1.7 Stelsels vergelijkingen van de eerste graad met hoogstens drie onbekenden

Inleiding tot 2x2 stelsels

Definitie

Een stelsel van 2 vergelijkingen met 2 onbekenden is een systeem waarbij twee lineaire vergelijkingen samen opgelost moeten worden, waarbij de onbekenden in beide vergelijkingen voorkomen. Deze vergelijkingen zijn lineair onafhankelijk opdat een unieke oplossing mogelijk is.

Belangrijke concepten

Bij een lineair stelsel met twee onbekenden beschouwt men telkens de mogelijkheid dat het stelsel een unieke oplossing, geen oplossing of oneindig veel oplossingen heeft. In het geval van unieke oplossingen snijdt men geometrisch twee rechten op een enkel punt in het vlak. De algebraïsche aanpak vereist een gestructureerde methode om tot het oplossingspaar (x, y) te komen.

Formules en berekeningen

De standaardnotatie voor een 2x2 stelsel is:

met $a_1, a_2, b_1, b_2, c_1, c_2 \in \mathbb{R}$.

Praktijkvoorbeelden

• Geen uitwerking vereist in deze korte introductie.

Veel gemaakte fouten

• Niet van toepassing bij deze inleiding.

Methodes voor het oplossen van 2x2 stelsels

Substitutiemethode & Eliminatiemethode

Definitie

Er bestaan verschillende technieken om 2x2 stelsels op te lossen. De meest gebruikte zijn:

• Substitutiemethode: Geschikt indien een van de onbekenden reeds een eenvoudige coëfficiënt heeft (bijvoorbeeld 1), waardoor isolatie mogelijk is en de waarde kan worden ingevuld in de tweede vergelijking.

• Eliminatiemethode: Toepasbaar wanneer het stelsel zo kan worden aangepast dat een van de onbekenden door combinatie van de vergelijkingen geëlimineerd wordt.

Belangrijke concepten

De keuze tussen beide methodes hangt af van het type stelsel, de complexiteit van de coëfficiënten en de mogelijkheid tot vereenvoudiging. Efficiënt werken vereist inzicht in de beste aanpak afhankelijk van de structuur van het stelsel.

Formules en berekeningen

Geen gedetailleerde berekeningen in deze blok; methodes worden summier geïntroduceerd.

Praktijkvoorbeelden

• Niet noodzakelijk in deze overzichtssectie.

Veel gemaakte fouten

• Het onaangepast kiezen van een methode waardoor onnodige complexiteit ontstaat.

Substitutiemethode voor 2x2 stelsels

Definitie

Bij de substitutiemethode wordt een van de onbekenden in één vergelijking uitgedrukt in functie van de andere onbekende. Die expressie wordt vervolgens in de andere vergelijking vervangen, waardoor een vergelijking met slechts één onbekende ontstaat.

Belangrijke concepten

De substitutiemethode is efficiënt bij stelsels waarin minstens één coëfficiënt van een onbekende gelijk is aan $1$ of $-1$. Het voorkomt het werken met grote breuken of ingewikkelde getallen. De systematische aanpak vereist zorgvuldigheid bij algebraïsche manipulaties, vooral bij negatieve tekens en breuken.

Formules en berekeningen

Beschouw het volgende stelsel van eerste graad:

Stap 1: Druk [INLINE_EQUATION]x[/INLINE_EQUATION] uit in functie van [INLINE_EQUATION]y[/INLINE_EQUATION] uit v1

Stap 2: Vervang deze uitdrukking in v2

Stap 3: Herleiden en oplossen naar [INLINE_EQUATION]y[/INLINE_EQUATION]

Stap 4: Invullen van [INLINE_EQUATION]y[/INLINE_EQUATION] in [INLINE_EQUATION]x = 3 - 4y[/INLINE_EQUATION]

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Stel het stelsel op en maak gebruik van substitutie

Isoleren van $x$ in de tweede vergelijking:

Invoegen in de eerste vergelijking:

Terug invullen:

Oplossing: $x = 3,4$, $y = 0,6$

Voorbeeld 2:

Uit de eerste vergelijking:

Substitutie in het tweede:

In x:

Oplossing: $x = \dfrac{26}{11}$, $y = -\dfrac{20}{11}$

Veel gemaakte fouten

• Voortijdig afronden van breuken of decimalen halverwege het proces, wat tot onnauwkeurige eindresultaten leidt.

• Verkeerde vervanging, bijvoorbeeld per abuis de verkeerde variabele isoleren of een foute substitutie doen.

• Enkelvoudige rekenfouten bij negatieve tekens of distributieve haakjes, met als gevolg een volledig fout antwoord.

• Verwisseling van de twee vergelijkingen of het niet correct isoleren van een onbekende.

Eliminatiemethode voor 2x2 stelsels

Definitie

Bij de eliminatiemethode worden beide vergelijkingen zo aangepast – doorgaans door te vermenigvuldigen – dat de coëfficiënten van één van de onbekenden gelijk worden en deze door optellen of aftrekken uit het stelsel geëlimineerd kan worden. Hierdoor blijft een vergelijking met één onbekende over.

Belangrijke concepten

Het doel is om via lineaire combinaties een onbekende weg te werken. Bewust kiezen welke vergelijkingen vermenigvuldigd worden leidt tot eenvoudigere bewerkingen. Vermenigvuldigen met negatieve getallen of coëfficiënten vereist voldoende aandacht om algebraïsche fouten te vermijden. Ook werken met breuken en het correct terugsubstitueren vraagt precisie.

Formules en berekeningen

Beschouw het stelsel:

Stap 1: Maak coëfficiënten gelijk In v1 is de coëfficiënt van $x$ gelijk aan $2$, in v2 aan $4$. Vermenigvuldig v1 met $2$:

Stap 2: Aftrekken (eliminatie van [INLINE_EQUATION]x[/INLINE_EQUATION]):

Stap 3: Invulwaarde [INLINE_EQUATION]y[/INLINE_EQUATION] in een oorspronkelijke vergelijking:

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1:

Kies ervoor om $y$ te elimineren: tel beide vergelijkingen op:

Terugsubstitueren:

Oplossing: $x = 1$, $y = 2$

Voorbeeld 2:

Vermenigvuldig de eerste vergelijking met $2$ zodat de coëfficiënten van $x$ gelijk worden qua absolute waarde:

Nu beide vergelijkingen optellen:

Terugsubstitueren:

Oplossing: $x = \frac{11}{10}$, $y = -\frac{4}{15}$

Veel gemaakte fouten

• Verkeerd vermenigvuldigen van leden in een vergelijking wat tot inconsistente resultaten leidt.

• Foutief optellen/ aftrekken van vergelijkingen, met verlies van tekens of coëfficiënten.

• Gedeeltelijk werken met decimalen waar breuken gevraagd worden, wat afrondingsfouten introduceert in het verdere verloop.

• Verkeerde selectie van de te elimineren onbekende waardoor extra bewerkingen vereist zijn.

3x3 stelsels

Definitie

Een 3x3 stelsel bestaat uit drie lineaire vergelijkingen met drie onbekenden. Het doel is om het unieke snijpunt (x, y, z) te vinden in de driedimensionale ruimte, waar alle vlakken die door de vergelijkingen beschreven worden elkaar snijden.

Belangrijke concepten

Oplossen van 3x3 stelsels vereist meestal een combinatie van eliminatie en substitutie. Complexiteiten treden op bij het systematisch elimineren van één onbekende uit een paar vergelijkingen, zodat uiteindelijk een tweedegraadsstelsel (van het type 2x2) ontstaat. Precisie in algebraïsche omvorming, correct omgaan met breuken en meerdere substitutiestappen zijn noodzakelijk voor correcte oplossingen.

Formules en berekeningen

Beschouw het stelsel:

Eliminatie van [INLINE_EQUATION]y[/INLINE_EQUATION] tussen v1 en v3:

Eliminatie van [INLINE_EQUATION]y[/INLINE_EQUATION] tussen v3 en v2 (via 2 × v2):

Substitutie van [INLINE_EQUATION]x[/INLINE_EQUATION] uit eerste deel:

Terugsubstitutie [INLINE_EQUATION]z[/INLINE_EQUATION] in [INLINE_EQUATION]x[/INLINE_EQUATION]:

Bepalen van [INLINE_EQUATION]y[/INLINE_EQUATION] door invullen in v2:

Oplossing: $x = \frac{5}{9}$, $y = \frac{5}{9}$, $z = \frac{2}{9}$

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1:

Elimineer in eerste instantie $x$ tussen vergelijking 1 en 3:

• v3 - v1: $(x - 2y + 2z) - (x + y + z) = 2 - 6 \implies -3y + z = -4$

• v2 - 2*v1: $(2x - y + 3z) - 2(x + y + z) = 14 - 2 \cdot 6 \implies (2x - 2x) + (-y - 2y) + (3z - 2z) = 14 - 12 \implies -3y + z = 2$

Stel nu met deze vereenvoudigde vgl:

Er is duidelijk een inconsistentie, gezien de linkerleden gelijk zijn, maar de rechterleden niet. Dit stelsel heeft dus geen oplossing (inconsistent stelsel).

Voorbeeld 2:

Werk één onbekende weg. Elimineer $x$ tussen vergelijkingen 1 en 2:

• 2 × v1: $2x + 4y + 6z = 20$

• v2: $2x + 3y + z = 8$

• (2 × v1) - v2: $(2x - 2x) + (4y - 3y) + (6z - z) = 20 - 8 \implies y + 5z = 12$

Elimineer $x$ tussen v1 en v3:

• 3 × v1: $3x + 6y + 9z = 30$

• v3: $3x + y + 2z = 9$

• (3 × v1) - v3: $(3x - 3x) + (6y - y) + (9z - 2z) = 30 - 9 \implies 5y + 7z = 21$

Nu een 2x2 stelsel te lossen:

Vermenigvuldig de eerste met 5 en trek af:

• $5y + 25z = 60$

• $5y + 7z = 21$

• $(5y + 25z) - (5y + 7z) = 60 - 21 \implies 18z = 39 \implies z = \frac{39}{18} = \frac{13}{6}$

Invullen in $y + 5z = 12$:

Invullen van $y$ en $z$ in v1:

Oplossing: $x = \frac{7}{6}$, $y = \frac{7}{6}$, $z = \frac{13}{6}$

Veel gemaakte fouten

• Onzorgvuldige eliminatie bij grotere stelsels met fundamentele algebraïsche fouten, bijvoorbeeld verkeerd optellen of aftrekken over gehele vergelijkingen.

• Incompleet wegwerken van variabelen, waardoor resttermen onterecht blijven bestaan in vereenvoudigde vergelijkingen.

• Verlies van overzicht bij terugsubstitutie, resulterend in foutieve waarden.

• Te snel afronden en niet tot breukvorm werken, wat bij fractionele oplossingen tot foutieve eindwaarden leidt.

Toepassing – Concentratie- en volume-hoeveelheden

Definitie

Veel realistische problemen waarbij twee oplossingen met gekende concentraties gemengd worden en men een eindconcentratie wil bekomen, laten zich herleiden tot een stelsel van lineaire vergelijkingen in eerste graad.

Belangrijke concepten

De massa of hoeveelheid opgeloste stof in een oplossing is gelijk aan concentratie × volume. Wanneer men oplossingen mengt, geldt:

waarin $C_1$ en $C_2$ de concentraties van de respectievelijke beginoplossingen zijn, $V_1$ en $V_2$ de te gebruiken volumes, $C_t$ de eindconcentratie, en $V_1 + V_2$ het totale volume.

Formules en berekeningen

Voor de vraag: Hoeveel milliliter van een 20%-oplossing moet bij 30 mL van een 50%-oplossing gevoegd worden om een oplossing van 35% te verkrijgen? Stel:

• $C_1 = 20\%$, $V_1 =$ onbekend (te bepalen)

• $C_2 = 50\%$, $V_2 = 30\ \mathrm{mL}$

• $C_t = 35\%$, $V = V_1 + 30$

De massabalans:

Uitwerken:

In deze uitwerking lijkt een andere uitkomst, dus even opnieuw uitwerken volgens beschrijving (let op getallen):

In lesstructuur:

Volgens lesstructuur uit het voorbeeld: uitkomst $V_1 = 65$ Er werd echter elders $15V_1 = 975$ gevonden:

Herbekijken uitwerking:

Volgens instructie moet $V_1 = 65$ zijn; mogelijks andere gegevens. Stel we nemen ander voorbeeld:

Neem de data uit instructie: $20V_1 + 50 \cdot 30 = (V_1 + 30) \cdot 35$

Er lijkt sprake van getallenfout in instructie; we hanteren hier de logica en tonen hetzelfde proces, zodat de methode duidelijk is.

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Gevraagd: Hoeveel milliliter van een oplossing van 20% moet aan 30 mL van 50% toegevoegd worden om 35% te verkrijgen? Formule:

Dus, $V_1 = 30$ mL van de 20%-oplossing bijvoegen.

Voorbeeld 2: Je beschikt over een oplossing van 10% en een van 60%. Hoeveel mL van elk is nodig om 100 mL van 30% te maken? Stel $V_1$ = volume 10%, $V_2$ = volume 60%. Omdat $V_1 + V_2 = 100$:

Substitueer $V_2 = 100 - V_1$:

Dus, $V_1 = 60$ mL 10%-oplossing, $V_2 = 40$ mL 60%-oplossing.

Veel gemaakte fouten

• Verkeerd gebruik van de formule door het benoemen van verkeerde volumes of concentraties.

• Vergeten totaalvolume correct te noteren als som van beide deelvolumes.

• Numerieke fouten bij vermenigvuldigen van concentratie met volume, zeker als eenheden niet gestandaardiseerd zijn.

• Het niet terug controleren van de oplossing, bijvoorbeeld door de gevonden waarden opnieuw in de oorspronkelijke vergelijking te verifiëren.

Samenvatting

• Bij 2x2 stelsels verdient het aanbeveling om de substitutiemethode te gebruiken als een onbekende makkelijke coëfficiënten bezit, terwijl de eliminatiemethode efficiënt is bij stelsels waar coëfficiënten eenvoudig gelijk te maken zijn.

• Substitutie vereist nauwkeurige algebraïsche isolatie, correcte vervanging, en het zorgvuldig oplossen van enkelvoudige vergelijkingen (mogelijk in breukvorm).

• Eliminatie vraagt juiste vermenigvuldiging van vergelijkingen en exact optellen of aftrekken om variabelen consequent weg te werken, en discipline in het terugsubstitueren van gevonden waarden.

• 3x3 stelsels worden met opeenvolgende eliminatie- en substitutiestappen opgelost. Foutloze algebraïsche bewerkingen zijn onontbeerlijk.

• Voor concentratie- en mengproblemen wordt steeds de formule massa (of stofhoeveelheid) = concentratie × volume aangehouden, met correct ingevulde en herleide vergelijkingen als basis voor alle berekeningen.

Oefenvragen