1.1 Bewerkingen met reële getallen en rekenregels

Blok 1: Optellen van reële getallen

Definitie

Het optellen van reële getallen is een bewerking waarbij twee reële getallen $a$ en $b$ gecombineerd worden tot één getal volgens de definitie $a + b$. Voor reële getallen geldt dat optellen zowel commutatief als associatief is.

Belangrijke concepten

• Commutativiteit van optellen: Optellen van reële getallen is commutatief. Dit betekent dat de volgorde waarin de twee getallen worden opgeteld geen invloed heeft op het resultaat: $a + b = b + a$ Dit geldt voor alle $a, b \in \mathbb{R}$.

• Associativiteit van optellen: Optellen van reële getallen is associatief. De groepering van de getallen in een optelsom heeft geen invloed op de uitkomst: $a + (b + c) = (a + b) + c$ Dit geldt voor alle $a, b, c \in \mathbb{R}$.

• Identiteitselement van optelling: Het getal $0$ is het neutraal element voor de optelling: $a + 0 = a$

Notaties kunnen variëren, maar de rekenregel zelf is universeel.

Formules en berekeningen

• $a + b = b + a$

• $a + (b + c) = (a + b) + c$

Verder kunnen optellingen als somnotaties geschreven worden, bijvoorbeeld: $\sum_{i=1}^{n} a_i$

Praktijkvoorbeelden

1. Optellen met associativiteit: Stel: $a = 2$, $b = -7$, $c = 13$ $a + (b + c) = 2 + (-7 + 13) = 2 + 6 = 8$ $(a + b) + c = (2 + -7) + 13 = -5 + 13 = 8$ In beide gevallen blijft het resultaat hetzelfde, ongeacht de groepering.

2. Symmetrie van optellen (commutativiteit): Voor $a = 5$, $b = -11$ $a + b = 5 + (-11) = -6$ $b + a = -11 + 5 = -6$ Het resultaat blijft identiek als de optelvolgorde wordt omgedraaid.

Veel gemaakte fouten

• Het verkeerd toepassen van associativiteit bij negatieve getallen in omvangrijke optelsommen, bijvoorbeeld door het negeren van haakjes in expressies met positieve en negatieve termen.

• Veronderstellen dat de volgorde in een optelsom van bewerkingen waarbij niet alle termen gereëerd zijn naar een eenduidige optelling (zoals bij matrices of complexe getallen) geen invloed heeft, terwijl voor reële getallen dit wél geldig is.

• Vergeten van het identiteitselement ($0$) in optelsommen, met name bij vereenvoudigen van algebraïsche expressies.

Blok 2: Aftrekken van reële getallen

Definitie

Aftrekken is de bewerking van twee reële getallen waarbij het tweede getal van het eerste wordt afgetrokken: $a - b$. Aftrekken als bewerking is niet commutatief, maar kan wel als optellen van het tegengestelde worden geïnterpreteerd ($a - b = a + (-b)$). Het resultaat van aftrekken hangt af van de volgorde en van het correct gebruik van haakjes.

Belangrijke concepten

• Niet-commutativiteit van aftrekken: $a - b \neq b - a$ in het algemeen.

• Associativiteit werkt niet voor aftrekken: $a - (b - c) \neq (a - b) - c$ voor willekeurige $a, b, c \in \mathbb{R}$. Correct afhandelen van haakjes is noodzakelijk.

• Gebruik van het tegengestelde: Aftrekken kan altijd worden herleid tot optellen van het tegengestelde getal: $a - b = a + (-b)$

Formules en berekeningen

• $a - b + c = a - b + c = (a - b) + c$ (mits links-rechts gewerkt)

• $a - (b - c) = a - b + c = (a - b) + c$ (Moet met zorg gelezen worden, afhankelijk van de bewerkingen, want $a - (b - c) \neq (a - b) - c$ in het algemeen)

• In uitgebreide expressies is correcte plaatsing van haakjes essentieel.

Praktijkvoorbeelden

1. Aftrekvolgorde en haakjes: $a = 10$, $b = 7$, $c = 4$ $a - (b - c) = 10 - (7 - 4) = 10 - 3 = 7$ $(a - b) - c = (10 - 7) - 4 = 3 - 4 = -1$ Hier blijkt duidelijk dat het plaatsen van haakjes het resultaat bepaalt.

2. Aftrekken en optellen combinaties: $a = -5$, $b = 12$, $c = -7$ $a - b + c = (-5) - 12 + (-7) = (-5 - 12) + (-7) = -17 + (-7) = -24$ Door de juiste volgorde van bewerkingen toe te passen wordt de uitkomst correct berekend.

Veel gemaakte fouten

• Verkeerd gebruik of weglaten van haakjes, bijvoorbeeld door bij een uitdrukking als $a - (b - c)$ ten onrechte te schrijven $a - b - c$ zonder de juiste prioritering van bewerkingen.

• Veronderstellen dat $a - b = b - a$ wanneer getallen negatief zijn, terwijl het teken altijd afhankelijk blijft van de volgorde.

• Foutieve toepassing van de eigenschap van associativiteit die voor optellen geldt, maar die niet zonder meer toepasbaar is bij aftrekken.

Blok 3: Vermenigvuldigen van reële getallen

Definitie

Vermenigvuldigen is de bewerking waarbij twee reële getallen $a$ en $b$ worden gecombineerd tot hun product $a \cdot b$. Vermenigvuldigen van reële getallen is zowel commutatief als associatief en heeft één identiteitselement ($1$).

Belangrijke concepten

• Commutativiteit van vermenigvuldiging: De volgorde van de factoren maakt niet uit: $a \cdot b = b \cdot a$

• Associativiteit van vermenigvuldiging: Groepering van meerdere factoren heeft geen invloed: $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$

• Distributiviteit ten opzichte van optellen: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

• Neutraal element voor vermenigvuldiging: $a \cdot 1 = a$

• Vermenigvuldigen met 0: $a \cdot 0 = 0$

Formules en berekeningen

• $a \cdot b = b \cdot a$

• $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$

• $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

• $(a + b) \cdot (c + d) = a \cdot c + a \cdot d + b \cdot c + b \cdot d$

Praktijkvoorbeelden

1. Commutativiteit en associativiteit gecombineerd: $a = -3$, $b = 7$, $c = 2$ $a \cdot (b \cdot c) = -3 \cdot (7 \cdot 2) = -3 \cdot 14 = -42$ $(a \cdot b) \cdot c = (-3 \cdot 7) \cdot 2 = -21 \cdot 2 = -42$ Beide rekenwegen geven hetzelfde resultaat.

2. Distributieve eigenschap bij negatieve getallen: $a = 4$, $b = -6$, $c = -5$ $a \cdot (b + c) = 4 \cdot (-6 + -5) = 4 \cdot (-11) = -44$ $a \cdot b + a \cdot c = 4 \cdot -6 + 4 \cdot -5 = -24 + -20 = -44$ Het toepassen van distributiviteit levert consistent dezelfde oplossing op.

Veel gemaakte fouten

• Onterecht het negeren van de volgorde van bewerkingen in uitdrukkingen met een combinatie van optellingen en vermenigvuldigingen, terwijl volgorde bij optellen/vermenigvuldigen niet uitmaakt, maar wel bij andere bewerkingen.

• Foutief trekken van factoren buíten haakjes wanneer de distributieve eigenschap niet van toepassing is (zoals bij complexere machtconstructies).

• Vergeten dat het product met $0$ altijd $0$ is, ongeacht de waarde van de andere factor.

Blok 4: Delen van reële getallen

Definitie

Delen is de bewerking waarbij het reëel getal $a$ wordt gedeeld door het reëel getal $b \neq 0$. De deling $a : b$ definieert het getal dat met $b$ vermenigvuldigd weer $a$ oplevert. Delen door $0$ is strikt verboden binnen de reële getallen.

Belangrijke concepten

• Niet-commutativiteit van deling: $a : b \neq b : a$ in het algemeen.

• Verband met vermenigvuldigen: $a : b = a \cdot (1/b)$, mits $b \neq 0$.

• Delen als breuken: Elke deling kan als breuk worden voorgesteld: $a : b = a/b$

Formules en berekeningen

• $a : b = a \cdot (1/b)$, $b \neq 0$

• $(a : b) : c = a : (b \cdot c)$

• $a : (b : c) = (a \cdot c) : b$

Praktijkvoorbeelden

1. Combineren van delingen en vermenigvuldigingen: $a = -36$, $b = 9$ $a : b = -36 / 9 = -4$. $b : a = 9 / -36 = -0.25$. Hieruit blijkt de niet-commutativiteit.

2. Deling van een negatief getal door een negatief getal: $a = -20$, $b = -5$ $a : b = -20 / -5 = 4$ Het resultaat is positief, want delen van twee negatieve getallen levert een positief resultaat.

Veel gemaakte fouten

• Delen door nul uitvoeren ($a : 0$), wat niet gedefinieerd is.

• Verwarring tussen deling en breukomkering bij kettingen van delingen, bijvoorbeeld: $a : (b : c)$ foutief gelijkstellen aan $(a : b) : c$.

• Negeren van het teken van de noemer, waardoor het resultaat een verkeerd teken krijgt.

Blok 5: Belangrijke concepten rondom gehele getallen

Definitie

Priemgetallen

Een priemgetal is een geheel getal groter dan $1$, dat enkel deelbaar is door $1$ en zichzelf. Met andere woorden: als $n$ een priemgetal is, dan zijn $1$ en $n$ de enige positieve delers van $n$.

Voorbeelden

• $2$

• $3$

• $5$

• $7$

• $11$

• $13$

• $17$

• $19$

• $23$

• $29$

• $31$

• $37$

• $41$

• $43$

• $47$

Grootste gemene deler (GGD)

De grootste gemene deler van twee (of meer) gehele getallen is het grootste positieve gehele getal dat beide getallen zonder rest delen.

• Voorbeeld: $\mathrm{GGD}(33, 12) = 3$ Want $3$ is het grootste gehele getal dat zowel $33$ als $12$ deelt.

Kleinste gemene veelvoud (KGV)

Het kleinste gemene veelvoud van twee (of meer) gehele getallen is het kleinste positieve gehele getal dat door beide getallen zonder rest kan worden gedeeld.

• Voorbeeld: $\mathrm{KGV}(33, 15) = 165$ $165$ is deelbaar door zowel $33$ als $15$ en er bestaat geen kleiner positief geheel getal dat deze eigenschap heeft.

Belangrijke concepten

• Uniciteit van priemfactorisatie: Elk geheel getal groter dan $1$ kan op een unieke manier als product van priemgetallen worden geschreven.

• Relatie tussen GGD en KGV: Voor twee positieve gehele getallen $a$ en $b$ geldt: $\mathrm{GGD}(a, b) \times \mathrm{KGV}(a, b) = a \times b$

Formules en berekeningen

• $\mathrm{GGD}(a, b)$: Gebruik het Euclides-algoritme door herhaaldelijk het verschil of de rest te nemen tot deze $0$ is.

• $\mathrm{KGV}(a, b)$: Bepaal met: $\mathrm{KGV}(a, b) = (a \times b) / \mathrm{GGD}(a, b)$

Praktijkvoorbeelden

1. Toepassing van het Euclides-algoritme voor GGD: Bepaal de grootste gemene deler van $84$ en $30$: $84 : 30 = 2$ rest $24$ $30 : 24 = 1$ rest $6$ $24 : 6 = 4$ rest $0$ Dus $\mathrm{GGD}(84, 30) = 6$.

2. Berekening van KGV met behulp van GGD: Bepaal het KGV van $84$ en $30$: $\mathrm{KGV}(84, 30) = (84 \times 30) / 6 = 2520 / 6 = 420$

Veel gemaakte fouten

• Aannemen dat $1$ een priemgetal is; per definitie begint de priemgetallenreeks pas vanaf $2$.

• Vergeten dat bij negatieve getallen enkel de positieve delers relevant zijn voor GGD en KGV.

• Onjuist toepassen van het Euclides-algoritme of het verkeerd berekenen van resten.

• In veralgemeningen niet uniek maken van de lijst priemfactoren, wat de uniciteit in gevaar brengt.

• Bij KGV per ongeluk de som i.p.v. het product van de getallen te gebruiken.

Samenvatting

Deze les bundelt de eigenschappen en bewerkingen met reële getallen op eindexamenniveau:

• Optellen en vermenigvuldigen van reële getallen zijn commutatief en associatief; dit laat een vrije volgorde en groepering toe bij bewerkingen.

• Voor aftrekken en delen is de volgorde wél van belang, omdat deze niet-commutatief en niet-associatief zijn; correct gebruik van haakjes is hierbij essentieel.

• Priemgetallen zijn fundamentele bouwstenen voor hele getallen, en via unieke priemfactorisaties worden begrippen als grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud bepaald, met praktische toepassingen in algoritmiek en delingsvraagstukken.

• GGD en KGV zijn onderling verbonden via het product $a \times b$, essentieel voor het oefenen van delingstaken en getaltheoretische vraagstukken.

Oefenvragen

1. Gegeven zijn de getallen a = -12, b = 4 en c = -6. Bereken (a - b) - c en a - (b - c) en leg uit waarom deze verschillend kunnen zijn. - Antwoord: $(a - b) - c = (-12 - 4) - (-6) = -16 - (-6) = -16 + 6 = -10$ $a - (b - c) = -12 - (4 - (-6)) = -12 - (4 + 6) = -12 - 10 = -22$ De uitkomsten zijn verschillend omdat haakjes de volgorde van bewerkingen bepalen.

2. Bepaal het kleinste gemene veelvoud van 18 en 42 via de GGD en controleer je antwoord. - Antwoord: $\mathrm{GGD}(18, 42)$: $42 : 18 = 2$ rest $6$; $18 : 6 = 3$ rest $0$ → $\mathrm{GGD} = 6$ $\mathrm{KGV}(18, 42) = (18 \times 42) / 6 = 756 / 6 = 126$ Controle: $126 : 18 = 7$, $126 : 42 = 3$. Dus $126$ is deelbaar door beide getallen.

3. Los op: (3 + 5) · (-2) + 4 · (7 - 5 · 2) - Antwoord: $(3 + 5) \cdot (-2) = 8 \cdot (-2) = -16$ $5 \cdot 2 = 10 \to 7 - 10 = -3 \to 4 \cdot (-3) = -12$ Totaal: $-16 + (-12) = -28$

4. Geef een volledig bewijs dat er oneindig veel priemgetallen zijn. - Antwoord: Stel dat er slechts eindig veel priemgetallen zijn: $p_1, p_2, ..., p_n$. Neem het getal $N = p_1 \cdot p_2 \cdot ... \cdot p_n + 1$. $N$ is groter dan elk priemgetal uit de lijst en $N$ is niet deelbaar door een van de $p_i$ (want bij deling door $p_i$ geeft het rest $1$). Dus $N$ is óf zelf priem, óf deelbaar door een ander priemgetal. In beide gevallen bestaat er een priemgetal niet in de oorspronkelijke lijst. Dit is een contradictie. Dus er zijn oneindig veel priemgetallen.

5. Voor welke reële getallen x geldt: (2x + 6) / (x - 2) = 0? - Antwoord: Een breuk is nul als de teller nul is en de noemer niet. $2x + 6 = 0 \to x = -3$ Controle noemer: $x - 2 \neq 0 \to x \neq 2$ Dus $x = -3$ is de enige oplossing.