Kansen en voorwaardelijke kansen

Blok 1: Basisregels van kansen en voorwaardelijke kansen

Definitie

Kansen en voorwaardelijke kansen beschrijven de waarschijnlijkheid waarmee gebeurtenissen zich voordoen binnen een bepaald steekproefruimte. Hierbij wordt gewerkt met de volgende formele notaties en definities:

• Kans op een gebeurtenis A: $P(A)$ beschrijft de waarschijnlijkheid dat gebeurtenis A optreedt.

• Complement van A: $A^c$, het complement van A, verwijst naar het scenario waarbij A niet optreedt.

• Snijpunt van A en B: $A \cap B$ is de gebeurtenis waarbij zowel A als B gelijktijdig optreden.

• Vereniging van A en B: $A \cup B$ is de gebeurtenis waarbij minstens één van A of B optreedt.

• Voorwaardelijke kans: $P(A|B)$ drukt de kans uit dat A optreedt, gegeven dat B reeds is opgetreden.

Belangrijke concepten

• Complementregel: De kans dat een gebeurtenis A zich NIET voordoet bereken je als volgt: $P(A^c) = 1 - P(A)$ Dit is noodzakelijk omdat een gebeurtenis en haar complement samen het volledige gebeurtenisveld vormen; hun kansen dienen dus samen op 1 uit te komen.

• Productregel (onafhankelijke gebeurtenissen): Wanneer twee gebeurtenissen A en B onafhankelijk zijn — dus het optreden van A beïnvloedt de kans op B niet, en omgekeerd — dan geldt voor de kans dat A én B zich voordoen: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ Onafhankelijkheid is een noodzakelijke voorwaarde bij het toepassen van deze vermenigvuldigingsregel.

• Somregel met correctie voor overlap: Wanneer je de kans wil berekenen dat A of B (minstens één van beide) zich voordoet, corrigeer je voor de kans dat beide tegelijk optreden: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ Zonder de correctie van $P(A \cap B)$ tel je de overlap dubbel.

• Voorwaardelijke kans (algemene definitie): De kans op A, gegeven dat B zich reeds heeft voorgedaan, definieer je als: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$, op voorwaarde dat $P(B) \neq 0$ Hier is $P(A \cap B)$ de kans op het gelijktijdig voorkomen van A en B, terwijl $P(B)$ de kans op B is. (Opmerking: in de samenvatting van dit blok wordt niet de volledige fractievorm gevraagd, maar dit is essentieel voor een exacte definitie.)

Formules en berekeningen

• Complementregel: $P(A^c) = 1 - P(A)$

• Productregel (voor onafhankelijke gebeurtenissen): $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ Enkel geldig indien A en B onafhankelijk zijn: $$P(A|B) = P(A)$$ $$P(B|A) = P(B)$$

• Somregel met correctie (inclusie-exclusieregel): $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

• Voorwaardelijke kans: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$, mits $P(B) > 0$.

• Notaties: - $\cap$ = en - $\cup$ = of - $c$ = complement - |\= gegeven/voorwaarde

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Productregel en onafhankelijkheid

• Stel er is een experiment waarin men een eerlijke dobbelsteen werpt (A = even getal), en los daarvan een munt opwerpt (B = kop). - $P(A) = 3/6 = 0,5$ (even getal op 1 tot 6) - $P(B) = 0,5$ (kop of munt) - Omdat de uitkomsten van dobbelsteen en munt onafhankelijk zijn: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0,5 \cdot 0,5 = 0,25$.

Voorbeeld 2: Somregel en correctie voor overlap

• Stel op een school zijn 30% van de studenten geïnteresseerd in biologie (A), 40% in chemie (B), en 15% in beide (A ∩ B). Wat is de kans dat een willekeurige student minstens één van beide interessante vakken heeft? - $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0,3 + 0,4 - 0,15 = 0,55$ - De kans is dus 55%.

Veel gemaakte fouten

• Onterecht toepassen van de productregel bij afhankelijke gebeurtenissen: Studenten vermenigvuldigen kansen van afhankelijke gebeurtenissen, terwijl $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$ had gemoeten bij afhankelijkheid.

• Vergeten van de overlap in de somregel: Bij het berekenen van $P(A \cup B)$ vergeten studenten vaak $P(A \cap B)$ af te trekken, waardoor dubbele telling ontstaat.

• Onzorgvuldige notatie: Verwarren van $A \cup B$ (of) versus $A \cap B$ (en), wat tot fundamenteel foutieve interpretaties van het kansbegrip kan leiden.

• Voorwaardelijke kans verkeerd gebruiken: Studenten verwarren de kans op het snijpunt $P(A \cap B)$ met de kans op het samengestelde optreden bij afhankelijkheid, of laten de deling door $P(B)$ weg bij $P(A|B)$.

Samenvatting

• Het complement van een gebeurtenis A heeft kans $P(A^c) = 1 - P(A)$.

• Voor onafhankelijke gebeurtenissen geldt $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.

• Om de kans te berekenen op ten minste één van meerdere gebeurtenissen, gebruik je de somregel: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

• De voorwaardelijke kans $P(A|B)$ wordt gegeven door $P(A \cap B)/P(B)$, mits $P(B) > 0$.

• Een juiste interpretatie en toepassing van notaties als $\cap$, $\cup$, $c$, en $|$ zijn cruciaal.

Oefenvragen

Vraag 1 In een onderzoek is de kans dat een patiënt een bepaalde ziekte heeft, $P(Z)$, 0,08. De kans dat de patiënt een positief testresultaat krijgt, gegeven dat hij de ziekte heeft, $P(P|Z)$, is 0,95. Wat is de kans dat een willekeurige patiënt én de ziekte heeft én een positief testresultaat krijgt? Antwoord: $P(Z \cap P) = P(Z) \cdot P(P|Z) = 0,08 \cdot 0,95 = 0,076$.

Vraag 2 Een vakbond telt 60% mannen (M) en 55% arbeiders die ouder zijn dan 40 (O). 30% van de leden zijn mannen die ouder zijn dan 40. Wat is de kans dat een willekeurig gekozen lid een man is of ouder is dan 40? Antwoord: $P(M \cup O) = P(M) + P(O) - P(M \cap O) = 0,60 + 0,55 - 0,30 = 0,85$.

Vraag 3 In een fabriek is de kans dat een machine uitvalt op een dag 0,1, en de kans dat de dag eindigt met een defect product is 0,15. De kans dat beide gebeuren is 0,04. Wat is de kans dat de machine uitvalt op een dag, gegeven dat de dag eindigt met een defect product? Antwoord: $P(U|D) = \frac{P(U \cap D)}{P(D)} = \frac{0,04}{0,15} \approx 0,267$.

Vraag 4 Twee processen zijn onafhankelijk. De kans dat proces A slaagt is 0,85, de kans dat proces B slaagt is 0,60. Wat is de kans dat beide processen slagen? Antwoord: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0,85 \cdot 0,60 = 0,51$.