Eigenschappen van driehoeken, vierhoeken en cirkels

Blok 1: Hoekensommen, buitenhoek en rechthoekige driehoek

Definitie

In elke driehoek is de som van de interne hoeken exact $180^\circ$. De buitenhoek bij een hoekpunt is gelijk aan de som van de twee niet-aanliggende binnenhoeken. Een rechthoekige driehoek is een driehoek waarin precies één van de drie hoeken een rechterhoek is ($90^\circ$). In een rechthoekige driehoek geldt het Pythagorese verband: het kwadraat van de lengte van de schuine zijde (hypotenusa) is gelijk aan de som van de kwadraten van de lengtes van de rechthoekzijden.

Belangrijke concepten

• Binnenhoeksom: Elke driehoek, ongeacht vorm of grootte, heeft een interne hoeksom van $180^\circ$. Deze eigenschap blijft behouden voor zowel scherpe als stomphoekige driehoeken.

• Buitenhoekeigenschap: De maat van een buitenhoek bij een bepaald hoekpunt van een driehoek is altijd gelijk aan de som van de twee niet-aanliggende hoeken. Dit geldt in elke driehoek en wordt vaak ingezet bij gevorderde bewijsvoering.

• Pythagorese eigenschap: In een rechthoekige driehoek met rechthoekpunten B en C en schuine zijde a tegenover hoek A, geldt: $a^2 = b^2 + c^2$, waarbij b en c de lengtes zijn van de rechthoekzijden.

• Oriëntatie en benaming: Veel examenvragen eisen een correcte identificatie van de hypotenusa tegenover de rechterhoek en de correcte benoeming van zijden bij gebruik van de Pythagoras-formule.

Formules en berekeningen

• Som van de binnenhoeken van een driehoek: $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

• Buitenhoek: Buitenhoek bij hoekpunt A: $\angle A_\text{buiten} = \angle B + \angle C$

• Stelling van Pythagoras (rechthoekige driehoek, met a als hypotenusa): $a^2 = b^2 + c^2$

Illustratie (tekstueel)

Driehoek ABC met de rechterhoek in C: