In deze les worden volgende klassen van functies onder de loep genomen:

De nadruk ligt steeds op elementaire bewerkingen, afleidingen, analyse van specifiek functiegedrag (zoals stijgen/dalen, extrema, buigpunten), alsook eenvoudige transformaties en substituties.

De eerste afgeleide van een functie $f$, genoteerd als $f'(x)$, geeft de helling van de raaklijn aan de grafiek van $f$ op het punt met abscis $x$. De waarde en het teken van $f'(x)$ zijn bepalend voor het verloop van de functie.

De tweede afgeleide van $f$, genoteerd als $f''(x)$, geeft de verandering van de richtingscoëfficiënt van de raaklijn en bepaalt het "buigen" van de grafiek.

Voorbeeld 1: Bij $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$, geldt:

Voorbeeld 2: Neem $f(x) = \sin(x)$.

Het tekenverloop van een functie brengt in kaart op welke intervallen de functie positief, negatief, of nul is. Belangrijk bij veelterm- en rationale functies waarbij het gedrag rond nulpunten essentieel is.

Voorbeeld 1: Lineaire functie $f(x) = 3x - 6$

Voorbeeld 2: Parabolische functie $f(x) = -2x^2 + 4x + 6$ Nulpunten via $-2x^2 + 4x + 6 = 0$:

$x^2 - 2x - 3 = 0 \rightarrow x_1 = -1, x_2 = 3$ Omdat hoofdtarm negatief:

Voorbeeld 3: Veeltermfunctie met Horner $f(x) = x^4 - x^3 - 3x^2 + x + 2$ Ontbinding via Horner: $f(x) = (x-1)(x+1)^2(x-2)$

Nulpunten: $x = -1$ (multipliciteit 2), $x = 1$, $x = 2$

Tekentabel per factor:

Een raaklijn aan een functie $f$ in een punt $(a, f(a))$ is de rechte die de grafiek van $f$ in dat punt slechts in één punt raakt en daar dezelfde helling heeft als $f$.

Voorbeeld $f(x) = x^3 - 4$ Bepaal de vergelijking van de raaklijn in $(2, 4)$:

Beschouw $f(x) = x^2 - 8x + 12$:

Teken- en waardeoverzicht:

Het minimum wordt dus bereikt voor $x=4$ met waarde $f(4) = -4$.

Beschouw $f(x) = \frac{2x^2 + 3x - 1}{x - 2}$:

Voorbeeld $f(x) = 4 - x \to f(x+1) = 4 - (x+1) = 3 - x$

Hier betekent $x$ vervangen door $x + 1$ een horizontale verschuiving naar links.

Samenstelling van functies, $f(g(x))$, betekent dat het beeld van $g(x)$ wordt als invoer gebruikt voor $f$.

Voorbeeld Neem $f(x) = x^2$, $g(x) = x + 1$. Dan is $f(g(x)) = (x + 1)^2$.