Gecombineerde les: De goniometrische cirkel & goniometrische getallen (formules, standardwaarden en grafische interpretatie)

Blok 1: Introductie en (reciproque) definities van goniometrische getallen in de rechthoekige driehoek

Definitie

Goniometrische getallen beschrijven de wiskundige verhoudingen tussen de lengten van zijden in een rechthoekige driehoek voor een gegeven scherpe hoek. Deze functies zijn sinus (sin), cosinus (cos), tangens (tan), cotangens (cot), secans (sec) en cosecans (cosec). Elk van deze functies komt voort uit specifieke zijdenverhoudingen, te herkennen met het mnemotechnisch hulpmiddel SOS CAS TOA:

• Sinus (sin): verhouding van de overstaande rechthoekzijde tot de schuine zijde.

• Cosinus (cos): verhouding van de aanliggende rechthoekzijde tot de schuine zijde.

• Tangens (tan): verhouding van de overstaande rechthoekzijde tot de aanliggende rechthoekzijde.

De reciprociteit van deze functies resulteert in de definities van cotangens, secans en cosecans:

• Cotangens (cot): reciproke van tangens ($cot(x) = 1/tan(x)$)

• Secans (sec): reciproke van cosinus ($sec(x) = 1/cos(x)$)

• Cosecans (cosec): reciproke van sinus ($cosec(x) = 1/sin(x)$)

Belangrijke concepten

• SOS CAS TOA: Voor iedere scherpe hoek $x$ in een rechthoekige driehoek met schuine zijde (hypotenusa), overstaande rechthoekzijde en aanliggende rechthoekzijde:

  • [INLINE_EQUATION]Sin(x) = overstaande rechthoekzijde / schuine zijde[/INLINE_EQUATION]

  • [INLINE_EQUATION]Cos(x) = aanliggende rechthoekzijde / schuine zijde[/INLINE_EQUATION]

  • [INLINE_EQUATION]Tan(x) = overstaande rechthoekzijde / aanliggende rechthoekzijde[/INLINE_EQUATION]

• Reciproke functies en hun notaties:

  • [INLINE_EQUATION]Cot(x) = 1 / tan(x) = aanliggende rechthoekzijde / overstaande rechthoekzijde[/INLINE_EQUATION]

  • [INLINE_EQUATION]Sec(x) = 1 / cos(x) = schuine zijde / aanliggende rechthoekzijde[/INLINE_EQUATION]

  • [INLINE_EQUATION]Cosec(x) = 1 / sin(x) = schuine zijde / overstaande rechthoekzijde[/INLINE_EQUATION]

Formules en berekeningen

• [INLINE_EQUATION]sin(x) = overstaande rechthoekzijde / schuine zijde[/INLINE_EQUATION]

• [INLINE_EQUATION]cos(x) = aanliggende rechthoekzijde / schuine zijde[/INLINE_EQUATION]

• [INLINE_EQUATION]tan(x) = overstaande rechthoekzijde / aanliggende rechthoekzijde[/INLINE_EQUATION]

• [INLINE_EQUATION]tan(x) = sin(x) / cos(x)[/INLINE_EQUATION]

• [INLINE_EQUATION]cot(x) = 1 / tan(x)[/INLINE_EQUATION]

• [INLINE_EQUATION]sec(x) = 1 / cos(x)[/INLINE_EQUATION]

• [INLINE_EQUATION]cosec(x) = 1 / sin(x)[/INLINE_EQUATION]

De notatie met fucties is steeds gebaseerd op de hoek $x$ die wordt genomen met betrekking tot een bepaalde zijde.

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: In een rechthoekige driehoek ABC met ∠C = 90°, schuine zijde AB = 13, aanliggende rechthoekzijde AC = 5 en overstaande rechthoekzijde BC = 12.

• [INLINE_EQUATION]sin(∠A) = BC / AB = 12 / 13[/INLINE_EQUATION]

• [INLINE_EQUATION]cos(∠A) = AC / AB = 5 / 13[/INLINE_EQUATION]

• [INLINE_EQUATION]tan(∠A) = BC / AC = 12 / 5[/INLINE_EQUATION]

• [INLINE_EQUATION]cot(∠A) = AC / BC = 5 / 12[/INLINE_EQUATION]

• [INLINE_EQUATION]sec(∠A) = AB / AC = 13 / 5[/INLINE_EQUATION]

• [INLINE_EQUATION]cosec(∠A) = AB / BC = 13 / 12[/INLINE_EQUATION]

Voorbeeld 2: Een rechthoekige driehoek met overstaande rechthoekzijde = 7, aanliggende rechthoekzijde = 24, schuine zijde = 25 (Pythagoreïsch drietal).

• [INLINE_EQUATION]sin(x) = 7 / 25[/INLINE_EQUATION]

• [INLINE_EQUATION]cos(x) = 24 / 25[/INLINE_EQUATION]

• [INLINE_EQUATION]tan(x) = 7 / 24[/INLINE_EQUATION]

• [INLINE_EQUATION]cot(x) = 24 / 7[/INLINE_EQUATION]

• [INLINE_EQUATION]sec(x) = 25 / 24[/INLINE_EQUATION]

• [INLINE_EQUATION]cosec(x) = 25 / 7[/INLINE_EQUATION]

Veel gemaakte fouten

• Verkeerd onderscheiden van overstaande en aanliggende zijde bij het bepalen van de hoeken.

• Gebruik van $tan(x) = overstaande / schuine$ (fout!), in plaats van overstaande / aanliggende.

• Omkeren van teller en noemer bij reciproke functies – bijvoorbeeld $sec(x) = 1 / cos(x)$, niet omgekeerd.

• Onjuiste toepassing van cotan(x) als $cotan(x) = cos(x) / sin(x)$ in plaats van aanliggende / overstaande.

• Verwarren van symbolen: sec(x) en cosec(x) worden regelmatig omgedraaid.

Blok 2: Standaardwaarden van goniometrische functies voor belangrijke hoeken

Definitie

De standaardwaarden van de goniometrische functies zijn de exacte waarden van sinus, cosinus, tangens en cotangens voor specifieke hoeken die cruciaal zijn voor analytische en toegepaste vraagstukken in de goniometrie. Deze waarden liggen volledig vast en vormen het fundament voor het oplossen van meer complexe meetkundige problemen.

Belangrijke concepten

• De standaardwaarden worden uitgedrukt in breuken en wortelvorm voor perfecte nauwkeurigheid.

• Tabel van goniometrische getallen voor hoeken: $0°$, $30°$, $45°$, $60°$, $90°$, $180°$.

• Voor niet-standaardhoeken zijn benaderingswaarden relevant (vaak uit de rekenmachine gehaald), maar het is belangrijk inzicht te bewaren in de grootteorde van de waarden.

Formules en berekeningen

Tabel – goniometrische waarden (exact voor standaardhoeken):

Niet-standaardwaarden (voorbeeld):

• $sin(1°) ≈ 0,017$

• $cos(1°) ≈ 0,9998$

Deze waarden zijn bij benadering en verkregen via de rekenmachine; ze zijn niet exact.

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Bereken $sin(60°) · cos(30°)$:

• $sin(60°) = √3/2$

• $cos(30°) = √3/2$

• Product: $(√3/2) · (√3/2) = (3/4)$

Voorbeeld 2: Los op: $tan(45°) + cot(60°)$

• $tan(45°) = 1$

• $cot(60°) = 1/√3 = √3/3$

• Optelsom: $1 + √3/3$

Veel gemaakte fouten

• Verkeerde substitutie van waarden voor de verkeerde hoek (bv. $sin(60°)$ en $sin(30°)$ verwisselen).

• Gebruik van decimale afrondingen waar exacte waarden vereist zijn in het eindantwoord.

• Niet herkennen van "niet gedefinieerd" bij $tan(90°)$, $cot(0°)$, etc.

• Onbegrip over het teken van de cotangens in gradiëntumrekeningen met standaardhoeken in andere kwadranten.

Blok 3: De eenheidscirkel (goniometrische cirkel) en geometrische interpretatie van goniometrische functies

Definitie

De eenheidscirkel is een cirkel met straal $1$, gecentreerd in de oorsprong van het $xy$-coördinatenstelsel. Elke hoek $x$ (uitgedrukt in radialen of graden) correspondeert met een punt op deze cirkel, waarbij de goniometrische getallen verbonden zijn aan de coördinaten van dit punt.

Belangrijke concepten

• Sinusfunctie ([INLINE_EQUATION]sin(x)[/INLINE_EQUATION]): de y-coördinaat van het snijpunt van de eenheidscirkel met het lijnstuk dat onder een hoek $x$ gezien vanuit de oorsprong is getrokken.

• Cosinusfunctie ([INLINE_EQUATION]cos(x)[/INLINE_EQUATION]): de x-coördinaat van datzelfde snijpunt.

• Tangensfunctie ([INLINE_EQUATION]tan(x)[/INLINE_EQUATION]): de waarde van $tan(x)$ correspondeert met de snijafstand van een raaklijn aan de cirkel in $x = 0$ (de y-as) met de verlengde radius onder hoek $x$.

• Cotangensfunctie ([INLINE_EQUATION]cot(x)[/INLINE_EQUATION]): is analoog met $tan(x)$, nu als de afstand op een raaklijn aan de cirkel in $y = 0$ (de x-as).

• Kwadranten: De eenheidscirkel deelt het vlak in vier kwadranten. Afhankelijk van het kwadrant heeft $sin(x)$, $cos(x)$ of $tan(x)$ een positief dan wel negatief teken:

  • Kwadrant I ([INLINE_EQUATION]0° < x < 90°[/INLINE_EQUATION]): $sin(x) > 0$, $cos(x) > 0$, $tan(x) > 0$

  • Kwadrant II ([INLINE_EQUATION]90° < x < 180°[/INLINE_EQUATION]): $sin(x) > 0$, $cos(x) < 0$, $tan(x) < 0$

  • Kwadrant III ([INLINE_EQUATION]180° < x < 270°[/INLINE_EQUATION]): $sin(x) < 0$, $cos(x) < 0$, $tan(x) > 0$

  • Kwadrant IV ([INLINE_EQUATION]270° < x < 360°[/INLINE_EQUATION]): $sin(x) < 0$, $cos(x) > 0$, $tan(x) < 0$

Formules en berekeningen

• Voor een punt P op de eenheidscirkel dat met het lijnstuk OP een hoek $x$ maakt met de positieve x-as: - $P = (cos(x), sin(x))$

• Tangens en cotangens via de eenheidscirkel: - $tan(x) = sin(x)/cos(x)$ - $cot(x) = cos(x)/sin(x)$

• De lengte van de raaklijn aan de eenheidscirkel in $x = 0$ (tegenover het snijpunt van de x-as) waar de verlengde lijn onder hoek $x$ de raaklijn snijdt, geeft $tan(x)$.

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Bepaal de tekens van $sin(150°)$, $cos(150°)$ en $tan(150°)$ met behulp van de eenheidscirkel.

• $150°$ ligt in het tweede kwadrant.

• $sin(150°): positief$

• $cos(150°): negatief$

• $tan(150°): negatief$

Voorbeeld 2: Gegeven $x = 210°$, bepaal $sin(210°)$ en de bijbehorende coördinaat op de eenheidscirkel.

• $210° = 180° + 30°$, dus de referentiehoek is $30°$ in het derde kwadrant.

• $sin(210°) = -sin(30°) = -1/2$

• $cos(210°) = -cos(30°) = -√3/2$

• Punt op cirkel: $( -√3/2, -1/2 )$

Veel gemaakte fouten

• Onjuist bepalen van het kwadrant voor een negatieve of meer dan $360°$ grote hoek.

• Verkeerd teken toekennen aan $sin(x)$, $cos(x)$ of $tan(x)$ door foutieve interpretatie van het kwadrant.

• Niet realiseren dat $tan(x)$ en $cot(x)$ voor bepaalde hoeken niet gedefinieerd zijn door deling door nul (zoals $tan(90°)$).

• Onvoldoende visuele interpretatie van het snijpunt op de eenheidscirkel.

Blok 4: Algemeen functievoorschrift en eigenschappen van goniometrische functies

Definitie

Het algemeen functievoorschrift van een goniometrische functie is de parametrisering waarmee elke goniometrische functie als grafiek en formule op een x-as kan worden weergegeven, met inbegrip van amplitude, periode, faseverschuiving en verticale verschuiving. Dit geldt voor $sin(x)$, $cos(x)$ en $tan(x)$.

Belangrijke concepten

• Sinusfunctie: - Algemeen voorschrift: $f(x) = a · sin(b(x - c)) + d$ - a: amplitude (verticaal gerekt) - b: frequentie/periodiciteit (horizontale uitrekking, periode $T = 2π/b$) - c: faseverschuiving (horizontale verschuiving) - d: verticale verschuiving

• Cosinusfunctie: $f(x) = a · cos(b(x - c)) + d$

• Tangensfunctie: $f(x) = a · tan(b(x - c)) + d$

• Asymptoten: - Tangens-, cotangens-, secans- en cosecansfuncties hebben verticale asymptoten, waar de functie niet gedefinieerd is door nuldeling. - Inverse functies hiervan vertonen horizontale asymptoten.

Formules en berekeningen

• Periode: $T = 2π / b$ (voor $sin(x)$ en $cos(x)$), $T = π / b$ (voor $tan(x)$ en $cot(x)$)

• Verticaal maximum/minimum: $Max = a + d$, $Min = -a + d$ (bij |a| en d gegeven)

• Verticale asymptoten (tangens): $x = (π/2 + kπ) / b + c$, voor elke $k ∈ ℤ$

• Horizontale verschuiving ("faseverschuiving"): de hele grafiek verschuift $c$ eenheden naar rechts (bij $c > 0$)

• Verticale verschuiving: de volledige grafiek wordt $d$ eenheden naar boven verplaatst bij $d > 0$

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Gegeven $f(x) = 2 · sin(0,5 (x - π/3)) + 1$

• Amplitude: $|2|$

• Periode: $2π / 0,5 = 4π$

• Horizontale verschuiving: $π/3$ naar rechts

• Verticale verschuiving: $1$ naar boven

• Maximum: $2 + 1 = 3$

• Minimum: $-2 + 1 = -1$

Voorbeeld 2: Gegeven $g(x) = tan(2x)$

• Periode: $π / 2$

• Verticale asymptoten: $x = π/4 + k·π/2$, met $k ∈ ℤ$

• Er is geen verschuiving noch verticale verschuiving

Veel gemaakte fouten

• Verkeerde aflezing van de periodeparameter $b$, vooral bij $tan(x)$ en $cot(x)$ waarbij de periode $π$ is, niet $2π$.

• Onjuiste toepassing van faseverschuiving, vooral als $c$ niet correct met het teken wordt behandeld.

• Niet opmerken van verticale asymptoten bij $tan(x)$, $sec(x)$, $cosec(x)$ indien geen aandacht voor de nulwaarden in noemer.

• Negeren van de effecten van amplitude $a < 0$ (verticale omkering van de grafiek).

Samenvatting

Deze les behandelt de volledige systematiek van goniometrische getallen:

• Goniometrische functies ontstaan uit de zijdenverhoudingen in de rechthoekige driehoek, compact samengevat in SOS CAS TOA.

• Zowel de primaire ($sin$, $cos$, $tan$) als de afgeleide ($cot$, $sec$, $cosec$) functies volgen uit reciprociteit en worden via breukvormen genoteerd.

• Standaardwaarden voor kernhoeken ($0°$, $30°$, $45°$, $60°$, $90°$, $180°$) zijn exact gekend en cruciaal bij analytische en toegepaste vraagstukken.

• De eenheidscirkel koppelt elk goniometrisch getal aan een geometrische interpretatie via coördinaten, met een fundamentele rol voor het bepalen van functietekens in de vier kwadranten.

• Algemene functievoorschriften volgen het patroon van amplitude, periode, fase- en verticale verschuiving, met bijzondere aandacht voor het voorkomen van asymptoten bij tangens-, cotangens-, secans- en cosecansfuncties.

Oefenvragen

1. Gegeven een rechthoekige driehoek met schuine zijde $10$, één rechthoekzijde $8$ en een scherpe hoek $α$ aan de zijde van lengte $8$. Bereken $sec(α)$ en $cosec(α)$. *Antwoord:*

• $sec(α) = 10 / 8 = 1,25$

• $sin(α) = overstaande / schuine → afleiden: overstaande^2 = 10^2 - 8^2 = 36 ⇒ overstaande = 6$

• $cosec(α) = 10 / 6 ≈ 1,6667$

2. Bepaal zonder rekenmachine $tan(120°)$ en geef het teken. *Antwoord:*

• $120°$ is $180° - 60°$, kwadrant II, $tan(120°) = -tan(60°) = -√3$

3. Voor de functie $f(x) = 3 · cos(2(x - π)) – 2$, geef amplitude, periode, horizontale en verticale verschuiving. *Antwoord:*

• Amplitude = $3$

• Periode = $2π / 2 = π$

• Horizontale verschuiving = $π$ naar rechts

• Verticale verschuiving = $2$ naar beneden

4. Op de eenheidscirkel: wat zijn de coördinaten van het snijpunt voor $x = 330°$? Welke tekens hebben $sin(330°)$, $cos(330°)$ en $tan(330°)$? *Antwoord:*

• $330° = 360° - 30°$, dus referentiehoek $30°$ in kwadrant IV

• $cos(330°) = cos(30°) = √3/2 (> 0)$

• $sin(330°) = -sin(30°) = -1/2 (< 0)$

• $tan(330°) = -tan(30°) = -1/√3 (< 0)$

• Coördinaat: $(√3/2, -1/2)$

5. Geef de vergelijking van de verticale asymptoten van $f(x) = tan(3x – π/2)$. *Antwoord:*

• $tan(a) is niet gedefinieerd wanneer cos(a) = 0 → 3x – π/2 = π/2 + kπ → 3x = π + kπ → x = (π + kπ)/3$ met $k ∈ ℤ$