Het meten van hoeken in graden en radialen
Blok 1: Definitie van de radiaal als hoekmaat
Definitie
Een radiaal is de standaardhoekmaat in de wiskunde, waarbij 1 radiaal wordt gedefinieerd als de grootte van die middelpuntshoek in een cirkel waarvan de bijbehorende booglengte exact gelijk is aan de straal van de cirkel. Dit betekent: als de straal van de cirkel gelijk is aan [INLINE EQUATION]r[/INLINE EQUATION] en de boog die door een hoek wordt ondersteund heeft eveneens een lengte [INLINE EQUATION]s = r[/INLINE EQUATION], dan is deze hoek exact 1 radiaal.
Belangrijke concepten
De radiaal is direct gerelateerd aan de centrale eigenschappen van de cirkel en maakt gebruik van de verhouding tussen booglengte en straal. Het belangrijkste principe is dat de grootte van de hoek in radialen wordt bepaald als het quotiënt van booglengte en straal:
[BLOCK EQUATION]\theta \text{ (in radialen)} = \frac{s}{r}[/BLOCK EQUATION]waarbij:
[INLINE EQUATION]\theta[/INLINE EQUATION] de middelpuntshoek is
[INLINE EQUATION]s[/INLINE EQUATION] de lengte van de onderspannen boog
[INLINE EQUATION]r[/INLINE EQUATION] de straal van de cirkel
Radialen zijn een dimensieloze grootheid, aangezien zowel [INLINE EQUATION]s[/INLINE EQUATION] als [INLINE EQUATION]r[/INLINE EQUATION] in dezelfde eenheid worden uitgedrukt en elkaar dus opheffen.
Radialen als hoekmaat zijn fundamenteel voor het differentiëren en integreren van goniometrische functies, omdat bijvoorbeeld de afgeleide van de sinus enkel direct en zonder extra conversiefactoren uitdrukbaar is in radialen.
Formules en berekeningen
De algemene formule die de relatie tussen booglengte, straal en hoek vastlegt is:
[BLOCK EQUATION]\theta = \frac{s}{r}[/BLOCK EQUATION]Voor [INLINE EQUATION]s = r[/INLINE EQUATION] geldt [INLINE EQUATION]\theta = 1[/INLINE EQUATION] radiaal.
De volledige omtrek van een cirkel bedraagt [INLINE EQUATION]2\pi r[/INLINE EQUATION]. De hoek die hiermee correspondeert is dus:
Dit betekent dat één volledige omwenteling rond een cirkel overeenkomt met een hoek van [INLINE EQUATION]2\pi[/INLINE EQUATION] radialen.
Praktijkvoorbeelden
Voorbeeld 1: Een sector van een cirkel met straal 4 cm heeft een boog met lengte 6 cm. Bereken de maat van de bijbehorende hoek in radialen.
[BLOCK EQUATION]\theta = \frac{s}{r} = \frac{6}{4} = 1,5 \text{ radialen}[/BLOCK EQUATION]Voorbeeld 2: Gegeven: een middelpuntshoek van 3 radialen in een cirkel met straal 5 cm. Wat is de lengte van de bijbehorende boog?
[BLOCK EQUATION]s = \theta \cdot r = 3 \cdot 5 = 15 \text{ cm}[/BLOCK EQUATION]Veel gemaakte fouten
De betrouwbaarheidsvalkuil van graden versus radialen: studenten vergeten aan te geven in welke eenheid ze werken, wat leidt tot fouten bij substitutie in formules, bijvoorbeeld het gebruik van formules voor booglengte met een hoek in graden.
Verkeerd gebruik van de formule [INLINE EQUATION]\theta = \frac{s}{r}[/INLINE EQUATION] waarbij men niet dezelfde eenheid hanteert voor [INLINE EQUATION]s[/INLINE EQUATION] en [INLINE EQUATION]r[/INLINE EQUATION], bijvoorbeeld centimeter voor [INLINE EQUATION]s[/INLINE EQUATION] en meter voor [INLINE EQUATION]r[/INLINE EQUATION], waardoor de uitkomst niet meer dimensieloos en dus incorrect is.
Vergeten dat radialen een dimensieloze grootheid zijn, wat leidt tot foute interpretatie bij verdere wiskundige bewerkingen, vooral bij de afleiding van wiskundige identiteiten.
Blok 2: Omrekenen tussen radialen en graden
Definitie
De omrekening tussen graden en radialen is gebaseerd op het feit dat een volledige cirkel een hoek van [INLINE EQUATION]360\degree[/INLINE EQUATION] of [INLINE EQUATION]2\pi[/INLINE EQUATION] radialen omvat. Dit geeft de volgende verhoudingen:
[BLOCK EQUATION]360\degree = 2\pi \text{ rad}[/BLOCK EQUATION][BLOCK EQUATION]180\degree = \pi \text{ rad}[/BLOCK EQUATION]Hierop zijn alle omrekenformules gebaseerd.
Belangrijke concepten
De verhouding tussen graden en radialen wordt in eindexamenvragen vaak gebruikt bij substitutie van hoeken in goniometrische, trigonometrische en analytische contexten. Het correct omzetten van de hoekmaat is essentieel bij toepassingen in bijvoorbeeld goniometrische vergelijkingen, afgeleiden en integralen van circulaire functies, of bij het interpreteren van eenheidskring-coördinaten.
Bij het werken met goniometrische functies in formules moet de input in radialen zijn als er met afgeleiden, integralen of Taylorreeksen wordt gewerkt. In veel parameterproblemen (zoals harmonische beweging) wordt expliciet gewerkt in radialen per seconde (hoeksnelheid).
Formules en berekeningen
Voor het omrekenen van een hoek uitgedrukt in graden ([INLINE EQUATION]\theta^\circ[/INLINE EQUATION]) naar radialen ([INLINE EQUATION]\theta[/INLINE EQUATION] rad):
[BLOCK EQUATION]\theta\ (\text{rad}) = \theta^\circ \times \frac{\pi}{180}[/BLOCK EQUATION]Voor het omrekenen van een hoek gegeven in radialen naar graden:
[BLOCK EQUATION]\theta^\circ = \theta\ (\text{rad}) \times \frac{180}{\pi}[/BLOCK EQUATION]