Bewerkingen met matrices met hoogstens drie rijen en vier kolommen
Matrixdefinitie en -opbouw
Definitie
Een matrix van m rijen en n kolommen, oftewel een [INLINE EQUATION]m \times n[/INLINE EQUATION]-matrix, is een rechthoekige ordening van getallen waarin elk element wordt aangeduid met een indexpaar. Het element op de i-de rij en de j-de kolom wordt aangeduid als [INLINE EQUATION]a_{ij}[/INLINE EQUATION], waarbij [INLINE EQUATION]1 \leq i \leq m[/INLINE EQUATION] en [INLINE EQUATION]1 \leq j \leq n[/INLINE EQUATION]. Een matrix fungeert als een wiskundige verzamelstructuur voor het verwerken van lineaire afbeeldingen of het oplossen van stelsels vergelijkingen in een geordende context.
Belangrijke concepten
De dimensie van een matrix wordt aangeduid als “[INLINE EQUATION]m \times n[/INLINE EQUATION]”
Elk element [INLINE EQUATION]a_{ij}[/INLINE EQUATION] representeert een afzonderlijke component van de matrix
De positie van elk element is cruciaal en bepaalt het resultaat bij matrixbewerkingen
Formules en berekeningen
Voor een algemeen geval kan een [INLINE EQUATION]3 \times 4[/INLINE EQUATION]-matrix als volgt worden genoteerd:
[BLOCK EQUATION] A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \end{pmatrix} [/BLOCK EQUATION]waarbij elk [INLINE EQUATION]a_{ij}[/INLINE EQUATION] een reëel, rationaal of complex getal kan zijn, afhankelijk van de toepassing binnen de gevraagde context.
Praktijkvoorbeelden
Voorbeeld 1: Een matrix waarbij alle elementen strikt verschillende waarden hebben:
[BLOCK EQUATION] B = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 7 & 5 \\ 1 & 3 & -6 & 0 \\ 8 & 4 & 1 & 2 \end{pmatrix} [/BLOCK EQUATION]Hierbij is [INLINE EQUATION]b_{23} = -6[/INLINE EQUATION], het element op de tweede rij, derde kolom.
Voorbeeld 2: Constructie uit een stelsel lineaire vergelijkingen:
Beschouw het stelsel:
[BLOCK EQUATION] \begin{cases} 2x + y - 3z = 8 \\ -1x + 4y + 2z = -5 \\ 0x + 7y + z = 3 \end{cases} [/BLOCK EQUATION]De bijhorende coëfficiëntenmatrix is:
[BLOCK EQUATION] C = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -3 \\ -1 & 4 & 2 \\ 0 & 7 & 1 \end{pmatrix} [/BLOCK EQUATION]Veel gemaakte fouten
Verwisselen van rij- en kolomindex, waardoor elementen foutief geïnterpreteerd worden (bijvoorbeeld [INLINE EQUATION]a_{ij}[/INLINE EQUATION] verwarren met [INLINE EQUATION]a_{ji}[/INLINE EQUATION])
Verkeerd benoemen van de dimensie van de matrix, bijvoorbeeld het noteren van een [INLINE EQUATION]3 \times 4[/INLINE EQUATION]-matrix als een [INLINE EQUATION]4 \times 3[/INLINE EQUATION]-matrix
Bijzondere matrices
Definitie
Bijzondere matrices onderscheiden zich door hun specifieke structuur of eigenschappen die essentieel zijn voor geavanceerde matrixbewerkingen. Enkele belangrijke types zijn: getransponeerde matrices, nulmatrices, eenheidsmatrices en diagonaalmatrices.
Belangrijke concepten
Getransponeerde matrix ([INLINE EQUATION]A^t[/INLINE EQUATION]): Bij een getransponeerde matrix worden de rijen en kolommen verwisseld. Elk element [INLINE EQUATION]a_{ij}[/INLINE EQUATION] van [INLINE EQUATION]A[/INLINE EQUATION] wordt [INLINE EQUATION]a_{ji}[/INLINE EQUATION] in [INLINE EQUATION]A^t[/INLINE EQUATION].
Nulmatrix: Alle componenten van de matrix zijn nul ongeacht de dimensie. Notatie: [INLINE EQUATION]0_{m\times n}[/INLINE EQUATION].
Eenheidsmatrix ([INLINE EQUATION]I[/INLINE EQUATION]): Een vierkante matrix ([INLINE EQUATION]n \times n[/INLINE EQUATION]), waarbij alle elementen van de hoofddiagonaal gelijk zijn aan [INLINE EQUATION]1[/INLINE EQUATION], en alle overige elementen [INLINE EQUATION]0[/INLINE EQUATION]. Notatie: [INLINE EQUATION]I_n[/INLINE EQUATION].
Diagonaalmatrix: Een vierkante matrix waarbij alle elementen buiten de hoofddiagonaal nul zijn. Alleen de hoofddiagonaal bevat mogelijk niet-nulwaarden.
Formules en berekeningen
Getransponeerde matrix:
[BLOCK EQUATION] A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \end{pmatrix} \implies A^{T} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} [/BLOCK EQUATION]Nulmatrix: Voor een [INLINE EQUATION]3 \times 4[/INLINE EQUATION]-nulmatrix geldt:
[BLOCK EQUATION] 0_{3 \times 4} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} [/BLOCK EQUATION]Eenheidsmatrix: Voor een [INLINE EQUATION]3 \times 3[/INLINE EQUATION]-eenheidsmatrix:
[BLOCK EQUATION] I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} [/BLOCK EQUATION]Diagonaalmatrix: Voor een diagonaalmatrix met diagonaalelementen 2, 5 en -1:
[BLOCK EQUATION] D = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} [/BLOCK EQUATION]Praktijkvoorbeelden
Voorbeeld 1 (Getransponeerde matrix): [INLINE EQUATION] A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \Rightarrow A^{T} = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} [/INLINE EQUATION]
Voorbeeld 2 (Nul-, eenheids- en diagonaalmatrix voor [INLINE EQUATION]2 \times 2[/INLINE EQUATION]): Nulmatrix: [INLINE EQUATION] 0_{2 \times 2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} [/INLINE EQUATION] Eenheidsmatrix: [INLINE EQUATION] I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} [/INLINE EQUATION] Diagonaalmatrix: [INLINE EQUATION] D = \begin{pmatrix} 7 & 0 \\ 0 & -4 \end{pmatrix} [/INLINE EQUATION]
Veel gemaakte fouten
Onjuist transponeren: niet elk element (i, j) wordt omgezet naar (j, i)
Verwarren van eenheidsmatrix met een algemene diagonaalmatrix: eenheidsmatrix is altijd vierkant en heeft uitsluitend 1 op de diagonaal
Denken dat een nulmatrix enkel vierkant kan zijn; dat is niet het geval.
Voorwaarde en voorbeeld van matrices optellen
Definitie
Twee matrices kunnen alleen bij elkaar worden opgeteld als ze exact dezelfde dimensie hebben. De optelling gebeurt elementgewijs: de som van twee matrices [INLINE EQUATION]A[/INLINE EQUATION] en [INLINE EQUATION]B[/INLINE EQUATION] (beiden [INLINE EQUATION]m \times n[/INLINE EQUATION]) resulteert in een matrix [INLINE EQUATION]C[/INLINE EQUATION] waarbij elk element [INLINE EQUATION]c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}[/INLINE EQUATION].
Belangrijke concepten
De voorwaarde [INLINE EQUATION]m = p[/INLINE EQUATION] en [INLINE EQUATION]n = q[/INLINE EQUATION] is vereist voor optellen van [INLINE EQUATION]A_{m \times n} + B_{p \times q}[/INLINE EQUATION]; verschil in dimensie maakt optelling onmogelijk
Optelling is commutatief en associatief binnen de set van matrices van gelijke dimensie
Formules en berekeningen
Voor matrices [INLINE EQUATION]A[/INLINE EQUATION] en [INLINE EQUATION]B[/INLINE EQUATION] van dezelfde afmetingen:
[BLOCK EQUATION] C = A + B \implies c_{ij} = a_{ij} + b_{ij} [/BLOCK EQUATION]Praktijkvoorbeelden
Voorbeeld 1:
[BLOCK EQUATION] A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 7 \\ 4 & 5 & 0 \end{pmatrix}; B = \begin{pmatrix} 3 & 6 & 1 \\ -2 & 4 & 9 \end{pmatrix} [/BLOCK EQUATION][BLOCK EQUATION] A + B = \begin{pmatrix} 2+3 & -1+6 & 7+1 \\ 4+(-2) & 5+4 & 0+9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 5 & 8 \\ 2 & 9 & 9 \end{pmatrix} [/BLOCK EQUATION]Voorbeeld 2 (geavanceerde context): Twee signaalmatrices (metingen in uren):
[BLOCK EQUATION] M_1 = \begin{pmatrix} 12 & 15 & 9 & 7 \\ 3 & 6 & 8 & 4 \end{pmatrix}, M_2 = \begin{pmatrix} -3 & 4 & 0 & 1 \\ 7 & -6 & 2 & 5 \end{pmatrix} [/BLOCK EQUATION]Resultaat:
[BLOCK EQUATION] M_1 + M_2 = \begin{pmatrix} 12+(-3) & 15+4 & 9+0 & 7+1 \\ 3+7 & 6+(-6) & 8+2 & 4+5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & 19 & 9 & 8 \\ 10 & 0 & 10 & 9 \end{pmatrix} [/BLOCK EQUATION]Veel gemaakte fouten
Optellen van matrices met ongelijke afmetingen, wat niet is gedefinieerd
Vergeten om elk overeenkomstig element paarsgewijs op te tellen
Voorwaarde en voorbeeld van matrices aftrekken
Definitie
Aftrekken van matrices is alleen gedefinieerd wanneer beide matrices exact dezelfde dimensie hebben. Voor [INLINE EQUATION]A[/INLINE EQUATION] en [INLINE EQUATION]B[/INLINE EQUATION] van formaat [INLINE EQUATION]m \times n[/INLINE EQUATION] is [INLINE EQUATION]D = A - B[/INLINE EQUATION] de matrix waarvan de elementen [INLINE EQUATION]d_{ij} = a_{ij} - b_{ij}[/INLINE EQUATION].
Belangrijke concepten
De dimensievoorwaarde is strikt noodzakelijk, net als bij optellen
Aftrekken is niet commutatief maar wel distributief over optelling
Formules en berekeningen
Voor [INLINE EQUATION]A, B \in \mathbb{R}^{m\times n}[/INLINE EQUATION]:
[BLOCK EQUATION] D = A - B \implies d_{ij} = a_{ij} - b_{ij} [/BLOCK EQUATION]Praktijkvoorbeelden
Voorbeeld 1:
[BLOCK EQUATION] A = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 2 & 8 \\ 6 & 4 \end{pmatrix},~ B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 6 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} [/BLOCK EQUATION][BLOCK EQUATION] A - B = \begin{pmatrix} 3-2 & 5-1 \\ 2-1 & 8-6 \\ 6-3 & 4-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} [/BLOCK EQUATION]