4.2 Relatieve frequentie en kans

Laplace

Definitie

De kans (P) op een bepaalde gebeurtenis volgens de Laplace-regel is gedefinieerd als de verhouding van het aantal gunstige uitkomsten tot het totaal aantal mogelijk uitkomsten, waarbij elke uitkomst gelijk waarschijnlijk is. Dit resulteert in de formule:

Het is bij het bepalen van deze uitkomsten essentieel om rekening te houden met volgorde en het al dan niet terugleggen in situaties met herhalingen of selectie. De Laplace-regel is enkel geldig wanneer elke uitkomst even waarschijnlijk is, dus bij situaties waarbij ongelijke kansen gelden (bijvoorbeeld door weging of voorkennis), is een andere aanpak zoals conditionele kans noodzakelijk.

Belangrijke concepten

• Gelijkwaardigheid van uitkomsten: Alleen toepasbaar als elke uitkomst dezelfde kans heeft.

• Wissels (volgorde/herhaling): - Als elementen met herhaling worden getrokken (bijvoorbeeld met teruglegging of als herhaling is toegestaan), telt elk arrangement als een afzonderlijke uitkomst. - Bij zonder herhaling moet het aantal mogelijke uitkomsten op aangepaste wijze berekend worden, bijvoorbeeld met permutaties of combinaties.

• Begrenzing: Niet toepasbaar op continue kansverdelingen of ongelijke kansen.

Formules en berekeningen

Voor een gebeurtenis $A$ binnen een eindige uitkomstenruimte $\Omega$ met $|Ω|$ mogelijke uitkomsten, en $|A|$ gunstige uitkomsten:

Voor gecombineerde gebeurtenissen geldt, indien onafhankelijk en Laplace-voorwaarden voldaan:

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Een doos bevat 12 verschillend gekleurde knikkers. Wat is de kans dat een willekeurig getrokken knikker rood is, als er 4 rode en 8 andere kleuren zijn?

Gunstige uitkomsten: 4 (rood) Mogelijke uitkomsten: 12

Voorbeeld 2: Bij het gooien van twee verschillende (onderscheidbare) dobbelstenen: kans op dubbele 6.

Aantal gunstige uitkomsten: 1 (namelijk (6,6)) Aantal mogelijke uitkomsten: 6 × 6 = 36

Veel gemaakte fouten

• Verwarring over herhaling/volgorde: Studenten vergeten vaak het verschil tussen met en zonder terugleggen, wat leidt tot foutief tellen van uitkomsten.

• Foutieve toepassing bij ongelijke kansen: Niet elke situatie is Laplace-geschikt, bijvoorbeeld als kaarten niet gelijkmatig verdeeld zijn.

• Verkeerd identificeren van het aantal gunstige uitkomsten: Vooral in combinatorische situaties bij het onderscheiden van volgorde en herhaling.

Kansbomen

Definitie

Een kansboom is een grafische voorstelling die alle mogelijke uitkomsten en verloop van een reeks onafhankelijke (of soms afhankelijke) opeenvolgende gebeurtenissen systematisch weergeeft. Elk knooppunt komt hierbij overeen met een keuzemoment, en de takken tonen de verschillende uitkomsten, elk voorzien van de bijbehorende kans. Kansbomen zijn vooral geschikt om complexe samengestelde kansen inzichtelijk te maken bij experimenten met één parameter over meerdere stappen.

Belangrijke concepten

• Structuur: Elke tak splitst in alle mogelijke uitkomsten van de gebeurtenis op dat moment.

• Totaal aantal paden: Bepaalt het totaal aantal mogelijke uitkomsten, relevant voor Laplace-kansen.

• Productregel: De kans behorend bij een specifiek pad is het product van de kansen langs de opeenvolgende takken.

• Overzicht van uitgekomen paden: Eenvoudig te gebruiken voor het bepalen van samengestelde kansen (unie, doorsnede van gebeurtenissen).

Formules en berekeningen

Voor een kansboom met telkens onafhankelijke stappen en dezelfde kans bij elke keuze (bijvoorbeeld $0,5/0,5$):

Voor meerdere gunstige paden:

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: *Geslacht bij kinderen – kans op drie jongens in een gezin van drie kinderen*

Elke geboorte is onafhankelijk, kans op jongen per kind is $0,5$.

Mogelijke geslachtssequenties: MMM, MMJ, MJM, MJJ, JMM, JMJ, JJM, JJJ (8 totaal)

Kans op specifiek pad (bijvoorbeeld MMM): $0,5 \times 0,5 \times 0,5 = 0,125$

Aantal paden met drie jongens: 1 Totale kans: $\frac{1}{8} = 0,125$

Voorbeeld 2: *Drie keer na elkaar een munt opgooien, kans op exact twee keer kop*

Mogelijke uitkomsten: kop-kop-munt, kop-munt-kop, munt-kop-kop (en andere volgordes)

De kans op elk specifiek pad met precies twee keer kop: $0,5 \times 0,5 \times 0,5 = 0,125$

Aantal paden met precies twee koppen: 3 Totale kans: $3 \times 0,125 = 0,375$

Veel gemaakte fouten

• Gemiste paden: Niet alle mogelijke scenario’s worden weergegeven, waardoor kansen niet volledig in kaart gebracht worden.

• Verwarring tussen paden en uitkomsten: Bijvoorbeeld meerdere paden met dezelfde beschrijving, maar andere volgorde, niet als aparte gevallen tellen.

• Verkeerde vermenigvuldiging: Niet correct de kansen per tak vermenigvuldigen, of kansen optellen waar het vermenigvuldigen moet zijn.

Kanstabel → meerdere parameters

Definitie

Een kanstabel (of kruistabel) is een systematische tabel die combinaties van meerdere variabelen (parameters) ordent, meestal met absolute aantallen, frequenties of kansen. Kanstabellen zijn cruciaal bij het bepalen van gecombineerde kansen wanneer parameters niet onafhankelijk zijn of bij het berekenen van conditionele kansen.

Belangrijke concepten

• Rij- en kolomsummen: Totaalwaarden die inzicht geven in marginale verdelingen.

• Conditionele kansen: Kans op een gebeurtenis gegeven een andere, afgeleid uit de tabel.

• Absolute aantallen omzetten naar kansen: Door verhouding te nemen ten opzichte van een totaal.

• Joint en marginale verdelingen: Toegepast bij afhankelijkheid tussen parameters.

Formules en berekeningen

Bij een steekproef van omvang $N$:

- Kans op gebeurtenis $A$ en $B$ samen: $$P(A \cap B) = \frac{\text{aantal waarnemingen waarin zowel A als B voorkomen}}{N}$$

- Kans op $B$ gegeven $A$: $$P(B|A) = \frac{\text{aantal waarnemingen met zowel A als B}}{\text{aantal waarnemingen met A}}$$

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: *Gegeven:*

• 20% van de bevolking rookt (20 op 100)

• 85% van de bevolking krijgt nooit longkanker (85 op 100)

• 90% van de niet-rokers krijgt nooit longkanker (72 op 80)

Eerst structureren via een kanstabel:

Toelichting:

• Niet-rokers zonder longkanker: 72 (90% van 80)

• Niet-rokers met longkanker: 8 (80 - 72)

• Rokers totaal: 20, dus rokers zonder longkanker: 13 (85 totaal ‘geen longkanker’ - 72 bij niet-rokers)

• Rokers met longkanker: 7 (20 - 13)

*Gevraagd:* Kans dat een roker longkanker krijgt.

Voorbeeld 2: *Anderzijds: Kans dat een persoon met longkanker een niet-roker is*

Veel gemaakte fouten

• Fout bij conditionele kans: Studenten wisselen vaak teller en noemer van de verhouding, waardoor er verkeerdelijk de populatie met longkanker in de noemer staat in plaats van de populatie van rokers (of omgekeerd).

• Aantallen niet correct afleiden uit percentages: Bijvoorbeeld 90% toepassen op verkeerde grondtotalen.

• Verwarring tussen absoluut en relatief: Onjuiste interpretatie van rij- of kolompercentages bij selectie van de juiste groep.

Samenvatting

• De Laplace-regel biedt een krachtige maar enkel toepasselijke methode bij kansverdelingen met gelijkwaardige (even waarschijnlijke) uitkomsten. Volgorde, herhaling of selectie moet expliciet correct geteld worden.

• Kansbomen zijn essentiële grafische hulpmiddelen om samengestelde experimenten met één parameter inzichtelijk te maken. Ze vergemakkelijken het overzicht en het correct doorrekenen van samengestelde kansen, vooral bij opeenvolgende onafhankelijke gebeurtenissen.

• Kanstabellen zijn noodzakelijk voor situaties met meerdere parameters waarbij conditionele, marginale en gezamenlijke kansen helder moeten worden onderscheiden. Een correcte ordening en het systematisch uitwerken van absolute aantallen voorkomt veelvoorkomende rekenfouten, zeker bij het afleiden van conditionele kansen.

Oefenvragen

1. Een loterij heeft 100 tickets, waarvan er 5 winnend zijn. Je koopt zonder herhaling 3 tickets. a) Wat is de kans dat je minstens één winnend lot treft? b) Wat is de kans dat alle drie je tickets winnend zijn?

Antwoorden: a) Kans op minstens één winnend: Aantal manieren om geen winnend lot te trekken: kies 3 uit 95 verliezende tickets = $\binom{95}{3}$ Aantal manieren om 3 tickets te kiezen uit 100 = $\binom{100}{3}$ Kans op geen winnend lot: $\frac{\binom{95}{3}}{\binom{100}{3}}$ Dus kans op minstens één winnend: $$P = 1 - \frac{\binom{95}{3}}{\binom{100}{3}} = 1 - \frac{95 \times 94 \times 93}{100 \times 99 \times 98} \approx 0,140$$

b) Kans dat alle drie winnend zijn: Aantal manieren om 3 winnende te trekken uit 5: $\binom{5}{3} = 10$ Totaal aantal manieren: $\binom{100}{3} = 161700$ $$P = \frac{10}{161700} \approx 0,0000618$$

---

2. In een populatie zijn 70% gevaccineerd tegen een bepaald virus. Van de gevaccineerde personen krijgt 2% de ziekte, van de niet-gevaccineerde 10%. Als er 1000 personen zijn: a) Hoeveel personen zijn gevaccineerd en toch ziek? b) Wat is de kans dat een willekeurig gekozen zieke persoon niet-gevaccineerd is?

Antwoorden: a) 70% van 1000 = 700 gevaccineerd. 2% hiervan = 14 personen ziek én gevaccineerd.

b) Aantal niet-gevaccineerde = 300, daarvan 10% ziek = 30 personen. Totaal aantal zieken = 14 + 30 = 44. Kans dat een willekeurig gekozen zieke niet-gevaccineerd is: $\frac{30}{44} \approx 0,682$ of 68,2%

---

3. Een munt wordt viermaal opgegooid. Wat is de kans op exact twee keer munt?

Antwoord: Er zijn $\binom{4}{2} = 6$ manieren om precies twee keer munt te krijgen. Totaal aantal mogelijke uitkomsten $= 2^4 = 16$ Kans = $\frac{6}{16} = 0,375$

---

4. Bij een experiment worden twee kaarten willekeurig zonder terugleggen getrokken uit een stapel van 52 kaarten. Wat is de kans dat beide kaarten schoppen zijn?

Antwoord: Eerste kaart schoppen: $\frac{13}{52}$, tweede kaart schoppen: $\frac{12}{51}$ Kans $= \frac{13}{52} \times \frac{12}{51} = \frac{156}{2652} = \frac{1}{17} \approx 0,0588$