Snijpunten van rechten en cirkels, snijpunten van rechten en parabolen

Blok 1: Mogelijke aantallen snijpunten tussen een rechte en een cirkel/parabool

Een rechte kan met een cirkel of een parabool het volgende aantal snijpunten hebben:

• 0 snijpunten: de rechte raakt of snijdt het andere object niet (geen gemeenschappelijke punten).

• 1 snijpunt: de rechte is raaklijn aan de cirkel of parabool (exact één gemeenschappelijk punt).

• 2 snijpunten: de rechte snijdt de cirkel of parabool in precies twee verschillende punten.

Deze mogelijkheden zijn altijd discreet: er kunnen nooit meer dan twee snijpunten zijn bij de doorsnede van een rechte met een cirkel of een standaardparabool (y = ax² + bx + c).

Blok 2: Algemene werkwijze om snijpunten te berekenen

Definitie

Het bepalen van de snijpunten van een rechte en een cirkel of parabool berust steeds op het oplossen van een stelsel vergelijkingen bestaande uit de vergelijking van de rechte enerzijds, en de vergelijking van de cirkel of parabool anderzijds.

Belangrijke concepten

• Expressie van y = ... voor de rechte: De rechte moet steeds als expliciete functie van y in x worden geschreven, dit is noodzakelijk voor correcte substitutie.

• Substitutie: De uitdrukking van y wordt substitutief ingevuld in de vergelijking van de cirkel of parabool. Hierdoor ontstaat steeds een kwadratische vergelijking in x.

• Oplossen van het stelsel: Deze kwadratische vergelijking kan dan (analoog voor x als functie van y, indien nodig) worden opgelost om de coördinaten van de snijpunten te vinden.

Formules en berekeningen

1. Herleiden van de rechte: Indien de vergelijking van de rechte niet van de vorm y = mx + q is, herschrijf dan tot deze vorm.

2. Substitutie: - Bij een cirkel: Vervang y in de vergelijking van de cirkel door y = mx + q. - Bij een parabool: Vervang y in de vergelijking van de parabool door de uitdrukking van de rechte.

3. Kwadratische vergelijking in x: Na substitutie ontstaat een vergelijking van de vorm $a x^2 + b x + c = 0$.

4. Oplossen voor x: Gebruik de discriminant om het aantal en de waarde van de oplossingen te bepalen.

5. Bepalen van bijhorende y-waarden: Vervang de gevonden x-waarden in de vergelijking van de rechte.

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Snijpunten van een rechte met een cirkel

Beschouw de cirkel met vergelijking $x^2 + y^2 = 25$ en de rechte met vergelijking $y = 3x + 1$.

1. Substitutie: Vervang y in de cirkelvergelijking: $x^2 + (3x + 1)^2 = 25$

2. Uitwerken: $x^2 + 9x^2 + 6x + 1 = 25$ $10x^2 + 6x + 1 - 25 = 0$ $10x^2 + 6x - 24 = 0$

3. Kwadratische vergelijking in x ontstaat: $10x^2 + 6x - 24 = 0$

4. Oplossen via discriminant (zie Blok 3)

5. Coördinaten van de snijpunten: Vervang iedere gevonden x-waarde in $y = 3x + 1$.

Voorbeeld 2: Snijpunten van een rechte met een parabool

Beschouw de parabool $y = x^2 - 4x + 2$ en de rechte $y = 2x - 5$.

1. Stel de vergelijkingen aan elkaar gelijk: $x^2 - 4x + 2 = 2x - 5$

2. Breng alles naar één lid: $x^2 - 6x + 7 = 0$

3. Deze kwadratische vergelijking in x los je op, waarna je elke oplossing invult in $y = 2x - 5$ om y te vinden.

Veel gemaakte fouten

• Vergeten naar de juiste vorm te herleiden: Soms wordt de vergelijking van de rechte niet expliciet als y = ... of x = ... genoteerd, waardoor substitutie fout verloopt.

• Onzorgvuldig substitueren: Fouten ontstaan vaak door slordig uitwerken van haakjes bij het kwadrateren van een uitdrukking (bijvoorbeeld (mx + q)²).

• Vergeten alle oplossingen na te gaan: Wanneer na het oplossen van de kwadratische vergelijking slechts één van de oplossingen gebruikt wordt, gaat een snijpunt verloren.

• Discriminant verkeerd toepassen: Discriminant berekenen zonder de coëfficiënten correct over te nemen, leidt tot verkeerde interpretatie van het aantal snijpunten.

Blok 3: Discriminant-regel voor het aantal snijpunten

Definitie

De discriminant $D$ van een kwadratische vergelijking $a x^2 + b x + c = 0$ bepaalt exact het aantal snijpunten van een rechte met een cirkel of parabool.

Belangrijke concepten

• De waarde van $D$ is bepalend: - $D < 0$: Geen reële oplossingen, dus geen snijpunten. - $D = 0$: Exact één reële oplossing, dus één snijpunt (raakpunt). - $D > 0$: Twee verschillende reële oplossingen, dus twee snijpunten.

• De discriminant wordt berekend als $D = b^2 - 4ac$.

Formules en berekeningen

• Bepaal voor de gevonden kwadratische vergelijking de discriminant: $D = b^2 - 4ac$.

• Controleer met $D$ hoeveel snijpunten de rechte en de cirkel/parabool hebben.

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Cirkel met rechte

Uit het voorafgaande voorbeeld: Vergelijking: $10x^2 + 6x -24 = 0$ Discriminant: $D = 6^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-24) = 36 + 960 = 996$ $D > 0$, dus er zijn twee snijpunten.

Voorbeeld 2: Parabool met rechte

Vergelijking: $x^2 - 6x + 7 = 0$ Discriminant: $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 36 - 28 = 8$ $D > 0$, dus twee snijpunten.

Indien voor een gelijkaardig probleem $D = 0$, dan ligt de rechte rakend aan de parabool of cirkel en is er exact één snijpunt.

Veel gemaakte fouten

• Onderschatten van het complex belang van D = 0: Een raaklijn wordt vaak fout geïnterpreteerd als snijpuntloos of als twee snijpunten.

• Negeren van de noodzaak tot herberekening bij parameterproblemen: Bij een onbekende parameter wordt soms de link tussen de discriminant en het aantal snijpunten niet correct gelegd, waardoor parameterwaarden niet volledig onderzocht worden.

Samenvatting

• Een rechte kan met een cirkel of parabool precies 0, 1 of 2 snijpunten hebben, afhankelijk van de situatie.

• De standaardwerkwijze bestaat uit: de rechte herleiden tot y = ..., invullen in de vergelijking van de cirkel of parabool, en de ontstane kwadratische vergelijking oplossen.

• Het aantal snijpunten wordt volledig bepaald door de discriminant van de kwadratische vergelijking: - $D < 0$: geen snijpunten. - $D = 0$: één snijpunt (raakpunt). - $D > 0$: twee snijpunten.

• Correct omgaan met substitutie en discriminantberekening is essentieel voor een correcte analyse van snijpunten.

Oefenvragen

1. Gegeven de cirkel [INLINE_EQUATION](x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 16[/INLINE_EQUATION] en de rechte [INLINE_EQUATION]y = -2x + 3[/INLINE_EQUATION]: - Bereken exact het aantal snijpunten en de coördinaten van elk snijpunt. - Antwoord: Substitueer $y = -2x + 3$ in de cirkel: $(x - 1)^2 + ((-2x + 3) + 2)^2 = 16$, los op voor x, vind de discriminant. Als D > 0, zijn er twee snijpunten. Oplossingen: $x_1 = 2, y_1 = -1$ en $x_2 = -1, y_2 = 5$.

2. Bepaal voor welke waarden van [INLINE_EQUATION]a[/INLINE_EQUATION] de rechte [INLINE_EQUATION]y = ax + 1[/INLINE_EQUATION] de parabool [INLINE_EQUATION]y = x^2 + 3x + 5[/INLINE_EQUATION] raakt. - Antwoord: Stel aan elkaar gelijk: $ax + 1 = x^2 + 3x + 5$ → $x^2 + (3 - a)x + 4 = 0$, raaklijn als D = 0: $(3 - a)^2 - 16 = 0$. Dus $3 - a = \pm4 \to a = -1; a = 7$.

3. Beschouw de parabool [INLINE_EQUATION]y = -x^2 + 6x - 7[/INLINE_EQUATION] en de rechte [INLINE_EQUATION]y = m[/INLINE_EQUATION] (horizontale rechte). Bepaal de waarden van [INLINE_EQUATION]m[/INLINE_EQUATION] zodat de rechte geen enkel snijpunt met de parabool heeft. - Antwoord: Los op: $m = -x^2 + 6x - 7$ ↔ $x^2 - 6x + (m + 7) = 0$. Geen snijpunten als $D < 0$: $(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m + 7) < 0 \Rightarrow 36 - 4m - 28 < 0 \Rightarrow 8 - 4m < 0 \Rightarrow m > 2$. Alle $m > 2$ voldoen.

4. Voor welke waarden van [INLINE_EQUATION]p[/INLINE_EQUATION] is de rechte [INLINE_EQUATION]x + y = p[/INLINE_EQUATION] geheel buiten de cirkel [INLINE_EQUATION]x^2 + y^2 = 4[/INLINE_EQUATION]? - Antwoord: Herschrijf als $y = p - x$. Invullen in de cirkel geeft: $x^2 + (p - x)^2 = 4 \Rightarrow 2x^2 - 2px + p^2 - 4 = 0$. Geen snijpunten als discriminant < 0: $D = (-2p)^2 - 8(p^2 - 4) = 4p^2 - 8p^2 + 32 = -4p^2 + 32 < 0 \Rightarrow p^2 > 8 \Rightarrow |p| > 2 \sqrt{2}$.