Wiskunde

Integratie: Berekenen van primitieven, integralen en oppervlakten

Blok 1: Afgeleiden – Basisregels en Veelvoorkomende Afgeleiden

Definitie

De afgeleide van een functie beschrijft het lokaal veranderingsgedrag van de functie. Met behulp van de belangrijkste differentieerregels kan men complexe functieafleidingen herleiden tot bekende standaardafgeleiden.

Belangrijke concepten

Bij het differentiëren van samengestelde functies worden de volgende reguliere regels toegepast:

Somregel: De afgeleide van een som van functies is gelijk aan de som van de afgeleiden.
Productregel: De afgeleide van een product van twee functies vereist het gebruik van de productregel.
Constantenregel: Bij een product met een constante factor wordt enkel de functie afgeleid en vermenigvuldigd met de constante.
Ketenregel: Voor samengestelde functies wordt er gewerkt met de inwendige en uitwendige functie.

Standaardafgeleiden die frequent voorkomen bij examenopgaven zijn noodzakelijk voor het herkennen en omvormen van meer complexe functieafleidingen.

Formules en berekeningen

Regel / Functie	Differentieerregel / Afgeleide
Somregel	$(f+g)'(x) = f'(x) + g'(x)$
Productregel	$(f \cdot g)'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$
Constantenregel	$(a \cdot g)'(x) = a \cdot g'(x)$
Ketenregel	$(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
$\sin x$	$(\sin x)' = \cos x$
$\cos x$	$(\cos x)' = -\sin x$
$\tan x$	$(\tan x)' = 1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$
$\ln x$	$(\ln x)' = \frac{1}{x}$
$e^{x}$	$(e^x)' = e^x$
$a^{x}$	$(a^{x})' = a^{x} \ln a$
$\arcsin x$	$(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$
$\arccos x$	$(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$
$\arctan x$	$(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^{2}}$

De uitdrukking $(2)(x) = f(x)g(x) - g(x)f(x).f(x)$ is niet een standaardregel in de differentiaalrekening. In het kader van gevorderde integratieproblemen is dit waarschijnlijk een (onslachtig genoteerde) verwijzing naar partiële integratie voor integralen:

\int u(x) v'(x)dx = u(x) v(x) - \int u'(x) v(x) dx

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Bereken de afgeleide van $f(x) = x^2 \cdot e^x$ . Toepassing van de productregel:

f'(x) = (x^2)' \cdot e^x + x^2 \cdot (e^x)' = 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x = (2x + x^2) e^{x}

Voorbeeld 2: Bepaal de afgeleide van $g(x) = \sin(x^2 + 3x)$ . Ketenregel:

g'(x) = \cos(x^2 + 3x) \cdot (2x + 3)

Veel gemaakte fouten

Verkeerd gebruik van de ketenregel, bijvoorbeeld door enkel de uitwendige functie te differentiëren zonder te vermenigvuldigen met de afgeleide van de inwendige functie.
Verwaarlozen van het negatief teken bij goniometrische functies, voornamelijk bij het differentiëren van $\cos(x)$ en $\arccos(x)$ .
Onjuist combineren van product- of somregel, zoals bij het differentiëren van samengestelde producten of sommen, waarbij vaak één van de termen ontbreekt.

Blok 2: Integralen – Eigenschappen, Formules en Basisregels

Definitie

Een primitieve functie van $f(x)$ is een functie $F(x)$ met de eigenschap dat $F'(x) = f(x)$ . De onbepaalde integraal van $f(x)$ , genoteerd als $\int f(x) dx$ , is de verzameling van alle dergelijke primitieve functies, meestal inclusief een integratieconstante $C$ .

Belangrijke concepten

Lineariteit van integratie: Integratie is lineair, dus de integraal van een som is de som van de integralen, en constante factoren mogen voor de integraal getrokken worden.
Standaardintegralen: Er zijn bepaalde standaardvormen waarvoor de primitieve functie direct toepasbaar is, essentieel bij het oplossen van samengestelde integralen en het herkennen van examenvalstrikken.
Integratieconstante: Iedere primitieve functie wordt plus een constante $C$ geschreven, omdat de afgeleide van een constante gelijk is aan nul.

Formules en berekeningen

Functie	Onbepaalde integraal
$\int f(x) + g(x) dx$	$\int f(x) dx + \int g(x) dx$
$\int a \cdot f(x) dx$	$a \cdot \int f(x) dx$
$\int dx$	$x + C$
$\int \frac{1}{x} dx$	$\ln\|x\| + C$
$\int e^{x} dx$	$e^{x} + C$
$\int a^{x} dx$	$\frac{a^{x}}{\ln a} + C$
$\int x^{n} dx$ , $n \neq -1$	$\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$
$\int \sin(x) dx$	$-\cos(x) + C$
$\int \cos(x) dx$	$\sin(x) + C$
$\int \tan(x) dx$	$-\ln\|\cos(x)\| + C$

Voor partiële integratie (integreren volgens productregel):

\int u(x) v'(x) dx = u(x) v(x) - \int u'(x) v(x) dx

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Bereken $\int (3e^x - 2x^3) dx$ .

\int 3e^x dx - \int 2x^3 dx = 3 \int e^x dx - 2 \int x^3 dx = 3e^x - 2 \cdot \frac{x^4}{4} + C = 3e^x - \frac{x^4}{2} + C

Voorbeeld 2: Bereken $\int x \cos(x) dx$ .

Zet $u = x$ , $dv = \cos(x) dx$ . Dan is $du = dx$ , $v = \sin(x)$ .

Toepassend:

\int x \cos(x) dx = x \sin(x) - \int \sin(x) dx = x \sin(x) + \cos(x) + C

Veel gemaakte fouten

Vergeten van de integratieconstante [INLINE_EQUATION]C[/INLINE_EQUATION]. Bij onbepaalde integralen wordt deze op examens streng gevraagd.
Incorrect uitvoeren van partiële integratie: bijvoorbeeld verkeerde toewijzing van $u$ en $dv$ , of vergeten het negatieve teken bij het integreren van $\sin(x)$ .
Verwarring tussen standaardvormen, zoals $\int \tan(x) dx$ en $\int \frac{1}{x} dx$ .

Blok 3: Bepaalde Integralen – Positieve en Negatieve Gebieden en Splitsing

Definitie

Test je kennis met deze examenoefeningen

Les 18 van 25