Arbeid geleverd door de zwaartekracht

Definitie en formule van arbeid door de zwaartekracht

Definitie

De arbeid geleverd door de zwaartekracht is de hoeveelheid energie die de zwaartekracht overdraagt aan een voorwerp met massa wanneer het verplaatst wordt in de richting van het zwaartekrachtveld, typisch tijdens een hoogteverandering in een homogeen gravitatieveld zoals dicht bij het aardoppervlak. De zwaartekracht verricht positieve arbeid als het voorwerp daalt en negatieve arbeid als het tegen de zwaartekracht in omhoog wordt bewogen. Enkel het hoogteverschil tussen begin- en eindpunt bepaalt de grootte van de arbeid; de gevolgde weg is daarbij niet relevant zolang het gravitatieveld uniform blijft.

Belangrijke concepten

1. Vectoriële aard: De arbeid door de zwaartekracht wordt bepaald door de projectie van de verplaatsing op de richting van de kracht. Bij verticale bewegingen betekent dit dat enkel het verschil in hoogte (niet de horizontale afstand) bepalend is.

2. Potentiële energie: De verandering van potentiële energie van het systeem correspondeert met de arbeid die door de zwaartekracht geleverd wordt. Dit impliceert het energiebehoud binnen het systeem, indien geen dissipatie (zoals wrijving) optreedt.

3. Onafhankelijkheid van het pad: In een homogeen gravitatieveld is de arbeid, en dus ook de potentiële energieverandering, uitsluitend afhankelijk van het hoogteverschil tussen het begin- en eindpunt, niet van het specifieke pad.

4. Signen-conventie: Wordt het object verlaagd, dan is (h₁ - h₂) positief en is de arbeid eveneens positief, aangezien de zwaartekracht dan in dezelfde richting als de verplaatsing werkt. Wordt het object opgeheven, dan is het verschil negatief en levert de zwaartekracht negatieve arbeid (de zwaartekracht werkt dan tegen de verplaatsing in).

Formules en berekeningen

De arbeid W die door de zwaartekracht geleverd wordt aan een massa m die in een verticaal gravitatieveld van hoogte h₁ naar hoogte h₂ wordt verplaatst, is:

waarbij:

• $W$: arbeid, uitgedrukt in Joule (J)

• $F$: grootte van de zwaartekracht, $m \cdot g$ in Newton (N)

• $d$: verticale verplaatsing in de richting van de zwaartekracht, $h_1 - h_2$

• $m$: massa van het object, in kilogram (kg)

• $g$: gravitatieversnelling, standaardwaarde aan het aardoppervlak: $9,81 \; m/s^2$

• $h_1$: beginhoogte (m)

• $h_2$: eindhoogte (m)

Let op de tekens:

• Bij een daling (h₂ < h₁) is (h₁ - h₂) positief, W is positief (arbeid geleverd aan het object).

• Bij een stijging (h₂ > h₁) is (h₁ - h₂) negatief, W is negatief (arbeid door het object verricht tegen de zwaartekracht).

Bij beweging in een niet-verticaal vlak (zoals langs een hellend vlak) projecteer je de verplaatsing enkel op de verticale component, aangezien enkel deze component relevant is voor de zwaartekracht.

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Vrije val uit rust

Een kogel van 2,5 kg wordt losgelaten van een hoogte van 10,0 m. Bereken de arbeid die de zwaartekracht heeft geleverd als de kogel het aardoppervlak bereikt.

Gegeven:

• m = 2,5 kg

• h₁ = 10,0 m

• h₂ = 0,0 m (aarde)

Berekening:

De zwaartekracht levert dus 245,25 Joule arbeid.

Voorbeeld 2: Opheffen van een massa met constante snelheid

Een massa van 6,0 kg wordt met een constante snelheid opgeheven van 2,0 m naar 5,0 m boven het aardoppervlak.

Gegeven:

• m = 6,0 kg

• h₁ = 2,0 m

• h₂ = 5,0 m

Berekening:

De arbeid door de zwaartekracht is -176,58 Joule (negatief omdat de beweging tegen de zwaartekracht in gebeurt).

Veel gemaakte fouten

1. Negeren van het teken van (h₁ - h₂): Studenten verwisselen vaak het begin- en eindpunt, waardoor ze het onjuiste teken krijgen voor de arbeid. Dit leidt tot een verkeerd fysisch inzicht over de richting van het energietransport.

2. Foutief gebruik van horizontale afstand: Sommigen gebruiken de totale afgelegde weg of een schuin traject, in plaats van enkel het verticale hoogteverschil tussen begin- en eindpunt.

3. Vergeten van eenheidsconversie: Studenten werken vaak met massa in gram of hoogte in centimeter, zonder om te rekenen naar SI-eenheden (kg en m), wat tot incorrecte resultaten leidt.

4. Verwarring tussen arbeid en potentiële energie: Het verschil tussen de arbeid geleverd door de zwaartekracht en de verandering in potentiële energie wordt soms genegeerd, terwijl deze exact elkaars tegengestelde zijn afhankelijk van het gekozen referentiepunt.

Samenvatting

• De arbeid geleverd door de zwaartekracht op een massa tijdens een verticale verplaatsing wordt volledig bepaald door het hoogteverschil en de massa: $W = m \cdot g \cdot (h_1 - h_2)$.

• Het teken van het hoogteverschil is essentieel: bij een daling is de arbeid positief (energie afgegeven door het zwaartekrachtsveld), bij een stijging negatief (energie opgenomen door het veld).

• Alleen de verticale component van de verplaatsing telt; het pad is irrelevant zolang het veld uniform is.

• Het correct toe te passen van tekens, SI-eenheden en de juiste interpretatie inzake arbeid versus potentiële energie is essentieel op eindexamenniveau.

Oefenvragen

1. Een krat van 15,0 kg glijdt langs een perfect gladde helling 8,0 m omlaag van een hoogte van 6,0 m naar 2,0 m. Bereken de arbeid die de zwaartekracht op de krat uitoefent. *Antwoord:* $$W = m \cdot g \cdot (h_1 - h_2) = 15,0 \cdot 9,81 \cdot (6,0 - 2,0) = 15,0 \cdot 9,81 \cdot 4,0 = 588,6\, J$$

2. Een hiker tilt een rugzak van 7,5 kg verticaal op van 1,3 m naar 1,9 m hoogte. Wat is de arbeid geleverd door de zwaartekracht? *Antwoord:* $$W = 7,5 \cdot 9,81 \cdot (1,3 - 1,9) = 7,5 \cdot 9,81 \cdot (-0,6) = -44,145\, J$$ De arbeid is negatief omdat ze tegen de zwaartekracht in werkt.

3. Een pakket valt van een hoogte van 12,3 m op de grond. De massa bedraagt 4,0 kg. Wat is de door de zwaartekracht geleverde arbeid? *Antwoord:* $$W = 4,0 \cdot 9,81 \cdot (12,3 - 0) = 4,0 \cdot 9,81 \cdot 12,3 = 482,2\, J$$