Gravitatiekracht

Blok 1: Inleiding tot gravitatiekracht

Definitie

De gravitatiekracht is de fundamentele aantrekkingskracht die bestaat tussen twee of meer massa’s. Deze kracht verklaart tal van fysische fenomenen, waaronder de baanbeweging van planeten rond sterren, de vorming van sterrenstelsels en de valversnelling die voorwerpen aan het aardoppervlak ondervinden. Elke massa oefent een gravitatiekracht uit op elke andere massa, ongeacht hun onderlinge afstand, zolang deze niet oneindig groot is.

Belangrijke concepten

De gravitatiekracht is universeel en werkt op alle schaalniveaus. Ze neemt af met het kwadraat van de afstand tussen de zwaartepunten van de massa’s. De interactie is altijd aantrekkend en wordt bepaald door de massa’s én de gravitatieconstante. Gravitatie werkt op afstand en behoeft geen materiële drager tussen de massa’s.

Formules en berekeningen

De algemene formule voor de gravitatiekracht tussen twee puntmassa’s $m_1$ en $m_2$, waarvan de zwaartepunten op een afstand $r$ van elkaar liggen, luidt:

waarbij:

• $F_G$: gravitatiekracht (in newton, N)

• $G$: universele gravitatieconstante ($6,674 \times 10^{-11} \; \mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}$)

• $m_1, m_2$: massa’s van de beide objecten (in kilogram)

• $r$: afstand tussen de zwaartepunten (in meter)

Praktijkvoorbeelden

1. Berekening van de gravitatiekracht tussen de aarde en de zon - Gegeven:

   • Massa van de aarde: $m_A = 5,97 \times 10^{24} \; \mathrm{kg}$

   • Massa van de zon: $m_Z = 1,99 \times 10^{30} \; \mathrm{kg}$

   • Afstand tussen aarde en zon: $r = 1,50 \times 10^{11} \; \mathrm{m}$

   - Berekening: $$F_G = G \cdot \frac{m_A \cdot m_Z}{r^2} = 6,674 \times 10^{-11} \cdot \frac{5,97 \times 10^{24} \cdot 1,99 \times 10^{30}}{(1,50 \times 10^{11})^2}$$ $$F_G \approx 3,54 \times 10^{22} \; \mathrm{N}$$ - Interpretatie: Dit is de grootte van de aantrekkingskracht waarmee de aarde en de zon elkaar aantrekken.

2. Gravitatiekracht tussen twee mensen - Gegeven:

   • Massa persoon 1: $m_1 = 70 \; \mathrm{kg}$

   • Massa persoon 2: $m_2 = 80 \; \mathrm{kg}$

   • Afstand tussen hen: $r = 1,0 \; \mathrm{m}$

   - Berekening: $$F_G = 6,674 \times 10^{-11} \cdot \frac{70 \cdot 80}{1^2} = 6,674 \times 10^{-11} \cdot 5600$$ $$F_G \approx 3,74 \times 10^{-7} \; \mathrm{N}$$ - Deze kracht is extreem klein en verklaart waarom de gravitatiekracht tussen gewone voorwerpen nauwelijks merkbaar is.

Veel gemaakte fouten

• Het verwarren van het kwadraat van de afstand met een lineaire afhankelijkheid: de kracht neemt af met het kwadraat van de afstand, dus bij een verdubbeling van de afstand wordt de kracht vier keer kleiner, niet twee keer.

• Negeren dat de kracht universeel werkt: sommige studenten vergeten dat elke massa, hoe klein ook, gravitatiekracht op andere massa’s uitoefent.

• Het foutief invullen van SI-eenheden, wat leidt tot onnauwkeurige berekeningen, bijvoorbeeld door r in kilometer in plaats van meter te gebruiken.

Blok 2: Zwaartekracht als specifieke vorm van gravitatiekracht

Definitie

Zwaartekracht is de specifieke vorm van gravitatiekracht die een hemellichaam, zoals de aarde, uitoefent op objecten in haar onmiddellijke nabijheid, bijvoorbeeld op het oppervlak of in de buurt van het aardoppervlak. Het is deze kracht die verantwoordelijk is voor het “gewicht” van een object en die voorwerpen doet vallen als ze niet worden ondersteund.

Belangrijke concepten

Zwaartekracht valt volledig terug te voeren op de gravitatiekracht van de aarde. Dicht bij het aardoppervlak is het hoogteverschil verwaarloosbaar t.o.v. de straal van de aarde, waardoor de gravitatiekracht vereenvoudigd kan worden tot een bijna constante waarde per kilogram massa: de valversnelling of zwaarteveldsterkte $g$.

De richting van de zwaartekracht loopt altijd naar het zwaartepunt van de aarde, ongeacht de locatie op het aardoppervlak. De oorzaak van de zwaartekracht is dus het massa-aantrekkende vermogen van de aarde, d.w.z. haar totale massa samengetrokken in haar centrum.

Formules en berekeningen

Uitgangspunt is de universele wet van Newton, toegepast op de aarde (massa $m_A$, straal $r_A$), en een voorwerp met massa $m$ op een hoogte $h$ boven het aardoppervlak:

Indien $h \ll r_A$, kan men benaderen:

Men noemt dit de zwaartekracht $F_z$:

Hierin is:

waar:

• $m_A$: massa van de aarde ($5,97 \times 10^{24} \; \mathrm{kg}$)

• $r_A$: straal van de aarde ($6,37 \times 10^6 \; \mathrm{m}$)

• $m$: massa van het object (kg)

• $h$: hoogte van het object boven het aardoppervlak (meestal verwaarloosbaar)

• $G$: gravitatieconstante ($6,674 \times 10^{-11} \; \mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}$)

• $g$: valversnelling, typisch rond $9,81 \; \mathrm{m/s^2}$

Praktijkvoorbeelden

Niet vereist volgens lesstructuur.

Veel gemaakte fouten

• Het niet differentiëren tussen massa (kg) en gewicht (N), en bij berekeningen in de war raken met de juiste grootheid.

• Vergeten dat de zwaartekracht altijd naar het middelpunt van de aarde is gericht en niet altijd verticaal t.o.v. het lokale oppervlak (vooral bij toepassingen op grote schaal, bijvoorbeeld bergen of satellieten).

• Hoofdrekenfout bij gebruik van $h$: soms wordt $h$ niet omgezet naar meters, waardoor foutieve resultaten volgen.

Blok 3: De vectorvorm van Newtons universele zwaartekrachtwet

Definitie

De gravitatiekracht tussen twee massa’s is niet enkel een getalwaarde maar een kracht met een richting, voorgesteld door een vector. Newtons derde wet stelt dat de kracht die massa 1 op massa 2 uitoefent, gelijk is in grootte, maar tegengesteld in richting aan de kracht die massa 2 op massa 1 uitoefent (actio = reactio). Dit vereist een nauwkeurige vectoriële beschrijving van de krachten.

Belangrijke concepten

• Symmetrie: De gravitatiekracht is altijd aantrekend tussen massa’s. De krachten op beide massa’s hebben gelijke grootte maar tegengestelde richting.

• Vectornotatie: Om de richting goed te beschrijven, worden eenheidsvectoren gebruikt. Voor twee massa’s op posities $\vec{r}_1$ en $\vec{r}_2$, wijzen de krachten langs de verbindingslijn van beide punten.

• Newtons derde wet: Deze krachtvectoren zijn elkaars negatieve (actie-reactie paar).

Formules en berekeningen

Voor twee massa’s $m_1$ en $m_2$ op posities $\vec{r}_1$ en $\vec{r}_2$, met afstand $r_{21} = |\vec{r}_2 - \vec{r}_1|$, luiden de gravitatiekrachten:

waar:

• $\vec{F}_{12}$: kracht van 1 op 2

• $\vec{F}_{21}$: kracht van 2 op 1

• $\widehat{r_{21}}$: eenheidsvector van 2 naar 1, d.w.z. de richting van 2 naar 1

Voorbeeld van eenheidsvector:

Praktijkvoorbeelden

1. Vectoriële berekening van gravitatiekracht tussen twee satellieten in een baan - Gegeven:

   • $m_1 = 1\,200 \; \mathrm{kg}$ op positie $\vec{r}_1 = (7000,0,0) \; \mathrm{km}$

   • $m_2 = 2\,000 \; \mathrm{kg}$ op positie $\vec{r}_2 = (7000,10,0) \; \mathrm{km}$

   - Berekening:

   • $\vec{r}_1 - \vec{r}_2 = (0, -10, 0) \; \mathrm{km}$

   • Afstand $r_{21} = 10\,000\,\mathrm{m}$

   • Eenheidsvector $\widehat{r_{21}} = (0, -1, 0)$

   • Ingevulde formule: $$\vec{F}_{12} = -G \cdot \frac{1\,200 \cdot 2\,000}{(10\,000)^2} \cdot (0, -1, 0)$$ $$\vec{F}_{12} = -6,674 \times 10^{-11} \cdot \frac{2,4 \times 10^6}{10^8} \cdot (0, -1, 0)$$ $$\vec{F}_{12} = -6,674 \times 10^{-11} \cdot 0,024 \cdot (0, -1, 0)$$ $$\vec{F}_{12} \approx -1,60 \times 10^{-12} \cdot (0, -1, 0) \;\mathrm{N}$$

   • Richting: van satelliet 2 naar satelliet 1.

2. Gravitatiekracht tussen planetaire lichamen in het zonnestelsel - Neem twee planeten op posities $\vec{r}_1$ en $\vec{r}_2$. De krachtvector van planeet 1 op planeet 2 wordt als volgt berekend: $$\vec{F}_{12} = -G \frac{m_1 m_2}{|\vec{r}_1 - \vec{r}_2|^2} \cdot \frac{\vec{r}_2 - \vec{r}_1}{|\vec{r}_2 - \vec{r}_1|}$$ - Deze berekening wordt frequent toegepast bij het bepalen van baanbewegingen in de hemelmechanica.

Veel gemaakte fouten

• Onjuiste bepaling van de richting van de vector, bijvoorbeeld door het verkeerde verschil te nemen in de positievectors.

• Vergeten de eenheidsvector te normaliseren, waardoor de calculatie niet enkel de richting maar ook onnauwkeurige grootte oplevert.

• Tekens van de krachten omkeren: denken dat beide krachten in dezelfde richting wijzen, terwijl ze altijd tegengesteld zijn.

Blok 4: Variaties van de valversnelling (g) op verschillende plaatsen

Definitie

De valversnelling $g$ is de versnelling die een object exclusief onder invloed van de zwaartekracht ondervindt aan het oppervlak van een hemellichaam, zoals aarde of maan. Deze waarde is niet overal gelijk, zelfs niet op aarde.

Belangrijke concepten

• Afhankelijkheid van locatie: De waarde van $g$ neemt toe naarmate men dichter bij het middelpunt van de aarde is (dus aan de polen, waar de aardstraal kleiner is, is $g$ groter). Aan de evenaar is $r_A$ maximaal, dus $g$ minimaal.

• Typische waarden:

  • Op aarde: $g \approx 9,81\,\mathrm{m/s^2}$ (IJsselmeer, België: variatie tot ±0,03)

  • Op de maan: $g = 1,63\,\mathrm{m/s^2}$

• Effecten van variërende [INLINE_EQUATION]g[/INLINE_EQUATION]: Het gewicht dat een object ondervindt ($m \cdot g$) verschilt bijgevolg tussen verschillende plaatsen en hemellichamen.

• Gewicht vs. massa: Massa ($m$), uitgedrukt in kilogram, blijft constant. Gewicht, de kracht ($N$), verandert met $g$.

Formules en berekeningen

• Voor aarde, op zeeniveau: $$g = \frac{G \cdot m_A}{r_A^2}$$ waarbij $m_A = 5,97 \times 10^{24} \; \mathrm{kg}$, $r_A = 6,37 \times 10^6 \; \mathrm{m}$

• Op de maan: $$g = \frac{G \cdot m_\text{maan}}{r_\text{maan}^2}$$ waarbij $m_\text{maan} = 7,35 \times 10^{22} \; \mathrm{kg}$, $r_\text{maan} = 1,74 \times 10^6 \; \mathrm{m}$

Praktijkvoorbeelden

1. Vergelijking van het gewicht op aarde en op de maan - Massa astronaut: $m = 80\,\mathrm{kg}$ - Gewicht op aarde: $$F_{\text{aarde}} = m \cdot g = 80 \cdot 9,81 = 785\,\mathrm{N}$$ - Gewicht op de maan: $$F_{\text{maan}} = 80 \cdot 1,63 = 130,4\,\mathrm{N}$$ - Uitkomst: De astronaut weegt op de maan ongeveer zesenhalf keer minder dan op aarde.

2. Berekenen van [INLINE_EQUATION]g[/INLINE_EQUATION] aan de evenaar versus aan de polen - Aan de polen is $r_A$ ongeveer 21 km korter dan aan de evenaar. - Stel: $g_\text{evenaar} = 9,78\,\mathrm{m/s^2}$, $g_\text{pool} = 9,83\,\mathrm{m/s^2}$ - Voor een massa van $60\,\mathrm{kg}$:

   • Gewicht aan evenaar: $60 \cdot 9,78 = 586,8\,\mathrm{N}$

   • Gewicht aan pool: $60 \cdot 9,83 = 589,8\,\mathrm{N}$

   - Verschil: circa 3 N lichter aan de evenaar dan aan de pool.

Veel gemaakte fouten

• Aannemen dat $g$ overal op aarde identiek is en hiermee bij nauwkeurige berekeningen onjuiste resultaten bekomen.

• Gewicht verwarren met massa, vooral bij interpretatie van experimenten op de maan of in vrije val.

• Vergeten rekening te houden met hoogteverschil in berggebieden, waar $g$ merkbaar afwijkt van het standaardwaarde.

Samenvatting

• Gravitatiekracht is de fundamentele aantrekkingskracht tussen alle massa’s, beschreven door Newtons universele gravitatiewet, met een sterkte die afhangt van de massa’s en het kwadraat van de afstand tussen de zwaartepunten.

• Zwaartekracht is de specifieke gravitatiekracht die aarde op voorwerpen dichtbij haar oppervlak uitoefent, waarvoor de formule $F_G = m \cdot g$ geldt. De valversnelling $g$ volgt uit de massa en straal van de aarde.

• Vectoriële formulering van de gravitatiewet is essentieel: krachten zijn richtingsgevoelig en treden op als actie-reactie paren, altijd tegengesteld en gelijk in grootte.

• Valversnelling [INLINE_EQUATION]g[/INLINE_EQUATION] varieert naargelang locatie op aarde (pool vs. evenaar) en verschilt sterk tussen hemellichamen, wat het verschil verklaart tussen gewicht en massa.

Oefenvragen

1. Een satelliet bevindt zich op een hoogte van 400 km boven het aardoppervlak (r_A = 6,37 × 10⁶ m). Bereken de valversnelling [INLINE_EQUATION]g'[/INLINE_EQUATION] op deze hoogte. - Antwoord: - Totaalafstand tot het middelpunt: $r = r_A + h = 6,37 \times 10^6 + 4,00 \times 10^5 = 6,77 \times 10^6$ m - $$g' = \frac{G \cdot m_A}{r^2} = \frac{6,674 \times 10^{-11} \cdot 5,97 \times 10^{24}}{(6,77 \times 10^6)^2}$$ - $$g' \approx 8,69\,\mathrm{m/s^2}$$

2. Bereken de grootte en richting van de gravitatiekracht tussen een massa van [INLINE_EQUATION]5,0 \, \mathrm{kg}[/INLINE_EQUATION] op positie [INLINE_EQUATION](0,0,0)[/INLINE_EQUATION] m en een massa van [INLINE_EQUATION]8,0 \, \mathrm{kg}[/INLINE_EQUATION] op [INLINE_EQUATION](0,3,0)[/INLINE_EQUATION] m. - Antwoord: - Afstand $r = 0,3$ m; eenheidsvector van tweede naar eerste massa: $\widehat{r_{21}} = (0, -1, 0)$ - $$F = G \cdot \frac{5 \cdot 8}{0,09} = 6,674 \times 10^{-11} \cdot 444,44 = 2,97 \times 10^{-8} \, \mathrm{N}$$ - Richting: van de tweede massa naar de eerste (negatieve y-richting).

3. Waarom is je gewicht aan de pool groter dan aan de evenaar? Kwantificeer het verschil voor een massa van [INLINE_EQUATION]65\,\mathrm{kg}[/INLINE_EQUATION] als [INLINE_EQUATION]g_\text{pool} = 9,83 \,\mathrm{m/s^2}[/INLINE_EQUATION] en [INLINE_EQUATION]g_\text{evenaar} = 9,78 \, \mathrm{m/s^2}[/INLINE_EQUATION]. - Antwoord: - Aan de pool: $F_\text{pool} = 65 \cdot 9,83 = 638,95\,\mathrm{N}$ - Aan de evenaar: $F_\text{evenaar} = 65 \cdot 9,78 = 635,7\,\mathrm{N}$ - Verschil: $3,25\,\mathrm{N}$

4. Een astronaut met massa [INLINE_EQUATION]70\,\mathrm{kg}[/INLINE_EQUATION] bevindt zich op de maan. Bereken zijn gewicht op de maan. - Antwoord: - $F = m \cdot g = 70 \cdot 1,63 = 114,1\,\mathrm{N}$

5. Geef een vectorformule voor de gravitatiekracht voor twee massa’s en beschrijf kort het belang van de eenheidsvector bij deze formulering. - Antwoord: - $$\vec{F}_{12} = -G \frac{m_1 m_2}{r_{21}^2} \cdot \widehat{r_{21}}$$ - De eenheidsvector geeft enkel de richting van de kracht aan zonder de grootte te beïnvloeden; dit waarborgt dat de kracht exact tussen beide massa’s is gericht, van de ene naar de andere.