Atoommodel van Bohr-Sommerfeld: hoofdniveau, subniveau, magnetisch niveau en elektronspin

Blok 1: Bohr's atoommodel en stationaire banen

Definitie

Bohr's atoommodel stelt dat elektronen zich rond de atoomkern bewegen in specifieke, stationaire banen met een welbepaalde straal, waarbij elk van deze banen overeenkomt met een discreet energieniveau. Elektronen kunnen deze banen niet willekeurig kiezen, maar slechts bezetten indien zij voldoen aan energiekwantisatie. De banen zijn dus kwalitatief onderscheiden, niet continu verdeeld rond de kern.

Belangrijke concepten

Volgens dit model bezit elk elektron in een atoom een bepaalde hoeveelheid energie zolang het in een stationaire baan beweegt. De kracht die het elektron op de baan houdt is de coulombkracht tussen kern en elektron, terwijl het centripetale kracht is die het elektron op zijn baan houdt. Elektronensprongen tussen deze energieniveaus zijn de enige transitions die mogelijk zijn; tussenniveaus worden niet toegestaan.

Het energieverschil tussen twee banen bepaalt de energie van het geabsorbeerde of uitgezonden foton. Een elektron kan enkel van baan veranderen door een precieze hoeveelheid energie (een “kwantum”) te absorberen of te emitteren. Dit creëert een direct verband tussen de mechanica van elektronenbeweging en het optische spectrum van het element.

De meest nabije baan aan de kern bezit de laagste mogelijke energie (grondtoestand). Banen verder van de kern (hogere energietoestanden) bezitten overeenkomstig hogere energieën. Enkel die discrete energiesprongen (horizontale overgangen) zijn spectroscopisch waarneembaar.

Formules en berekeningen

De energie van een elektron in de n-de baan (n = 1,2,3,...) wordt gegeven door:

waarbij:

• $E_n$ = energie van het elektron in de n-de baan

• $Z$ = atoomnummer (kernlading)

• $R_H$ = Rydberg-constante voor waterstof (13,6 eV voor Z=1)

• $n$ = hoofdkwantumgetal van de baan (K: n=1, L: n=2, ...)

De energie van het uitgezonden of geabsorbeerde foton bij een sprong van niveau $n_i$ naar $n_f$:

waar:

• $h$ = Planckconstante

• $\nu$ = frequentie van het foton

• $c$ = lichtsnelheid

• $\lambda$ = golflengte van het uitgezonden of geabsorbeerde licht

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Een elektron in het waterstofatoom springt van n=3 naar n=2. Bereken de energie van het uitgezonden foton.

Het teken geeft aan dat er energie wordt uitgestraald (de-excitatie), het foton heeft een energie van 1,89 eV.

Voorbeeld 2: Welk energieniveau moet een elektron bereiken (n) in het waterstofatoom als het uit de grondtoestand (n=1) een foton van 10,2 eV absorbeert?

Het elektron springt dus naar n=2 bij opname van 10,2 eV.

Veel gemaakte fouten

• Verkeerd interpreteren van het teken van $\Delta E$: bij absorptie is $\Delta E > 0$, bij emissie $\Delta E < 0$.

• Verwarren van continu gearrangeerde banen met discrete (kwantum) energieniveaus; Bohr staat geen tussenniveaus toe.

• Aanname dat klassiek stralingsverlies optreedt; in Bohr’s model blijven elektronen in stationaire banen zonder energie te verliezen.

• Fout rekenen met het atoomnummer $Z$ (essentieel voor ionen en andere dan waterstof).

Blok 2: Indeling en maximale bezetting van Bohr-banen/schillen

Definitie

Schillen zijn de concentrische banen rond de atoomkern waarbinnen elektronen kunnen voorkomen zonder energie te verliezen. Elke schil wordt aangeduid met een specifieke letter (K t.e.m. Q) en corresponderend hoofdkwantumgetal (n).

Belangrijke concepten

Elke schil kan slechts een maximum aantal elektronen bevatten, bepaald door kwantummechanische restricties. De vulling volgt de energetische rangschikking van de schillen. In de realiteit vullen de elektronen de schillen op van binnen naar buiten (lage energetische toestand).

De bezettingsvolgorde volgens Bohr:

Deze limieten volgen uit de structuur van kwantummechanische toestanden (zie volgende blokken).

Formules en berekeningen

De maximale bezetting van een schil wordt gegeven door:

waarbij $n$ het hoofdkwantumgetal is.

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Wat is het maximaal aantal elektronen in de M-schil?

Voorbeeld 2: Indeling van elektronen voor natrium ($Z = 11$):

Elektronenconfiguratie: K(2), L(8), M(1)

Veel gemaakte fouten

• Verkeerd maximaal aantal elektronen toekennen aan een schil (met name aan de O-, P-, Q-schillen; deze zijn zelden volledig bezet bij lichte elementen).

• Verwarren van het hoofdkwantumgetal ($n$) met het nummer van de schil.

• Indeling waarbij de binnenste schillen worden overgeslagen in de elektronenconfiguratie.

Blok 3: Sommerfeld's uitbreiding – kwantumgetallen en baanvormen

Definitie

Sommerfeld breidt Bohr’s model uit door niet alleen cirkelvormige, maar ook ellipsvormige banen voor elektronen toe te staan rond de kern. Hierdoor ontstaan binnen eenzelfde schil (zelfde n) subniveaus met licht verschillende energieën. De energietoestanden van elektronen worden in dit model volledig beschreven door vier kwantumgetallen.

Belangrijke concepten

Waar Bohr uitging van volledig cirkelvormige banen, voegde Sommerfeld toe dat elektronen onderworpen zijn aan kwantumrestricties voor zowel hun energieniveau ($n$) als hun impulsmoment ($l$, baanvorm). Daardoor zijn binnen eenzelfde hoofdenergieniveau (schil) subniveaus met een iets andere energie mogelijk. Dit verklaart kleine verschillen in de spectra van atomen die Bohr niet kon verklaren (“fijnstructuur”).

De volledige beschrijving van een elektrontoestand vereist nu vier kwantumgetallen:

• Hoofdkwantumgetal ($n$)

• Nevenkwantumgetal ($l$, impulsmoment)

• Magnetisch kwantumgetal ($m$)

• Spinkwantumgetal ($s$)

Formules en berekeningen

Een gegeven schil ($n$) bevat voor iedere toegelaten waarde van $l$ één type baan:

• $l=0$: cirkelvormig (s)

• $l>0$: ellipsvormig (p, d, f, ...)

Het toegelaten aantal waarden voor $l$: 0 tot ($n-1$)

Voor iedere waarde van $l$ zijn ($2l+1$) oriëntaties (waarden van $m$) mogelijk.

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Binnen de N-schil ($n=4$):

• Toegestane l-waarden: 0 (s), 1 (p), 2 (d), 3 (f)

• Aantal mogelijke subniveaus: 4

Voorbeeld 2: Eclipsvormige baan ($l=2$) voor $n=3$:

• $n=3$, $l=2$ (d-subniveau): mogelijk in de M-schil (d-orbitalen)

• $m = -2, -1, 0, +1, +2$: 5 mogelijke oriëntaties van d-orbitalen

Veel gemaakte fouten

• Onterecht aannemen dat binnen een schil slechts één baanvorm mogelijk is.

• Het idee dat $l$ altijd gelijk is aan $n$; $l$ varieert tot ($n-1$).

• Vergeten dat subniveaus binnen dezelfde schil karakteristieke vormen en energieën hebben.

Blok 4: Vier kwantumgetallen – definitie en betekenis

Definitie

Hoofdkwantumgetal (n)

• $n = 1$ t.e.m. $7$ (integere waarden)

• Komt overeen met de schil: $n=1$ (K), ... $n=7$ (Q)

• Bepaalt het belangrijkste energieniveau en de gemiddelde afstand tot de kern.

• Hogere $n$ betekent hogere energie, grotere afstand.

Nevenkwantumgetal (l: impulsmomentgetal)

• $l = 0, 1, ..., n-1$ (per $n$ zijn er dus $n$ subniveaus)

• Bepaalt het subniveau of type orbitaal: $l=0$ (s), $l=1$ (p), $l=2$ (d), $l=3$ (f)

• Staat voor de vorm van de elektronwolk (bolsymmetrisch, dumbbell, klaverblad).

Magnetisch kwantumgetal (m)

• $m = -l, -l+1, ..., 0, ..., l-1, l$ (dus in totaal $2l+1$ mogelijke waarden per $l$)

• Bepaalt de oriëntatie van het orbitaal in een extern magneetveld.

Spinkwantumgetal (s)

• $s = +1/2$ (“met de klok mee”) of $-1/2$ (“tegen de klok in”)

• Geeft de draairichting van de elektronspin weer.

• Elk orbitaal kan maximaal twee elektronen bevatten met tegengestelde spin.

Belangrijke concepten

De vier kwantumgetallen bepalen gezamenlijk de unieke quantumtoestand van elk elektron in een atoom:

Elk elektron in een atoom heeft een unieke combinatie van ($n$, $l$, $m$, $s$).

Formules en berekeningen

• Voor een gegeven $n$:

• $l$ kan elke gehele waarde aannemen van 0 tot ($n-1$)

• Per $l$ bestaan er ($2l+1$) waarden van $m$

• Per combinatie ($n$, $l$, $m$) zijn er 2 elektronen toegestaan ($s = +1/2$ en $-1/2$)

Het maximaal aantal elektronen in een schil wordt dan: