Wiskundige schrijfwijze en grafische voorstelling van harmonische trillingen: pulsatie & faseverschil

De bewegingsvergelijking van een harmonische trilling

Definitie

Een harmonische trilling is een periodieke beweging waarbij de uitwijking als functie van de tijd gegeven wordt door de volgende bewegingsvergelijking:

$$y(t) = A \cdot \sin(\omega \cdot t + \varphi)$$

Hierbij is $y(t)$ de uitwijking op tijdstip $t$, $A$ de amplitude of maximale uitwijking, $\omega$ de hoeksnelheid (pulsatie), $t$ de tijd en $\varphi$ de fasehoek bij $t=0$.

Belangrijke concepten

De bewegingsvergelijking geeft een volledig wiskundig model van een ideaal trillend systeem zonder demping. De sinusfunctie garandeert de periodieke aard van de uitwijking. De waarde van $A$ bepaalt de maximale afstand vanaf het evenwichtspunt, terwijl $\omega$ de frequentie van de trilling intrinsiek vastlegt. Het optellen van $\varphi$ bij het argument van de sinus maakt het mogelijk de beginpositie van de trilling arbitrair te kiezen, essentieel voor het modelleren van systemen met verschillende startvoorwaarden.

De parameters worden consequent gebruikt in geavanceerde fysica: de hoeksnelheid $\omega$ is direct gerelateerd aan energetische eigenschappen van het systeem; het faseverschil $\varphi$ is bij meervoudig gekoppelde trilsystemen en golfverschijnselen van fundamenteel belang voor interferentie- en superpositieberekeningen.

Formules en berekeningen

De algemene bewegingsvergelijking:

$$y(t) = A \cdot \sin(\omega \cdot t + \varphi)$$

Voor systemen met bekende frequentie $f$ of periode $T$:

$$\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}$$

De argumentstructuur $\omega \cdot t + \varphi$ preciseert de fase van de trilling op elk tijdstip, wat cruciaal is bij het combineren van verschillende trillingen (superpositie) of bij het bepalen van de voortplantingsrichting van golven.

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Een massa-veersysteem trilt met een amplitude van 8,0 cm en een periode van 0,50 s. Indien het systeem op tijdstip $t=0$ door het evenwichtspunt beweegt in positieve richting, kan de bewegingsvergelijking als volgt geformuleerd worden:

• Amplitude: $A = 0,080$ m

• Periode: $T = 0,50$ s $\Rightarrow$ $\omega = 2\pi / 0,50 = 12,57$ rad/s

• Start bij $y(0) = 0$, met positieve snelheid: $\varphi = 0$

Bewegingsvergelijking:

$$y(t) = 0,080 \cdot \sin(12,57 \cdot t)$$

Voorbeeld 2: Een luidsprekerconus beweegt harmonisch met een amplitude van 2,5 mm en frequentie 440 Hz. Op tijdstip $t=0$ bevindt de conus zich op de maximale uitwijking in negatieve richting.

• Amplitude: $A = 0,0025$ m

• Frequentie: $f = 440$ Hz $\Rightarrow$ $\omega = 2\pi \cdot 440 = 2764,6$ rad/s

• Maximale uitwijking in negatieve richting: $\varphi = -\frac{\pi}{2}$

Bewegingsvergelijking:

$$y(t) = 0,0025 \cdot \sin(2764,6 \cdot t - \frac{\pi}{2})$$

Veel gemaakte fouten

• Verwisselen van de fasehoek $\varphi$ en beginwaarde: Studenten kiezen soms verkeerdelijk $\varphi = 0$ wanneer het systeem niet door de evenwichtsstand beweegt bij $t=0$, wat leidt tot onjuiste grafieken en rekenfouten.

• Foutieve toepassing van de hoeksnelheid: Het direct invullen van $f$ in de bewegingsvergelijking in plaats van $\omega$, resulterend in fouten bij gebruik van sinus- of cosinusfuncties. Hoeksnelheid moet altijd omgerekend worden naar rad/s.

• Verkeerd aangeven van het voorteken van de amplitude wanneer de startuitwijking negatief is maar de fasehoek nog niet correct werd bepaald.

• Negeren van het effect van de fasehoek bij de superpositie van meerdere harmonische trillingen, leidend tot foutieve voorspellingen van amplitude en piekmomenten.

Definitie en betekenis van parameters

Definitie

• Fasehoek [INLINE_EQUATION]\varphi[/INLINE_EQUATION]: De fasehoek geeft de positie binnen de trilling aan op het tijdstip $t=0$. Meer formeel: de waarde van $\varphi$ bepaalt welk deel van de sinusgolf is ‘geactiveerd’ bij het nulpunt. Het is een vaste offset uitgedrukt in radialen, die het mogelijk maakt verschillende startposities mathematisch te modelleren.

• Hoeksnelheid (pulsatie) [INLINE_EQUATION]\omega[/INLINE_EQUATION]: De hoeksnelheid is een maat voor het tempo waarmee het argument van de sinusfunctie, dus de fase, toeneemt per tijdseenheid. Mathematisch: $$\omega = \frac{2\pi}{T}$$ waarbij $T$ de periode is van de trilling. $\omega$ wordt uitgedrukt in radialen per seconde (rad/s).

Belangrijke concepten

De fasehoek is van fundamenteel belang om uitwijkingen en snelheden op elk gewenst tijdstip te bepalen, en is cruciaal bij het combineren van meerdere trillingen met verschillende beginposities (bijvoorbeeld in golfinterferentie). Een verschil in fasehoek tussen twee trillingen komt overeen met een fysisch faseverschil.

De hoeksnelheid $\omega$ bepaalt niet alleen hoe snel de trilling verloopt, maar is ook direct gekoppeld aan de kinetische en potentiële energie in mechanische en elektrische oscillatoren. Hoge waarden van $\omega$ staan voor snelle trillingen, terwijl lage waarden veel tragere veranderingen met zich meebrengen.

Formules en berekeningen

De periode $T$ en frequentie $f$ hangen als volgt samen met de pulsatie:

$$\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}$$

De fase op elk tijdstip $t$ wordt door het argument $\omega t + \varphi$ volledig bepaald. Dit maakt het mogelijk om vertragingen, verschuivingen en synchronisatie tussen verschillende trillingen te berekenen.

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Bij een elektrische kring oscilleert de spanning met een frequentie van 50 Hz. Bepaal de pulsatie en geef een mogelijke fasehoek als de spanning op $t=0$ reeds de helft van de maximale waarde bereikt heeft in positieve richting.

• Frequentie: $f = 50$ Hz

• Pulsatie: $\omega = 2\pi \cdot 50 = 314,16$ rad/s

• Halve maximale waarde bij start: $\sin(\omega \cdot 0 + \varphi) = 0,5 \rightarrow \varphi = \arcsin(0,5) = \frac{\pi}{6}$

Voorbeeld 2: In een optisch experiment met twee lichtgolven bedraagt het faseverschil tussen beide bronnen $0,8\pi$ rad. Dit leidt tot gedeeltelijke interferentie afhankelijk van de waarde van $\varphi$ voor beide systemen. De pulsatie van beide golven is identiek en bedraagt $6,3 \times 10^{15}$ rad/s bij licht in het ultraviolet. Hier bepaalt het precieze faseverschil de aard van constructieve of destructieve interferentie ter plaatse van het waarnemingspunt.

Veel gemaakte fouten

• Fasehoek verwarren met tijdsvertraging: Studenten nemen soms aan dat een fasehoek rechtstreeks overeenstemt met een tijdsvertraging zonder rekening te houden met de hoeksnelheid. De relatie $t_v = -\varphi / \omega$ wordt vaak niet correct toegepast.

• Fasehoek verkeerd uitdrukken in graden in plaats van radialen, wat aanleiding geeft tot numerieke fouten in berekeningen met de sinusfunctie.

• Vergeten dat $\omega$ altijd in rad/s uitgedrukt moet worden bij gebruik in trigonometrische functies, in tegenstelling tot de meer gangbare Hz voor frequentie.

• Niet correct verwerken van negatieve fasehoeken bij grafische voorstelling of interpretatie van superpositieproblemen.

Samenvatting

• De harmonische trilling wordt wiskundig beschreven als $y(t) = A \cdot \sin(\omega \cdot t + \varphi)$, waarbij iedere parameter een specifieke fysische betekenis bezit.

• De amplitude $A$ bepaalt de maximale afstand tot het evenwicht, de hoeksnelheid $\omega$ karakteriseert het ritme van de trilling en is altijd gerelateerd aan de periode als $\omega = 2 \pi / T$.

• De fasehoek $\varphi$ stelt je in staat het exacte startpunt binnen de cyclus mathematisch te modelleren, wat onmisbaar is in toepassingen zoals superpositie, interferentie en synchronisatie van trillingen.

• Foutloos werken met eenheden (rad/s voor $\omega$, rad voor $\varphi$) en correcte interpretatie van de fasehoek zijn essentieel bij complexere eindexamenopgaven over harmonische trillingen en golfverschijnselen.

Oefenvragen

1. Een massa trilt volgens [INLINE_EQUATION]y(t) = 0,06 \cdot \sin(25\,t + \frac{\pi}{3})[/INLINE_EQUATION] (in meter en seconden). a) Bereken de frequentie en de periode van deze trilling. b) Bepaal de uitwijking en snelheid op $t = 0$. Antwoorden: a) $\omega = 25$ rad/s, dus $f = \omega / 2\pi = 25 / 2\pi \approx 3,98$ Hz; $T = 1 / f \approx 0,251$ s b) $y(0) = 0,06 \cdot \sin(\frac{\pi}{3}) = 0,06 \cdot 0,866 = 0,05196$ m $v(t) = \frac{dy}{dt} = A \cdot \omega \cdot \cos(\omega t + \varphi)$. $v(0) = 0,06 \cdot 25 \cdot \cos(\frac{\pi}{3}) = 1,5 \cdot 0,5 = 0,75$ m/s 2. Een oscillator heeft een frequentie van 200 Hz. Op [INLINE_EQUATION]t=0[/INLINE_EQUATION] staat hij op maximale negatieve uitwijking. a) Formuleer de bewegingsvergelijking. b) Wat is de fasehoek? Antwoorden: a) Maximale negatieve uitwijking betekent $\varphi = -\frac{\pi}{2}$; $\omega = 2\pi \cdot 200 = 1256,64$ rad/s; $y(t) = A \cdot \sin(1256,64 \cdot t - \frac{\pi}{2})$ b) $\varphi = -\frac{\pi}{2}$ rad 3. Twee golven met gelijke pulsatie en amplitude hebben een faseverschil van [INLINE_EQUATION]0,7\pi[/INLINE_EQUATION] rad. a) Schrijf hun bewegingsvergelijkingen als beide starten vanuit rust, maar met het opgegeven faseverschil. b) Bereken het tijdsverschil tussen hun piekposities. Antwoorden: a) $y_1(t) = A \cdot \sin(\omega t)$$y_2(t) = A \cdot \sin(\omega t + 0,7\pi)$ b) $t_v = -\varphi / \omega = -0,7\pi / \omega$