3.2 Integratie

Blok 1: Differentiatie – Afgeleiden en Regelgebruik

Differentiatieregels en Standaardafgeleiden

Definitie

De afgeleide van een functie geeft lokaal het tempo van verandering (de helling van de raaklijn). Bij samengestelde, vermenigvuldigde of opgetelde functies zijn specifieke afleidingsregels van toepassing. Elk type functie kent karakteristieke afgeleideformules, essentieel bij omgekeerde bewerkingen zoals integratie.

Belangrijke concepten

• Lineaire combinatie: De afgeleide van een som is de som van de afgeleiden: $(f + g)′(x) = f′(x) + g′(x)$

• Productregel: De afgeleide van een product van twee functies: $(f · g)′(x) = f′(x) · g(x) + f(x) · g′(x)$

• Constante vermenigvuldiging: $(a · g)′(x) = a · g′(x)$, met $a$ constant.

• Ketenregel (samengestelde functie): $(f ∘ g)(x)′ = f′(g(x)) · g′(x)$

• Exponentiële functies: - $(eˣ)' = eˣ$ - $(aˣ)' = aˣ ln a$

• Logaritmische functie: $(ln x)' = 1/x$

• Goniometrische functies: - $(sin x)' = cos x$ - $(cos x)' = -sin x$ - $(tan x)' = 1/cos²(x) = 1 + tan²(x)$

• Inversen (arcusfuncties): - $(Bgsin x)' = 1/√(1-x²)$ - $(Bg cos x)' = -1/√(1-x²)$ - $(Bgtan x)' = 1/(1+x²)$

• Symboolgebruik: ', ·, ∘, ln, sin, cos, tan, ±, √, ^

Formules en berekeningen

Functie	Afgeleide
f + g	f′ + g′
a · f(x)	a · f′(x)
f(x) · g(x)	f′(x) · g(x) + f(x) · g′(x)
f(g(x))	f′(g(x)) · g′(x)
eˣ	eˣ
aˣ	aˣ ln a
ln x	1/x
sin x	cos x
cos x	-sin x
tan x	1/cos²x = 1 + tan²x
Bgsin x	1/√(1-x²)
Bg cos x	-1/√(1-x²)
Bgtan x	1/(1+x²)

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Gegeven $f(x) = x \cdot e^{2x}$, bepaal $f'(x)$.

Gebruik de productregel en de afgeleide van een samengestelde exponentiële functie:

• Afgeleide van $x$: 1

• Afgeleide van $e^{2x}$: via ketenregel is dit $2e^{2x}$

Dus: $f'(x) = 1 \cdot e^{2x} + x \cdot 2e^{2x} = e^{2x} + 2x e^{2x}$

Voorbeeld 2: Bereken de afgeleide van $y(x) = \ln(\sin x)$.

Toepassen van de ketenregel:

• Buitenste functie is ln, binnenste is sin(x):

• Afgeleide is $\dfrac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \cot x$

Veel gemaakte fouten

• Vergeten de ketenregel toe te passen bij samengestelde functies, waardoor slechts de buitenste functie wordt afgeleid zonder de binnenste.

• Productregel onjuist uitgevoerd, bijvoorbeeld door enkel één term af te leiden.

• Afgeleide van tan(x) foutief als cos²(x) i.p.v. juist 1/cos²(x) = 1 + tan²(x).

• Niet herkennen van de nood aan de ln-a term bij afleiden van aˣ.

---

Blok 2: Integratie en Basale Integralen – Formules, Eigenschappen en Regels

Basisintegraalformules en Regels

Definitie

Integreren is het zoeken naar een primitieve functie waarvan de afgeleide de gegeven functie is, vaak met een onbekende constante (C). Bij bepaalde integralen bepaal je het verschil in primitieve functies over een interval.

Belangrijke concepten

• Lineaire combinatie: Integreren is distributief over optellen en aftrekken.

• Constante factor: Een constante mag voor het integraalteken worden geplaatst.

• Standaardintegralen: Directe formules voor veelvoorkomende functies versnellen het oplossen van integralen.

• Productregel voor integratie (minder frequent, verband met partiële integratie): $\int x·f(x) dx = x \int f(x) dx - \int(\int f(x) dx) dx$ (abstract voorbeeld, in praktijk zelden zo genoteerd in het secundair onderwijs)

• Constante van integratie (C): Elk onbepaald integraalresultaat bevat een arbitraire constante.

Formules en berekeningen