Superpositie van trillingen en golven

Blok 1: Definitie en wiskundige beschrijving van superpositie

Definitie

Wanneer meerdere golven met eenzelfde frequentie gelijktijdig door één medium bewegen, treedt superpositie op. Elke golf heeft zijn eigen bijdrage aan de uitwijking op elk punt in het medium voor elk tijdstip. De resulterende trilling of golf op een bepaald punt en op een bepaald moment wordt gegeven door de algebraïsche som van de uitwijkingen van de afzonderlijke golven die op dat punt aanwezig zijn.

Belangrijke concepten

• De superpositiebeginsel beschrijft lineaire systemen, waarin het gedrag van het systeem bij gelijktijdig voorkomende invloeden volledig kan worden voorspeld door het optellen van de afzonderlijke effecten. Dit geldt voor alle soorten golven (mechanisch, elektromagnetisch) zolang het medium lineair reageert. Alleen onder deze voorwaarde leidt samenvoeging tot een eenvoudige som van uitwijkingen.

• Superpositie is niet beperkt tot zuivere harmonische trillingen, maar de les focust op situaties waarin involved golven een gelijke frequentie hebben, wat relevant is voor typische interferentiesituaties op eindexamenniveau. Het resultaat is afhankelijk van de fasen van de individuele golven.

Formules en berekeningen

De algemene wiskundige formulering van het superpositiebeginsel voor $n$ overlappende golven is:

$$y(x,t) = \sum_{i=1}^{n} y_i(x,t)$$

waarbij:

• $y(x,t)$: de totale uitwijking op plek $x$ en tijdstip $t$,

• $y_i(x,t)$: uitwijking van de $i$-de individuele golf,

• $n$: het aantal overlappende golven.

Voor twee golven, bijvoorbeeld $y_1(x,t) = A \sin(\omega t + \varphi_1)$ en $y_2(x,t) = A \sin(\omega t + \varphi_2)$, kan de somverlening leiden tot resultaantexplicitie:

$$y(x,t) = 2A \cos\left(\frac{\varphi_1-\varphi_2}{2}\right)\sin\left(\omega t+\frac{\varphi_1+\varphi_2}{2}\right)$$

Hieruit blijkt direct dat het faseverschil ($\Delta \varphi = \varphi_1 - \varphi_2$) bepalend is voor de amplitude van de resultante.

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Twee identieke golven bewegen tegen elkaar in met gelijke amplitude van $3,0$ cm. Op een bepaald punt geldt voor beide golven $y_1 = 3,0 \sin(\omega t)$, $y_2 = 3,0 \sin(\omega t + \pi)$. Door superpositie:

$$y_{tot} = y_1 + y_2 = 3,0 \sin(\omega t) + 3,0 \sin(\omega t + \pi)$$

Aangezien $\sin(\omega t + \pi) = -\sin(\omega t)$, volgt:

$$y_{tot} = 3,0 \sin(\omega t) - 3,0 \sin(\omega t) = 0$$

Dit resulteert in volledige uitdoving (totaal destructieve interferentie).

Voorbeeld 2: Twee gelijke, in fase zijnde, golven met amplitude $2,5$ cm overlappen:

$$y_1 = 2,5 \sin(\omega t), \quad y_2 = 2,5 \sin(\omega t)$$

De resultante:

$$y_{tot} = 2,5 \sin(\omega t) + 2,5 \sin(\omega t) = 5,0 \sin(\omega t)$$

Hier is de amplitude van de resultantegolf verdubbeld (constructieve interferentie als speciaal geval van superpositie).

Veel gemaakte fouten

• Studenten verwarre het optellen van amplitudes met het optellen van energieën, wat niet lineair verloopt (energie is kwadratisch afhankelijk van amplitude).

• Het negeren van het belang van het faseverschil, waardoor men onterecht veronderstelt dat de resultaten steeds maximum versterken of uitdoven.

• Het overslaan van de voorwaarde van lineariteit: bij niet-lineaire media geldt deze superpositiewet niet.

• Het verkeerd toepassen van de somformule bij complexe argumenten (zoals $\sin(\alpha) + \sin(\beta)$), zonder de juiste formules of faseanalyse.

Blok 2: Interferentie van golven – in fase en tegenfase (constructieve en destructieve interferentie)

Definitie

Interferentie is het fenomeen waarbij twee of meer overlappende golven, door superpositie, een nieuwe golf veroorzaken waarvan de amplitude afhankelijk is van het onderlinge faseverschil ($\Delta \varphi$) tussen de samenkomende golven.

Bij constructieve interferentie is het faseverschil tussen de golven exact $0^\circ$ (of een veelvoud van $360^\circ$), waardoor hun piekwaarden en dalen precies samenvallen. Dit leidt tot een versterking: de amplitude van de resultante golf is maximaal, in het ideale geval gelijk aan de som van de amplitudes van de individuele golven.

Bij destructieve interferentie is het faseverschil exact $180^\circ$, of een oneven veelvoud van $180^\circ$, waardoor de pieken van de ene golf de dalen van de andere opheffen. In het ideale geval resulteert dit in een amplitude van nul (volledige uitdoving).

Belangrijke concepten

• Faseverschil ([INLINE_EQUATION]\Delta \varphi[/INLINE_EQUATION]): Maatstaf voor de relatieve verschuiving tussen de trillingen van verschillende golven op eenzelfde punt. Dit bepaalt of de golven elkaar versterken of uitdoven.

• In fase ([INLINE_EQUATION]\Delta \varphi = 0^\circ[/INLINE_EQUATION]): De golven zijn maximaal gelijkgericht; alle toppen en dalen vallen samen.

• In tegenfase ([INLINE_EQUATION]\Delta \varphi = 180^\circ[/INLINE_EQUATION]): De golven zijn elkaars spiegelbeeld; elke top van de ene samen met dal van de andere.

• Constructieve interferentie: Treedt op wanneer het faseverschil $\Delta \varphi = 0^\circ, 360^\circ, \ldots$ is.

• Destructieve interferentie: Treedt op bij $\Delta \varphi = 180^\circ, 540^\circ, \ldots$.

Formules en berekeningen

Voor twee gelijke harmonische golven met amplitude $A$:

• In fase (constructief): $$y_{tot} = A \sin(\omega t) + A \sin(\omega t) = 2A \sin(\omega t)$$ Maximale amplitude is $2A$.

• In tegenfase (destructief): $$y_{tot} = A \sin(\omega t) + A \sin(\omega t + \pi) = A \sin(\omega t) - A \sin(\omega t) = 0$$ Amplitude is nul.

De resultante-amplitude $A_r$ bij twee gelijke golven met faseverschil $\Delta \varphi$ is:

$$A_r = 2A \left| \cos\left( \frac{\Delta \varphi}{2} \right) \right|$$

Dit toont dat de amplitude varieert tussen 0 (destructief) en $2A$ (constructief) afhankelijk van het faseverschil.

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Constructieve interferentie (in fase) Twee geluidsgolven met amplitude $1,0\, \text{Pa}$ en frequentie $440\, \text{Hz}$ ontmoeten elkaar in een ruimte. Beide golven zijn exact in fase ($\Delta \varphi = 0^\circ$). De resultante amplitude is:

$$A_r = 2 \cdot 1,0 = 2,0\, \text{Pa}$$

De intensiteit van het geluid op dit punt is daardoor viervoudig ten opzichte van een enkele golf, omdat geluidintensiteit evenredig is met het kwadraat van de amplitude.

Voorbeeld 2: Destructieve interferentie (in tegenfase) Twee laserbundels afkomstig van één bron passeren via verschillende paden een dubbele spleet, waarbij het ene pad een halve golflengte langer is ($\Delta s = \frac{\lambda}{2}$), zodat $\Delta \varphi = 180^\circ$. Op het scherm ontstaat een donker minimum doordat de lichtgolven elkaar exact uitdoven. De resultante amplitude is:

$$A_r = 2A \left| \cos \left(90^\circ\right) \right| = 0$$

Er wordt nergens licht gedetecteerd op dat specifieke punt.

Veel gemaakte fouten

• Het verwarren van faseverschil in graden met faseverschil in tijd of afstand; studenten vergeten vaak om het onderscheid goed te maken tussen deze grootheden.

• Over het hoofd zien dat alleen identieke frequenties en gelijke amplitudes tot volledige uitdoving of verdubbeling kunnen leiden; ongelijke amplitudes leiden tot partiële versterking of uitdoving.

• Het foutief verwachten van constructieve of destructieve interferentie bij niet-exacte veelvouden van $0^\circ$ of $180^\circ$; bij andere faseverschillen ontstaat een tussenliggende amplitude.

• Het niet correct interpreteteren van negatieve amplitudes als fysisch relevante signalen; studenten denken soms dat "negatief" per definitie vernietigd is.

Blok 3: Visuele illustratie van interferentie

Definitie

Een visuele illustratie van interferentie toont hoe twee golven, afhankelijk van hun faseverschil, samen een resultante golf vormen met een andere amplitude dan de afzonderlijke golven.

Belangrijke concepten

• De grafische voorstelling verduidelijkt wat constructieve (in fase) en destructieve (in tegenfase) interferentie inhoudt.

• Het verschil tussen de individuele golven en de resulterende golf komt tot uiting in het samenvallen van piek/dal of het opheffen ervan.

• Begrippen zoals 'resultante golf', 'amplitude', 'constructieve interferentie' en 'destructieve interferentie' zijn via grafieken concreet te relateren aan de wiskundige behandeling.

Formules en berekeningen

• Hoewel dit blok focust op visuele interpretatie, ondersteunen formules het interpretatiekader, bijvoorbeeld:

• Constructieve interferentie: som van de amplitudes (doublure van piek/dal).

• Destructieve interferentie: amplituden heffen elkaar volledig op (nulresultaat).

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Constructieve interferentie – grafische beschrijving Stel je een figuur voor met:

• Op de bovenste grafiek: Twee overlappende transversale golven, beide met amplitude $A$. Hun toppen en dalen vallen samen (in fase).

• Op de onderste grafiek: De resultante golf, die overal amplitude $2A$ heeft.

De grafiek laat duidelijk zien dat de amplitude van de resultante golf het dubbele is van die van de individuele golven. Punten waar beide toppen samenvallen, geven de hoogste amplitude.

Voorbeeld 2: Destructieve interferentie – grafische beschrijving In een tweede figuur:

• Twee golven worden getoond, waarbij de top van de ene golf samenvalt met het dal van de andere (in tegenfase, $\Delta \varphi = 180^\circ$).

• De resultante golf (onderaan) is overal vlak met uitwijking nul: op elk punt heffen de uitwijkingen elkaar op.

Deze weergave benadrukt de volledige uitdoving van de uitwijking, ongeacht het tijdstip of de positie.

Veel gemaakte fouten

• Verwarring over wat nu eigenlijk groeit of verdwijnt in de grafieken: studenten interpreteren soms de amplitude als verplaatsing in plaats van maximale uitwijking, waardoor de visuele impact verkeerd gelezen wordt.

• Onoordeelkundig lezen van de samengestelde grafiek zonder te letten op fase-relaties, waardoor de bron van amplitudeverandering niet herkend wordt.

• Het vergeten dat bij niet-gelijke amplitudes de resultante golf niet vlak hoeft te zijn, zelfs niet bij destructieve interferentie (volledige uitdoving alleen als amplitudes exact gelijk zijn).

Samenvatting

• Superpositie stelt dat bij overlappende golven (metzelfde frequentie) de resulterende uitwijking op elk punt en moment wordt gegeven door de som van de uitwijkingen van de individuele golven.

• De superpositieformule $y(x,t) = \sum_{i=1}^n y_i(x,t)$ geldt in lineaire media; voor harmonische golven hangt de resultante amplitude sterk af van het onderlinge faseverschil.

• Interferentie onderscheidt twee extremen:

  • Constructieve interferentie treedt op bij een faseverschil van $0^\circ$; amplitudes versterken elkaar maximaal ($A_{res} = 2A$ bij gelijke amplitudes).

  • Destructieve interferentie treedt op bij een faseverschil van $180^\circ$; amplitudes heffen elkaar volledig op tot nul (bij gelijke amplitudes).

• Grafische representaties verduidelijken dat de mate van versterking of uitdoving rechtstreeks zichtbaar is als respectievelijk versterkte pieken/dalen of volledig vlakke resultanten.

• De uitwerking van interferentie is afhankelijk van zowel de amplitude als het onderlinge faseverschil van de golven.

Oefenvragen

Vraag 1: Twee transversale golven van amplitude $2,0\, \text{cm}$ en frequentie $50\, \text{Hz}$ overlappen elkaar in tegenfase. Wat is de amplitude van de resultante golf? Antwoord: Bij tegenfase ($\Delta \varphi = 180^\circ$):

$$A_r = 2 \cdot 2,0 \cdot \left| \cos(90^\circ) \right| = 0\, \text{cm}$$

De amplitude is nul; volledige destructieve interferentie.

---

Vraag 2: Twee harmonische golven met amplitude $4,0\, \text{mm}$ en een onderling faseverschil van $60^\circ$ overlappen. Bereken de amplitude van de resultante golf. Antwoord:

$$A_r = 2 \cdot 4,0\, \text{mm} \cdot \left| \cos\left( \frac{60^\circ}{2} \right) \right| = 8,0\, \text{mm} \cdot \left| \cos(30^\circ) \right| = 8,0\, \text{mm} \cdot 0,866 = 6,93\, \text{mm}$$ ---

Vraag 3: Leg uit waarom energie bij constructieve interferentie niet eenvoudigweg verdubbelt, maar viervoudig wordt vergeleken met één enkele golf. Antwoord: De energie van een golf is evenredig met het kwadraat van de amplitude. Bij constructieve interferentie verdubbelt de amplitude ($2A$ in plaats van $A$), de energie wordt dan $(2A)^2 = 4A^2$ in plaats van $A^2$. Dus viermaal zoveel als de energie bij een enkele golf, niet slechts dubbel.

---

Vraag 4: Bij een interferentie-experiment worden twee coherente bronnen met verschillende amplitudes $A_1 = 2,0\, \text{cm}$ en $A_2 = 1,0\, \text{cm}$ gecombineerd met $\Delta \varphi = 180^\circ$. Wat is de minimale amplitude van de resultante golf? Antwoord: De minimale amplitude is gelijk aan het verschil van de individuele amplitudes, bij destructieve interferentie:

$$A_{min} = |A_1 - A_2| = |2,0 - 1,0| = 1,0\, \text{cm}$$

Volledige uitdoving treedt enkel op bij gelijke amplitudes.

---