Massa-veersysteem en harmonische trilling
Massa-veersysteem: definitie, formule en eigenschappen
Definitie
Een massa-veersysteem bestaat uit een massa [INLINE EQUATION]m[/INLINE EQUATION] die bevestigd is aan een lineaire veer met veerconstante [INLINE EQUATION]k[/INLINE EQUATION]. Wanneer de massa uit zijn evenwichtspositie wordt gebracht en losgelaten, treedt een harmonische trilling op zolang de resulterende kracht op de veer verschillend is van nul. Dit type systeem vormt een fundamenteel voorbeeld van mechanische oscillaties waarbij uitsluitend de veerkracht (onderworpen aan de wet van Hooke) en traagheidskrachten optreden zonder energieverliezen of externe demping.
Belangrijke concepten
Het systeem beschrijft een ideale situatie: massaloze veer, lineaire elasticiteit en geen energieverlies door wrijving.
Zodra de massa wordt uitgelen en vrijgelaten ondervindt ze een herstellende kracht evenredig met haar uitwijking: [INLINE EQUATION]F = - kx[/INLINE EQUATION].
De netto kracht is het grootst bij maximale uitwijking, en nul bij het passeren van de evenwichtsstand.
De beweging voldoet aan het differentiaalvergelijking [INLINE EQUATION]m \frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0[/INLINE EQUATION], wat typisch is voor harmonische oscillatoren.
Voor systeemanalyses, zoals superpositie van oscillaties of gekoppelde trillingen, vormt het massa-veersysteem een basisvoorbeeld.
Formules en berekeningen
Periode van de harmonische trilling: [BLOCK EQUATION]T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}[/BLOCK EQUATION] Waarbij [INLINE EQUATION]T[/INLINE EQUATION] = periode van één volledige trilling [INLINE EQUATION]m[/INLINE EQUATION] = massa (in kilogram) [INLINE EQUATION]k[/INLINE EQUATION] = veerconstante (in newton per meter)
Frequentie van de trilling: [BLOCK EQUATION]f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}[/BLOCK EQUATION]
Belangrijke eigenschap: De periode [INLINE EQUATION]T[/INLINE EQUATION] is volledig onafhankelijk van de amplitude van de uitwijking, zolang men binnen het lineaire regime van de veer blijft (dus zolang de uitwijkingen niet leiden tot plastische vervormingen). Tevens is [INLINE EQUATION]T[/INLINE EQUATION] onafhankelijk van het verstrijken van de tijd: bij ideale omstandigheden blijft de periode constant, wat essentieel is voor betrouwbare tijdsmetingen of trillingssystemen.
Praktijkvoorbeelden
Voorbeeld 1: Een massa van [INLINE EQUATION]0,250[/INLINE EQUATION] kg hangt aan een veer met een veerconstante van [INLINE EQUATION]80,0[/INLINE EQUATION] N/m. Bereken de periode van de trilling.
[BLOCK EQUATION]T = 2\pi\sqrt{\frac{0,250}{80,0}} = 2\pi\sqrt{0,003125} = 2\pi \times 0,0559 = 0,351 \,\mathrm{s}[/BLOCK EQUATION]Voorbeeld 2: Een fysicus onderzoekt of de periode verandert als ze de amplitude van de trilling verdubbelt. Zelfs wanneer de massa ijh 5 cm in plaats van 2,5 cm uit evenwicht wordt getrokken, blijft de periode:
[BLOCK EQUATION]T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}[/BLOCK EQUATION]Dus: onafhankelijk van de uitwijking, zolang deze niet te groot wordt.
Veel gemaakte fouten
Amplitude-verwarring: Aannemen dat een grotere uitwijking leidt tot een langere of kortere periode, terwijl deze strikt onafhankelijk is van de amplitude voor kleine, lineaire uitwijkingen.
Negeren van massa van de veer: Voor exacte metingen is de massa van de veer soms niet verwaarloosbaar. Studenten vergeten dit te controleren.
Verwarren van veerconstante: Verkeerd lezen van de veerconstante (soms [INLINE EQUATION]k[/INLINE EQUATION] per cm i.p.v. per meter), wat tot foutieve resultaten leidt.
Niet-ideale omstandigheden: Niet herkennen wanneer demping of niet-lineair veergedrag optreedt bij grote uitwijkingen, wat de geldigheid van bovenstaande formules beperkt.
Slinger – periodeformule en onafhankelijkheden
Definitie
Een slinger, in de natuurkundige context, bestaat uit een kleine massa bevestigd aan een onrekbare, massaloze draad met lengte [INLINE EQUATION]l[/INLINE EQUATION], die vrij kan zwaaien onder invloed van de zwaartekracht. Bij kleine uitwijkingen vertoont dit systeem een harmonische trilling: de uitwijkende massa beweegt periodiek door haar evenwichtsstand, aangedreven door de component van de zwaartekracht langs de baan. Bij grote uitwijkingen is de trilling niet meer harmonisch; de lineaire benadering geldt dan niet meer.
Belangrijke concepten
Voor een lineaire harmonische trilling is de uitwijkhoek klein ([INLINE EQUATION]<10^\circ[/INLINE EQUATION]), zodat de benadering [INLINE EQUATION]\sin\theta \approx \theta[/INLINE EQUATION] (in radialen) geldig is.
In tegenstelling tot het massa-veersysteem, is bij de eenvoudige slinger de periode onafhankelijk van de massa van het hangende gewicht.
De slinger herhaalt identiek zijn beweging zolang de uitwijkingen klein zijn – de dynamica veranderen bij grotere amplitudes.
De slinger is bij uitstek een voorbeeld van een systeem waarbij de herstellende kracht niet constant is, maar bij kleine hoeken wél lineair benaderd kan worden.
Formules en berekeningen
Periode van een eenvoudige slinger: [BLOCK EQUATION]T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}[/BLOCK EQUATION] Waarbij [INLINE EQUATION]T[/INLINE EQUATION] = periode van de trilling [INLINE EQUATION]l[/INLINE EQUATION] = lengte van de slinger (in meter) [INLINE EQUATION]g[/INLINE EQUATION] = lokale zwaartekrachtsversnelling (meestal [INLINE EQUATION]9,81[/INLINE EQUATION] m/s²)
Onafhankelijkheid van de massa: De massa van het gewicht komt niet voor in de bovenstaande formule; of men een lichte of zware kogel gebruikt, de periode blijft gelijk.
Verwaarlozen van luchtweerstand en massaloos touw: De bovenstaande formule geldt alleen als energieverliezen verwaarloosbaar zijn en het touw geen meetbare massa heeft.
Praktijkvoorbeelden
Voorbeeld 1: Een slinger met lengte [INLINE EQUATION]1,50[/INLINE EQUATION] meter zwaait onder standaard zwaartekracht ([INLINE EQUATION]g = 9,81[/INLINE EQUATION] m/s²). De periode wordt:
[BLOCK EQUATION]T = 2\pi\sqrt{\frac{1,50}{9,81}} = 2\pi\sqrt{0,1529} = 2\pi \times 0,391 = 2,457 \,\mathrm{s}[/BLOCK EQUATION]Voorbeeld 2: Het gewicht van de slinger wordt verdubbeld van [INLINE EQUATION]50[/INLINE EQUATION] gram naar [INLINE EQUATION]100[/INLINE EQUATION] gram. Wat verandert er aan de periode?
[BLOCK EQUATION]T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}[/BLOCK EQUATION]De massa komt niet voor in de formule; de periode blijft dus exact gelijk, zolang de uitwijkingen klein blijven.
Veel gemaakte fouten
Periodeformule gebruiken bij grote uitwijkingen: Studenten vergeten dat harmonisch gedrag en exacte formule alleen bij kleine uitwijkingen geldig zijn; bij grotere hoeken wordt de beweging niet langer perfect harmonisch.
Ten onrechte massa meenemen: Soms wordt gedacht dat een zwaardere massa trager of sneller zou slingeren.
Onjuiste eenheden voor lengte: Invullen met centimeters of andere eenheden zonder om te rekenen naar meters levert foutieve resultaten op.
Vergeten van lokale variatie van [INLINE EQUATION]g[/INLINE EQUATION]: De waarde van [INLINE EQUATION]g[/INLINE EQUATION] verschilt lichtjes op verschillende breedtegraden of hoogtes, wat soms van belang is bij nauwkeurige tijdsmetingen.
Golfsnelheid in een draad
Definitie
Wanneer een mechanische golf (zoals een transversale trilling) zich voortplant door een gespannen draad, bepaalt de verhouding tussen de trekkracht op de draad en de massa per lengte-eenheid de voortplantingssnelheid. Essentieel is hier het onderscheid tussen de opgelegde spankracht [INLINE EQUATION]F_s[/INLINE EQUATION] (in Newton) en de lineaire massadichtheid [INLINE EQUATION]\mu[/INLINE EQUATION] (in kg/m).
Belangrijke concepten
De golfsnelheid wordt voornamelijk bepaald door de verhouding tussen de spankracht en de massa per lengte-eenheid, niet door de totale massa of de dikte alleen.
De massa per lengte-eenheid wordt berekend via: [BLOCK EQUATION]\mu = \frac{m}{l}[/BLOCK EQUATION] Waarbij [INLINE EQUATION]m[/INLINE EQUATION] = massa van het draadsegment [INLINE EQUATION]l[/INLINE EQUATION] = lengte van het draadsegment
De spankracht op de draad is meestal gelijk aan de kracht uitgeoefend door een eraan hangend gewicht: [BLOCK EQUATION]F_g = m \cdot g[/BLOCK EQUATION] Waarbij [INLINE EQUATION]m[/INLINE EQUATION] = massa van het hangende gewicht [INLINE EQUATION]g[/INLINE EQUATION] = zwaartekrachtsversnelling
Formules en berekeningen
Golfsnelheid langs gespannen draad: [BLOCK EQUATION]v = \sqrt{\frac{F_s}{\mu}}[/BLOCK EQUATION] [INLINE EQUATION]v[/INLINE EQUATION] = golfsnelheid (m/s) [INLINE EQUATION]F_s[/INLINE EQUATION] = spankracht op de draad (N) [INLINE EQUATION]\mu[/INLINE EQUATION] = massa per lengte-eenheid (kg/m)
Voor een draad gespannen door een massa: (waar de trekkracht enkel door de zwaartekracht op de massa wordt veroorzaakt) [BLOCK EQUATION]v = \sqrt{\frac{m_{\text{hangend}} \, g}{\mu}}[/BLOCK EQUATION]
Praktijkvoorbeelden
Voorbeeld 1: Een draad van [INLINE EQUATION]3,0[/INLINE EQUATION] meter heeft een totale massa van [INLINE EQUATION]45[/INLINE EQUATION] gram. Aan het uiteinde hangt [INLINE EQUATION]2,0[/INLINE EQUATION] kg. Bereken de golfsnelheid.
Eerst, massa per lengte-eenheid: [BLOCK EQUATION]\mu = \frac{45\,\text{g}}{3{,}0\,\text{m}} = \frac{0{,}045\,\text{kg}}{3{,}0\,\text{m}} = 0{,}015\,\text{kg/m}[/BLOCK EQUATION] Vervolgens, spankracht: [BLOCK EQUATION]F_s = m_{\text{hangend}} \cdot g = 2{,}0\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 = 19{,}62\,\text{N}[/BLOCK EQUATION] Golfsnelheid: [BLOCK EQUATION]v = \sqrt{\frac{19{,}62}{0{,}015}} = \sqrt{1308} = 36{,}2\,\text{m/s}[/BLOCK EQUATION]Voorbeeld 2: Een draad voor een muziekexperiment moet een golfsnelheid van minstens [INLINE EQUATION]100[/INLINE EQUATION] m/s hebben. De massa per lengte-eenheid is [INLINE EQUATION]0,010[/INLINE EQUATION] kg/m. Welke minimale spankracht is nodig?
[BLOCK EQUATION]v = \sqrt{\frac{F_s}{\mu}} \implies F_s = v^2 \cdot \mu = (100)^2 \cdot 0,010 = 100 \,\text{N}[/BLOCK EQUATION]De spankracht moet minimaal [INLINE EQUATION]100[/INLINE EQUATION] N bedragen.
Veel gemaakte fouten
Verwarren van massa draad en massa hangend gewicht: Het niet correct toepassen van [INLINE EQUATION]m[/INLINE EQUATION] voor het berekenen van de massa per lengte-eenheid leidt tot foutieve [INLINE EQUATION]\mu[/INLINE EQUATION].
Gebruiken van onjuiste spankracht: Niet alle spankracht komt altijd enkel van het hangende gewicht - soms draagt een klem of ander mechanisch element bij.
Vergeten van eenhedenconversie: Gram dient altijd omgezet in kilogram. Verkeerd gebruik hiervan leidt tot een factor duizend verschil.
Aannemen van constante spanning bij beweging: Trillingen in de draad verhogen de spankracht tijdelijk; deze fluctuaties worden echter genegeerd bij de gegeven formule die voor statische spanning geldt.
Toelichting op snelheden en versnellingen bij trilling
Definitie
Tijdens een harmonische trilling (zoals bij een massa-veer of slinger onder kleine uitwijkingen) zijn snelheid en versnelling altijd tijdsafhankelijke vectoriële grootheden. De grootheden vertonen een sinusvormig verloop in functie van tijd en uitwijking, met specifieke extremen afhankelijk van de positie ten opzichte van de evenwichtsstand.
Belangrijke concepten
Snelheid bij harmonische trilling
Waarde: Snelheid [INLINE EQUATION]v[/INLINE EQUATION] is exact nul aan de uiterste punten van de beweging (dus bij maximale uitwijkingen in positieve of negatieve richting).
Maximum: De maximale snelheid treedt op bij het passeren van de evenwichtsstand, waar de potentiële energie minimaal (en de kinetische energie maximaal) is.
Richting: De snelheid is altijd gericht langs de baankromme, in de richting waarin het systeem beweegt op elk tijdstip. Het teken van de snelheid verandert telkens het systeem door het evenwicht gaat.
Formule voor maximale snelheid:
[BLOCK EQUATION]v_{\text{max}} = \omega A[/BLOCK EQUATION][INLINE EQUATION]\omega[/INLINE EQUATION] = hoeksnelheid, [INLINE EQUATION]A[/INLINE EQUATION] = amplitude
Tangentiële versnelling
Waarde: De tangentiële versnelling (versnelling langs de richting van uitwijking) is maximaal aan de uiterste punten van de trilling.
Nulstelling: De tangentiële versnelling is nul bij het passeren van de evenwichtsstand, omdat daar de snelheid maximaal is en de uitwijking (en dus de herstellende kracht) nul.
Richting: Altijd tegengesteld gericht aan de snelheid en gelijkgericht met de resulterende kracht, die naar het evenwicht terugvoert.
Formule voor maximale versnelling:
[BLOCK EQUATION]a_{\text{max}} = \omega^2 A[/BLOCK EQUATION]Centripetale versnelling
Waarde: De centripetale versnelling, die optreedt doordat het pad gekromd is (bijvoorbeeld bij een slinger), is nul aan de uiterste punten want daar is de snelheid nul.
Maximum: Centripetale versnelling bereikt een maximum bij het passeren van de evenwichtsstand, omdat deze evenredig is met het kwadraat van de snelheid en omgekeerd evenredig met de straal van de kromming.
Richting: Altijd gericht naar het centrum van de krommingscirkel, dus bij de slinger naar het ophangpunt.
Formule:
[BLOCK EQUATION]a_c = \frac{v^2}{r}[/BLOCK EQUATION]Waarbij [INLINE EQUATION]r[/INLINE EQUATION] de straal is (bijvoorbeeld de slingertouwlengte bij de slinger).
Formules en berekeningen
Voor een massa-veer systeem:
[BLOCK EQUATION]x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)[/BLOCK EQUATION][BLOCK EQUATION]v(t) = -A\omega\sin(\omega t + \varphi)[/BLOCK EQUATION][BLOCK EQUATION]a(t) = -A\omega^2\cos(\omega t + \varphi)[/BLOCK EQUATION]Waarbij [INLINE EQUATION]A[/INLINE EQUATION] de amplitude, [INLINE EQUATION]\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}[/INLINE EQUATION] de hoeksnelheid en [INLINE EQUATION]\varphi[/INLINE EQUATION] de beginfase is.
Praktijkvoorbeelden
Voorbeeld 1: Bij een massa-veersysteem met [INLINE EQUATION]A = 0,10[/INLINE EQUATION] m, [INLINE EQUATION]k = 50,0[/INLINE EQUATION] N/m en [INLINE EQUATION]m = 2,00[/INLINE EQUATION] kg:
[BLOCK EQUATION]\omega = \sqrt{\frac{50,0}{2,00}} = 5,00\,\text{rad/s}[/BLOCK EQUATION][BLOCK EQUATION]v_{\text{max}} = \omega A = 5,00 \times 0,10 = 0,500\,\text{m/s}[/BLOCK EQUATION][BLOCK EQUATION]a_{\text{max}} = \omega^2 A = 25,0 \times 0,10 = 2,50\,\text{m/s}^2[/BLOCK EQUATION]De snelheid is maximaal bij [INLINE EQUATION]x=0[/INLINE EQUATION], de versnelling maximaal bij [INLINE EQUATION]x = \pm0,10[/INLINE EQUATION] m.
Voorbeeld 2: Een slinger met [INLINE EQUATION]l = 0,80[/INLINE EQUATION] m en maximale uitwijking [INLINE EQUATION]A = 0,05[/INLINE EQUATION] m. Hoeksnelheid:
[BLOCK EQUATION]\omega = \sqrt{\frac{9,81}{0,80}} = 3,50\,\text{rad/s}[/BLOCK EQUATION]Maximale snelheid:
[BLOCK EQUATION]v_{\text{max}} = \omega A = 3,50 \times 0,05 = 0,175\,\text{m/s}[/BLOCK EQUATION]Maximale centripetale versnelling aan het evenwichtspunt:
[BLOCK EQUATION]a_c = \frac{v_{\text{max}}^2}{l} = \frac{0,175^2}{0,80} = 0,038\,\text{m/s}^2[/BLOCK EQUATION]Veel gemaakte fouten
Verwarren van maxima: Veel studenten denken dat versnelling en snelheid beiden maximaal zijn bij maximale uitwijking, terwijl de snelheidsmaxima bij evenwicht en versnellingsmaxima bij uitwijking zijn.
Verkeerde richting van krachten: De resulterende kracht is altijd naar het evenwichtsstand gericht; het negeren hiervan leidt tot onjuiste vectoriële interpretaties.
Misbegrip centripetale versnelling: Centripetale versnelling is vaak onzichtbaar, maar bij een gekromde baan essentieel. Het maximum is niet altijd intuïtief; enkel bij maximum snelheid, dus bij evenwichtsdoorgang.
Amplitudewaarden verwaarlozen: Het niet correct invullen van [INLINE EQUATION]A[/INLINE EQUATION] in snelheid- en versnellingsformules leidt tot onjuiste ordergroottes.
Samenvatting
Massa-veersysteem en slinger vertonen beide harmonische trillingen; bij het massa-veersysteem is de periode afhankelijk van [INLINE EQUATION]m[/INLINE EQUATION] en [INLINE EQUATION]k[/INLINE EQUATION], bij de slinger enkel van [INLINE EQUATION]l[/INLINE EQUATION] en [INLINE EQUATION]g[/INLINE EQUATION].
De periode van het massa-veersysteem [INLINE EQUATION]T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}[/INLINE EQUATION] is onafhankelijk van amplitude en tijd; bij ideale slinger [INLINE EQUATION]T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}[/INLINE EQUATION] onafhankelijk van massa en tijd (enkel geldig voor kleine uitwijkingen).
Golfsnelheid in een gespannen draad wordt bepaald door [INLINE EQUATION]v = \sqrt{\frac{F_s}{\mu}}[/INLINE EQUATION] met [INLINE EQUATION]\mu = \frac{m}{l}[/INLINE EQUATION], niet door draadmassa of spankracht alleen.
Tijdens harmonische trilling treden extrema van snelheid en versnelling op op verschillende plaatsen: maximale snelheid bij evenwicht, maximale versnelling aan de uiterste punten. Centripetale versnelling is maximaal bij grootste snelheid (meestal evenwicht).
Veel voorkomende fouten betreffen verwarring van extremen in beweging, het negeren van geldigheidsvoorwaarden van de formules, en onzorgvuldig onderscheid van gemeten grootheden zoals massa per lengte-eenheid.
Oefenvragen
1. Een massa van [INLINE EQUATION]0,40[/INLINE EQUATION] kg is bevestigd aan een veer met een veerconstante van [INLINE EQUATION]100[/INLINE EQUATION] N/m. a) Bereken de frequentie van de trilling. b) Wat gebeurt er met de frequentie als de massa wordt verdubbeld?
Antwoord: a)
[BLOCK EQUATION]T = 2\pi\sqrt{\frac{0,40}{100}} = 2\pi\sqrt{0,004} = 2\pi \times 0,0632 = 0,397\,\text{s}[/BLOCK EQUATION][BLOCK EQUATION]f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0,397} = 2,52\,\text{Hz}[/BLOCK EQUATION]b) Als [INLINE EQUATION]m[/INLINE EQUATION] verdubbelt: [INLINE EQUATION]T[/INLINE EQUATION] stijgt met factor [INLINE EQUATION]\sqrt{2}[/INLINE EQUATION], dus [INLINE EQUATION]f[/INLINE EQUATION] daalt met factor [INLINE EQUATION]1/\sqrt{2} \approx 0,707[/INLINE EQUATION]. Nieuwe frequentie [INLINE EQUATION]2,52 \times 0,707 = 1,78\,\text{Hz}[/INLINE EQUATION].
---2. Een slinger is [INLINE EQUATION]2,25[/INLINE EQUATION] m lang. Bereken de periode bij [INLINE EQUATION]g = 9,81[/INLINE EQUATION] m/s², en leg uit wat er gebeurt als men een kogel van vijfmaal zo grote massa gebruikt.
Antwoord:
[BLOCK EQUATION]T = 2\pi\sqrt{\frac{2,25}{9,81}} = 2\pi\sqrt{0,2294} = 2\pi \times 0,479 = 3,01\,\text{s}[/BLOCK EQUATION]De periode blijft identiek, onafhankelijk van de massa van de kogel.
---3. Een draad met lengte [INLINE EQUATION]2,50[/INLINE EQUATION] m heeft een massa van [INLINE EQUATION]0,020[/INLINE EQUATION] kg en wordt onder een spankracht van [INLINE EQUATION]50,0[/INLINE EQUATION] N gezet. Bereken de golfsnelheid.
Antwoord:
[BLOCK EQUATION]\mu = \frac{0,020}{2,50} = 0,008\,\text{kg/m}[/BLOCK EQUATION][BLOCK EQUATION]v = \sqrt{\frac{50,0}{0,008}} = \sqrt{6250} = 79,1\,\text{m/s}[/BLOCK EQUATION] ---4. Bij een massa-veersysteem met amplitude [INLINE EQUATION]0,07[/INLINE EQUATION] m en hoeksnelheid [INLINE EQUATION]4,0[/INLINE EQUATION] rad/s, bepaal de maximale snelheid en maximale versnelling.
Antwoord:
[BLOCK EQUATION]v_{\text{max}} = \omega A = 4,0 \times 0,07 = 0,28\,\text{m/s}[/BLOCK EQUATION][BLOCK EQUATION]a_{\text{max}} = \omega^2 A = 16 \times 0,07 = 1,12\,\text{m/s}^2[/BLOCK EQUATION] ---