Snelheid en versnelling van een harmonische trilling

Blok 1: Inleiding – Afleiden van snelheid en versnelling bij harmonische trilling

Een harmonische trilling wordt wiskundig beschreven met een bewegingsvergelijking voor de uitwijking als functie van de tijd. Door deze uitwijking naar de tijd te differentiëren, verkrijgt men respectievelijk de snelheid en de versnelling van het systeem. Het proces van differentiëren van de oplossing van de bewegingsvergelijking vormt de basis om zowel de snelheid als de versnelling bij een harmonische trilling eenduidig te bepalen. Hierbij wordt bewust gebruikgemaakt van de noties bewegingsvergelijking (tijdafhankelijke uitwijking), afleiden (differentieëren) en oplossing (analytische uitdrukking).

Blok 2: Snelheid bij harmonische trilling

Definitie

De snelheid bij een harmonische trilling geeft aan hoe snel de uitwijking verandert in de tijd. De snelheid is de eerste afgeleide van de uitwijking volgens de tijd, uitgedrukt in de richting van de trilling.

Belangrijke concepten

• De uitwijking van een harmonische trilling is gegeven door: $$y(t) = A \sin(\omega t + \emptyset)$$ waarin - $A$: amplitude (maximum uitwijking) - $\omega$: hoekfrequentie ($\omega = 2\pi/T$, met $T$ de periode) - $t$: tijd - $\emptyset$: beginfase (de fase op $t = 0$)

• De snelheid wordt bepaald door de tijdsafgeleide: $$v_y(t) = \frac{dy}{dt}$$

• Snelheid bij een harmonische trilling verloopt periodiek en kan positief (richting van toenemende $y$) of negatief (richting van afnemende $y$) zijn.

• De snelheid bereikt haar maximale waarden bij het passeren van de evenwichtsstand ($y=0$), omdat daar de helling (de mate van uitwijkingsverandering per tijdseenheid) het grootst is.

• Op de uiterste posities (waar $|y|=A$) is de snelheid nul, omdat de uitwijking daar momentaan niet verandert (de bewegingsrichting keert om).

Formules en berekeningen

De snelheid wordt gevonden door $y(t)$ te differentiëren naar $t$: