Fysica

Energieomzetting bij een harmonische trilling

Kracht en bewegingsvergelijkingen bij een harmonische trilling

Definitie

Een harmonische trilling ontstaat wanneer een voorwerp onder invloed van een restituerende kracht beweegt die recht evenredig is met, en tegengesteld aan, de uitwijking ten opzichte van een evenwichtspositie. De beweging wordt wiskundig beschreven door de tweede-orde differentiaalvergelijking:

F_y(t) = m \cdot a_y = -m \omega^2 \cdot y(t) = -k \cdot y(t)

Hierin geldt:

$F_y(t)$ : de kracht als functie van de tijd, gericht naar het evenwichtspunt
$m$ : massa van het bewegend object
$a_y$ : versnelling in de y-richting
$\omega$ : hoeksnelheid ( $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ )
$y(t)$ : uitwijking als functie van de tijd
$k$ : veerconstante, karakteristiek voor het specifieke systeem

Deze vergelijking karakteriseert elk klassiek systeem dat zich onder harmonische trillingen gedraagt, bijvoorbeeld een massa-veersysteem in horizontale richting of een slinger met kleine uitwijkingen.

Belangrijke concepten

1. Resonantie Een mechanisch systeem kan in resonantie raken wanneer dit wordt aangedreven door een externe kracht waarvan de frequentie overeenkomt met de eigenfrequentie van het systeem ( $f = f_0$ ). Tijdens resonantie wordt de amplitude van de trilling maximaal, omdat de extern opgelegde kracht iedere trillingsperiode optimaal in fase met de beweging werkt. In formulevorm:

f_\text{resonantie} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}

Deze frequentie wordt bepaald door de massa en de veerconstante van het systeem. Resonantie is een kritisch verschijnsel in trillingstechniek omdat het tot enorme amplitudes en mogelijk tot structurele schade kan leiden.

2. Onafhankelijkheidsbeginsel (Superpositie-principe) Het onafhankelijkheidsbeginsel stelt dat als er meerdere krachten op een trilsysteem werken, de invloed van iedere kracht afzonderlijk kan worden bepaald en aan elkaar kan worden toegevoegd. Dit betekent dat de totale uitwijking het resultaat is van de optelling van de individuele uitwijkingen veroorzaakt door afzonderlijke krachten, mits het systeem lineair blijft:

y_\text{totaal}(t) = y_1(t) + y_2(t) + \ldots + y_n(t)

waarbij elke $y_i(t)$ de uitwijking is ten gevolge van kracht $F_i$ . De krachten verstoren elkaars effect niet zolang het systeem binnen het elastisch lineaire regime opereert.

Formules en berekeningen

De algemene bewegingsvergelijking voor een harmonische trilling luidt:

m \cdot \frac{d^2y}{dt^2} + k y(t) = 0

\frac{d^2y}{dt^2} + \omega^2 y(t) = 0

Met als oplossingsvorm:

y(t) = A \cdot \cos(\omega t + \phi)

waarbij:

$A$ : amplitude van de trilling
$\phi$ : beginsfase, afhankelijk van de initiële condities

De bijbehorende versnelling:

a_y(t) = \frac{d^2y}{dt^2} = -\omega^2 y(t)

Kracht als functie van de tijd:

F_y(t) = -k y(t) = -m\omega^2 y(t)

Praktijkvoorbeelden

Gekoppelde massa-veer Een massa van 0,50 kilogram hangt aan een veer met een veerconstante van 200 newton per meter. De massa wordt aangebracht met een uitwijking van 0,05 meter uit het evenwicht en losgelaten zonder beginsnelheid. Eerste stap: bereken de hoeksnelheid $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{200}{0,5}} = 20\ \text{rad/s}$ Bewegingsvergelijking: $y(t) = 0,05\ \cos(20t)$ Versnelling op elk tijdstip $t$ : $a_y(t) = -20^2 \cdot 0,05\ \cos(20t) = -20\ \cos(20t)\ \text{m/s}^2$ Kracht op elk tijdstip: $F_y(t) = -200 \cdot 0,05\ \cos(20t) = -10\ \cos(20t)\ \text{N}$
Resonantie in brugarchitectuur Stel een hangbrug wordt door de wind periodiek in beweging gebracht met $f_\text{wind} = f_0$ (de eigenfrequentie van de brug). Door het resonantie-effect nemen de uitwijkingen toe ondanks een relatief kleine extern aangelegde kracht. Architecten moeten dergelijke situaties vermijden door de eigenfrequentie van de brug buiten vaartroutes of typische windfrequenties te plaatsen.

Veel gemaakte fouten

Het negeren van het teken bij de krachtformule, waardoor de richting van de kracht niet correct wordt bepaald (de minus wijst op de herstellende kracht).
Verkeerde toepassing van superpositie bij niet-lineaire systemen, bijvoorbeeld bij grote amplitudes waarbij de uitwijking niet meer proportioneel met de kracht is.
Verwarren van opgelegde frequentie en eigenfrequentie bij resonantie, waardoor het effect van resonantie onderschat of overschat wordt.
Onterecht aannemen dat demping geen invloed heeft op het optreden van resonantie (demping verlaagt in realiteit de maximale amplitude bij resonantie).

Energieomzetting bij harmonische trilling

Definitie

De energiebalans bij een harmonische trilling bestaat uit continue omzetting van potentiële veerenergie en kinetische energie. In een ongedempte situatie blijft de som van deze twee energieën op elk tijdstip constant. Bij aanwezigheid van demping wordt gedurende de trilling mechanische energie omgezet in bijvoorbeeld warmte, waardoor de totale energie met de tijd afneemt.

Belangrijke concepten

1. Ongedempte trilling In een ideaal situatie zonder externe storingen (frictie, luchtweerstand), geldt volmaakt energiebehoud. Potentiële energie wordt volledig omgezet in kinetische energie en omgekeerd. De totale energie van het systeem blijft op elk tijdstip exact gelijk.

2. Gedempte trilling Indien er een (lichte) weerstand aanwezig is, neemt de amplitude van de trilling af met de tijd. Dit betekent dat er energie aan het systeem wordt onttrokken, meestal in de vorm van warmte door wrijving. De afname van amplitude volgt bij lichte demping een exponentieel verloop:

A(t) = A_0 e^{-\beta t}

waarbij $\beta$ de dempingsconstante is.

De totale mechanische energie neemt af:

E_\text{tot}(t) = \frac{1}{2}kA(t)^2

Op elk moment is de totale energie kleiner dan bij $t = 0$ .

Formules en berekeningen

Voor een harmonische trilling geldt bij ongedempte beweging:

E_{pot}(t) = \frac{1}{2}k y(t)^2

E_{kin}(t) = \frac{1}{2}m v(t)^2

E_{tot} = E_{pot}(t) + E_{kin}(t) = \frac{1}{2}kA^2 = \text{constant}

Bij gedempte trilling:

E_{tot}(t) = \frac{1}{2}k A_0^2 e^{-2\beta t}

Hieruit blijkt dat het energieverlies direct gerelateerd is aan de afgenomen amplitude.

Praktijkvoorbeelden

Analyse van een massa-veersysteem zonder demping Een massa van 0,60 kilogram trilt aan een veer met $k = 120\ \text{N/m}$ en een initiële amplitude van 0,030 meter. Totale energie: $E_{tot} = \frac{1}{2} \cdot 120 \cdot (0,03)^2 = 0,054\ \text{J}$ Deze energie wordt steeds omgezet van $E_{pot}$ naar $E_{kin}$ en terug, maar blijft constant.
Gedempte trilling door luchtweerstand Stel, in plaats van in vacuüm, trilt het systeem in lucht met een dempingsconstante $\beta = 0,10\ \text{s}^{-1}$ . De amplitude na 5 seconden: $A(5) = 0,03\ e^{-0,10 \times 5} = 0,03\ e^{-0,5} \approx 0,0182\ \text{m}$ De totale energie na vijf seconden: $E_{tot}(5) = \frac{1}{2} \cdot 120 \cdot (0,0182)^2 \approx 0,0199\ \text{J}$ Dit toont duidelijk het energieverlies als gevolg van demping.

Veel gemaakte fouten

Veronderstellen dat de totale energie bij een gedempte trilling gelijk blijft aan de begintijd, hetgeen alleen geldt bij een ongedempte beweging.
Vergeten het kwadraat van de amplitude toe te passen bij de berekening van totale energie, zeker na enkele perioden bij demping.
Onderschatten van demping: foutief aannemen dat een kleine demping bij langdurige trilling geen significant effect heeft op het energieverlies.
Foutieve interpretatie van potentiële energie als hoogte-energie (zwaarte-energie), terwijl het hier gaat om veerenergie ( $\frac{1}{2}ky^2$ ).

Formules voor kinetische, potentiële en totale energie

Definitie

De energiefasen in een harmonische trilling zijn scherp te onderscheiden en worden wiskundig gekarakteriseerd met precieze formules voor zowel potentiële als kinetische energie. De som levert de totale energie op, die afhankelijk van het bestaan en het soort demping, constant of dalend is.

Belangrijke concepten

1. Kinetische energie ([INLINE_EQUATION]E_{kin}[/INLINE_EQUATION]) Op elk tijdstip:

E_{kin}(t) = \frac{1}{2} m v^2(t)

waarbij $v(t)$ de snelheid is:

v(t) = \frac{dy}{dt} = -A\omega \sin(\omega t + \phi)

Op maximale uitwijking is de kinetische energie nul.

2. Potentiële energie ([INLINE_EQUATION]E_{pot}[/INLINE_EQUATION]) Gegeven door:

E_{pot}(t) = \frac{1}{2}k y^2(t)

Maximum bij maximale uitwijking, nul in het evenwicht (middenstand).

3. Totale energie ([INLINE_EQUATION]E_{tot}[/INLINE_EQUATION]) In een ongedempte harmonische oscillator:

E_{tot} = E_{kin}(t) + E_{pot}(t) = \frac{1}{2} k A^2

Deze waarde blijft constant zolang er geen energiedissipatie in het systeem optreedt. Bij demping daalt deze waarde exponentieel met tijd.

4. Energieverdeling tijdens de trilling

Test je kennis met deze examenoefeningen

Les 76 van 84