Vergelijkingen van rechten, parabolen en cirkels

Vergelijkingen en kenmerken van rechten

Algemene vergelijking van een rechte

Definitie

De algemene vergelijking van een rechte in een cartesisch assenstelsel wordt gegeven door de formule $y = ax + b$, waarin:

• $a$ de richtingscoëfficiënt (rico) van de rechte is;

• $b$ het snijpunt van de rechte met de y-as voorstelt.

Belangrijke concepten

De richtingscoëfficiënt bepaalt de helling van de rechte ten opzichte van de x-as. Voor twee punten $A(x_1, y_1)$ en $B(x_2, y_2)$ op de rechte geldt:

• $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$, met $m$ als de richtingscoëfficiënt;

• Dit is geometrisch gelijk aan de tangens van de hoek $\alpha$ tussen de rechte en de positieve x-as: $m = \tan \alpha$.

Eigenschappen van de richtingscoëfficiënt:

• Twee rechten zijn evenwijdig als en slechts als hun richtingscoëfficiënten gelijk zijn ($m_1 = m_2$);

• Twee rechten staan loodrecht op elkaar als het product van hun richtingscoëfficiënten gelijk is aan –1 ($m_1 \times m_2 = -1$), op voorwaarde dat geen van beide rechten evenwijdig is met de y-as.

Formules en berekeningen

Voor het bepalen van de richtingscoëfficiënt tussen twee punten:

Voor het nagaan van evenwijdigheid of loodrechte stand:

• Evenwijdig: $m_1 = m_2$

• Loodrecht: $m_1 \cdot m_2 = -1$

Indien de hoek $\alpha$ met de x-as bekend is:

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Gegeven zijn de punten $A(2, 3)$ en $B(5, 15)$. Gevraagd wordt de vergelijking van de rechte door deze punten, in de vorm $y = ax + b$.

Berekening van de richtingscoëfficiënt:

Met punt A invullen:

De vergelijking is dus: $y = 4x - 5$.

Voorbeeld 2: Bepaal of de rechten $y = 3x+1$ en $y = 3x-7$ evenwijdig zijn.

Beide rechten hebben een richtingscoëfficiënt $m = 3$, dus ze zijn strikt evenwijdig.

Veel gemaakte fouten

• Het vergeten van de volgorde bij het berekenen van de richtingscoëfficiënt, waardoor het teken verkeerd uitkomt.

• Loodrechte stand bepalen met foutief teken: $m_1 \cdot m_2 \neq +1$, altijd controleren op $-1$.

• Bij verticale rechten (vergelijking $x = \text{const}$) is de richtingscoëfficiënt niet gedefinieerd; hier loop je vaak tegen fouten aan als je formules mechanisch toepast.

Relaties tussen algemene rechtevergelijkingen en stelsels

Definitie

Algemene rechtevergelijkingen in een vlak hebben de vorm $ax + by = c$, waarbij $a$ en $b$ reële getallen zijn, en minstens één van beide ongelijk is aan nul. In het geval van een stelsel, worden twee zulke vergelijkingen samen behandeld:

Belangrijke concepten

De oplossing van het stelsel bepaalt het snijgedrag van de bijhorende rechten:

• Eén oplossing: De rechten snijden elkaar in één uniek punt. Dit is het geval indien de richtingscoëfficiënten verschillend zijn, oftewel de linkerleden van beide vergelijkingen zijn géén veelvouden van elkaar.

• Geen oplossing: De rechten zijn strikt evenwijdig en verschillend, dus ze hebben nooit een gemeenschappelijk punt. Dit doet zich voor indien de linkerleden (de coëfficiënten van $x$ en $y$) wél veelvouden zijn, maar het rechterlid niet.

• Oneindig veel oplossingen: De rechten zijn exact dezelfde, dus de vergelijkingen zijn volledig veelvouden van elkaar.

Formules en berekeningen

Onderzoek naar het aantal oplossingen gebeurt als volgt:

• Verschillende richtingscoëfficiënten: Uniek snijpunt;

• Gelijkvormige linkerleden en ongelijke rechterleden: Geen snijpunt;

• Volledig gelijkvormige vergelijkingen: Onbeperkt veel oplossingen.

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Stelsel:

Beide vergelijkingen zijn strikt equivalent via vermenigvuldiging van de tweede door 2. Dit betekent dat er oneindig veel oplossingen zijn: de rechten zijn samenvallend.

Voorbeeld 2: Stelsel:

De linkerleden zijn in verhouding (de tweede is het dubbele van de eerste), maar het rechterlid niet ($2 \cdot 7 \neq 12$), dus de rechten zijn evenwijdig en verschillend. Er is geen oplossing.

Veel gemaakte fouten

• Niet nagaan of het rechterlid in veelvoud meekoppelt bij de tweede vergelijking, waardoor samenvallende rechten onterecht als evenwijdig gezien worden.

• Onzorgvuldig omgaan met vermenigvuldigen of herleiden, waardoor de relatie tussen de rechten foutief ingeschat wordt.

• Onjuist gebruik van substitutie of gelijkstellingsmethoden bij strikt evenwijdige rechten, wat kan leiden tot schijnoplossingen.

Afstanden in het vlak

Afstand tussen twee punten

Definitie

Voor twee punten $P_1(x_1, y_1)$ en $P_2(x_2, y_2)$ in een orthogonaal assenstelsel is de afstand $d(P_1, P_2)$ gegeven door:

Belangrijke concepten

Deze formule volgt direct uit de stelling van Pythagoras en geldt uitsluitend in een Euclidisch vlak met gekende cartesiaanse coördinaten.

Formules en berekeningen

Reeds vermeld, zonder verdere herleiding.

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Gegeven $P_1(2, -1)$ en $P_2(7, 3)$:

Voorbeeld 2: Voor $P_1(-3, 8)$, $P_2(6, -4)$:

Veel gemaakte fouten

• Vergissing in het teken bij het berekenen van de verschillen;

• Vergeten haakjes of machtsverheffing, vooral bij negatieve coördinaten.

Afstand tussen een punt en een rechte

Definitie

De afstand van een punt $P(x_0, y_0)$ tot een rechte $r: ax + by + c = 0$ wordt uitgedrukt als:

Belangrijke concepten

Deze formule is gebaseerd op projectie van het punt op de rechte en meet de loodrechte kortste afstand.

Formules en berekeningen

Zie definitie. Geen verdere reducties vereist.

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Bepaal de afstand van $P(2, -1)$ tot de rechte $3x - 4y + 8 = 0$:

Voorbeeld 2: Afstand van punt $(1,2)$ tot $x + 2y - 5 = 0$:

Het punt ligt dus op de rechte.

Veel gemaakte fouten

• Het vergeten van de absolute waarde in de teller (tekens omwisselen);

• Onvolledig kwadrateren van negatieve coëfficiënten in de noemer.

Afstand tussen twee evenwijdige rechten

Definitie en belangrijke concepten

De afstand tussen twee evenwijdige rechten blijft overal consistent, omdat deze rechten geen snijpunten hebben en even ver van elkaar verwijderd blijven in hun volledige verloop.

Beschouw twee evenwijdige rechten: $r_1: ax + by + c_1 = 0$ en $r_2: ax + by + c_2 = 0$. Voor een willekeurig punt op één van de rechten bepaal je de afstand tot de andere rechte via de punt-rechte-formule.

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Evenwijdige rechten $2x - 5y + 4 = 0$ en $2x - 5y - 6 = 0$:

Afstand tussen deze rechten (bijvoorbeeld van het snijpunt van de eerste rechte met de y-as): Kies $x = 0$ in $r_1$: $0 - 5y + 4 = 0 \implies y = 0.8 \implies P(0, 0.8)$.

Afstand tot $r_2$:

Voorbeeld 2: Rechten $x + y - 1 = 0$ en $x + y + 3 = 0$:

Voor een willekeurig punt (bijvoorbeeld $(1, 0)$ op de eerste rechte):

Veel gemaakte fouten

• Onjuist bepalen van een punt op de rechte bij het toepassen van de afstandsformule.

• Vergeten dat de coëfficiënten precies hetzelfde moeten zijn (behalve het constante lid) voor geldige toepassing.

Parabool: eigenschappen en standaardvergelijking

Algemene vergelijking en interpretatie

Definitie

De algemene vergelijking van een parabool is:

Belangrijke concepten

• Het teken van $a$ bepaalt de oriëntatie:

  • $a > 0$: dalparabool (open naar boven, hol, minimum)

  • $a < 0$: bergparabool (open naar beneden, bol, maximum)

• Tweede afgeleide: - $f''(x) = 2a$. Dus voor $a > 0$: $f''(x) > 0$ overal; voor $a < 0$: $f''(x) < 0$.

• De absolute waarde van $a$, namelijk $|a|$, beïnvloedt de "scherpte" (smaller als $|a|$ groot is; breder bij kleine $|a|$).

• Het getal $c$ geeft het snijpunt met de y-as: $f(0) = c$.

• De top van de parabool heeft x-coördinaat $x_t = -\frac{b}{2a}$. Let op: in de analyse was soms $\frac{b}{2a}$ verkeerd genoteerd, maar het correcte is $x_t = -\frac{b}{2a}$.

Formules en berekeningen

• Parabool: $f(x) = a x^2 + b x + c$, $a \neq 0$

• Oriëntatie: $a > 0$ hol, $a < 0$ bol

• Top: $x_t = -\frac{b}{2a}$; de y-coördinaat is $y_t = f(x_t)$

• Opening: grotere $|a|$ betekent scherpere, smallere parabool

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Stel $f(x) = -2x^2 + 4x - 1$. - $a = -2 < 0$: bergparabool, top is maximum. - Top: $x_t = -\frac{4}{2 \cdot (-2)} = -\frac{4}{-4} = 1$. - $y_t = f(1) = -2 \times 1^2 + 4 \times 1 - 1 = -2 + 4 - 1 = 1$. - Snijpunt met y-as: $f(0) = -1$.

Voorbeeld 2: $f(x) = 0.5x^2 - 2x + 3$ - $a = 0.5 > 0$: dalparabool, top is minimum. - Top: $x_t = -\frac{-2}{2 \cdot 0.5} = \frac{2}{1} = 2$. - $y_t = f(2) = 0.5 \times 4 - 4 + 3 = 2 - 4 + 3 = 1$. - Y-as snijpunt: $f(0) = 3$.

Veel gemaakte fouten

• Onjuiste berekening van de topcoördinaat door verwisseling van het minteken bij $-\frac{b}{2a}$.

• Foutieve interpretatie van de tweede afgeleide, waardoor de parabool hol of bol verkeerd wordt aangeduid.

• Verkeerde schatting van de scherpte/opening van de parabool bij vergelijking van $|a|$.

Cirkels: vergelijking en eigenschappen

Vergelijkingen, omzetting en analyse

Definitie

De standaardvergelijking van een cirkel met middelpunt $M(x_M, y_M)$ en straal $r > 0$ is:

Een alternatieve vorm (algemene cirkelvergelijking) is:

Belangrijke concepten

• Bij vergelijking $x^2 + y^2 + a x + b y = c$ worden de coëfficiënten van $x^2$ en $y^2$ gelijk gekozen, anders is het geen cirkel maar een ellips.

• Koppeling tussen de parameters:

  • $a = -2x_M$

  • $b = -2y_M$

  • $r^2 = c + x_M^2 + y_M^2$

• Het middelpunt en de straal kun je door voltooien van het kwadraat direct afleiden uit de vergelijking.

Formules en berekeningen

Om het middelpunt en de straal te vinden bij een algemene vergelijking $x^2 + y^2 + a x + b y = c$:

1. Voltooi het kwadraat bij zowel $x$ als $y$: $$\begin{align*} x^2 + a x + y^2 + b y &= c \\ (x^2 + a x + \frac{a^2}{4}) + (y^2 + b y + \frac{b^2}{4}) &= c + \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} \\ (x + \frac{a}{2})^2 + (y + \frac{b}{2})^2 &= c + \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} \end{align*}$$

Dus:

• $x_M = -\frac{a}{2}$

• $y_M = -\frac{b}{2}$

• $r = \sqrt{c + x_M^2 + y_M^2}$

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Gegeven $x^2 + y^2 - 4x + 6y = 12$.

- Voltooi het kwadraat: - $x^2 - 4x = (x-2)^2 - 4$ - $y^2 + 6y = (y+3)^2 - 9$ - Som: $(x-2)^2 + (y+3)^2 = 12 + 4 + 9 = 25$

Resultaat: - Middelpunt $M(2, -3)$ - Straal $r = 5$

Voorbeeld 2: $x^2 + y^2 + 8x - 6y = 11$

- $x^2 + 8x = (x+4)^2 - 16$ - $y^2 - 6y = (y-3)^2 - 9$ - Som: $(x+4)^2 + (y-3)^2 = 11 + 16 + 9 = 36$

Resultaat: - Middelpunt $M(-4, 3)$ - Straal $r = 6$

Veel gemaakte fouten

• Onvolledig voltooien van het kwadraat, vooral het vergeten van het compenseren op het rechterlid.

• Vergeten de juiste tekens toe te passen bij middelpuntcoördinaten (let op: mintekens!).

• Uitgaan van ongelijke coëfficiënten bij $x^2$ en $y^2$, terwijl het dan geen cirkelvoorstelling betreft.

Samenvatting

• Rechtevergelijkingen refereren aan formules $y = ax + b$ en $ax + by = c$, met als kernbegrip de richtingscoëfficiënt $m$, die de helling aanduidt.

• Rechten zijn evenwijdig bij gelijke richtingscoëfficiënt; loodrecht bij het tegengestelde inverse product –1.

• Stelsels van rechtevergelijkingen worden geanalyseerd op uniekheid, (on)oplosbaarheid en samenvallen via onderzoek van (on)afhankelijke vergelijkingen.

• De afstandsformule tussen punten en tussen punt en rechte zijn essentieel bij locatie-analyses.

• Parabolen onderscheiden zich door hun standaardvorm, holtes, toppen en y-as snijpunt, allemaal te vinden via de coefficients $a, b, c$.

• Cirkelvergelijkingen worden omgezet door voltooiing van het kwadraat naar een standaardvorm, waarmee middelpunt en straal analytisch bepaald worden.

• Kritische fouten schuilen in verkeerde tekens, ontbreken van kwadraten, of onvolledig doorvoeren van algebraïsche omzettingen.

Oefenvragen

1. Bepaal de vergelijking van de rechte door de punten [INLINE_EQUATION](-2, 5)[/INLINE_EQUATION] en [INLINE_EQUATION](4, -1)[/INLINE_EQUATION]. Antwoord: $m = \frac{-1 - 5}{4 - (-2)} = \frac{-6}{6} = -1$ Gebruik punt $(-2, 5)$: $5 = -1 \cdot (-2) + b \implies 5 = 2 + b \implies b = 3$ De vergelijking: $y = -x + 3$

2. Zijn de rechten [INLINE_EQUATION]2x + 3y = 7[/INLINE_EQUATION] en [INLINE_EQUATION]4x + 6y = 10[/INLINE_EQUATION] evenwijdig, samenvallend of snijdend? Antwoord: Tweede is het dubbele van de eerste in linkerleden, maar niet in rechterlid (dubbel van 7 is 14, niet 10). Dus: de rechten zijn evenwijdig en verschillend.

3. Bereken de afstand van het punt [INLINE_EQUATION](3, 4)[/INLINE_EQUATION] tot de rechte [INLINE_EQUATION]x - 2y + 1 = 0[/INLINE_EQUATION]. Antwoord: $$d = \frac{|3 - 2 \times 4 + 1|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{|3 - 8 + 1|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{|-4|}{\sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}}$$

4. Geef de vergelijking van de parabool met top op [INLINE_EQUATION](1, -2)[/INLINE_EQUATION] en door het punt [INLINE_EQUATION](3, 6)[/INLINE_EQUATION], en opening naar boven. Antwoord: Algemeen: $f(x) = a(x - 1)^2 - 2$, want top $(1, -2)$. Invullen $(3, 6)$: $$6 = a(3 - 1)^2 - 2 \implies 6 = 4a - 2 \implies 4a = 8 \implies a = 2$$ Dus $f(x) = 2(x - 1)^2 - 2$

5. Zet de vergelijking [INLINE_EQUATION]x^2 + y^2 - 8x + 4y = 8[/INLINE_EQUATION] om naar standaardvorm en geef middelpunt en straal. Antwoord: $x^2 - 8x = (x-4)^2 - 16$ $y^2 + 4y = (y+2)^2 - 4$ $(x-4)^2 + (y+2)^2 = 8 + 16 + 4 = 28$ Middelpunt $(4, -2)$, straal $r = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$