedrag bij machtsverheffing hangt fundamenteel af van het grondtal.[/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH][BOLD]Wortels:[/BOLD] Pas de productregel toe als de factoren positief zijn; controleer altijd het domein, zeker bij even exponenten. Bij even exponenten zijn er in het algemeen twee reële oplossingen.[/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH][BOLD]Logaritmen:[/BOLD] Zijn enkel gedefinieerd voor strikt positieve argumenten, met grondtal ongelijk aan 1. Belangrijkste regels zijn optelregel (product), machtregel, quotiëntregel en de omgekeerde relatie met exponentiële functies. Let op het onderscheid tussen logaritme van een product en de som van logaritmen.[/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH][BOLD]Natuurlijke logaritme (‘ln’):[/BOLD] Echt een logaritme met grondtal [INLINE_EQUATION]e[/INLINE_EQUATION], relevante eigenschap [INLINE_EQUATION]\ln(e^x) = x[/INLINE_EQUATION]. Beperk het domein altijd tot strikt positieve reële getallen en ken het gedrag rond nul en bij grote argumenten.[/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [/UNORDERED_LIST] [HEADING level=2]Oefenvragen[/HEADING] [PARAGRAPH] [BOLD]Vraag 1[/BOLD] Los volledig op in [INLINE_EQUATION]\mathbb{R}[/INLINE_EQUATION]: [INLINE_EQUATION](2x-3)^4 = 81[/INLINE_EQUATION] [BOLD]Antwoord[/BOLD] [INLINE_EQUATION]2x-3 = \pm 3 \rightarrow 2x = 3+3 = 6 \rightarrow x=3; \ 2x= -3+3=0 \rightarrow x=0[/INLINE_EQUATION] Oplossingen: [INLINE_EQUATION]x = 3[/INLINE_EQUATION] en [INLINE_EQUATION]x = 0[/INLINE_EQUATION] [/PARAGRAPH] --- [PARAGRAPH] [BOLD]Vraag 2[/BOLD] Herleid tot een zo eenvoudig mogelijke uitdrukking: [INLINE_EQUATION]\log_5(25x^3) - 2\log_5(x)[/INLINE_EQUATION] [BOLD]Antwoord[/BOLD] [INLINE_EQUATION]\log_5(25x^3) - 2\log_5(x) = \log_5(25) + \log_5(x^3) - 2\log_5(x) = 2 + 3\log_5(x) - 2\log_5(x) = 2 + \log_5(x)[/INLINE_EQUATION] [/PARAGRAPH] --- [PARAGRAPH] [BOLD]Vraag 3[/BOLD] Bepaal het domein van de functie [INLINE_EQUATION]f(x) = \ln(3 - x^2)[/INLINE_EQUATION]. [BOLD]Antwoord[/BOLD] Voorwaarde: [INLINE_EQUATION]3 - x^2 > 0 \rightarrow x^2 < 3 \rightarrow -\sqrt{3} < x < \sqrt{3}[/INLINE_EQUATION] [/PARAGRAPH] --- [PARAGRAPH] [BOLD]Vraag 4[/BOLD] Zij [INLINE_EQUATION]y = \ln(e^{-x^2 + 2x})[/INLINE_EQUATION]. Herleid [INLINE_EQUATION]y[/INLINE_EQUATION] tot een zo eenvoudig mogelijke uitdrukking. [BOLD]Antwoord[/BOLD] [INLINE_EQUATION]y = -x^2 + 2x[/INLINE_EQUATION] [/PARAGRAPH] --- [PARAGRAPH] [BOLD]Vraag 5[/BOLD] Los op voor [INLINE_EQUATION]x[/INLINE_EQUATION]: [INLINE_EQUATION]\log_2(x^3) = 6[/INLINE_EQUATION] [BOLD]Antwoord[/BOLD] [INLINE_EQUATION]3\log_2(x) = 6 \rightarrow \log_2(x) = 2 \rightarrow x = 4

Test je kennis met deze examenoefeningen

Les 3 van 25