Bewegingsvergelijking van een lopende golf

Algemeen – Bewegingsvergelijking van een lopende golf

Definitie

De bewegingsvergelijking van een lopende golf beschrijft op elk tijdstip t en elke positie x de uitwijking y(x, t) van een deeltje dat deel uitmaakt van het voortplantingsmedium van de golf. Een typische harmonische golf kan wiskundig worden beschreven door:

waarbij het teken voor het $kx$-lid bepaalt in welke richting de golf zich beweegt:

• Het minteken (−) bij $kx$ correspondeert met een golf die zich in positieve x-richting voortplant (rechtslopend).

• Het plusteken (+) bij $kx$ correspondeert met een golf die zich in negatieve x-richting voortplant (linkslopend).

Belangrijke concepten

Bij het opstellen en interpreteren van de bewegingsvergelijking voor een harmonische golf zijn onderstaande symbolen en parameters van cruciaal belang:

• A: Amplitude, de maximale uitwijking van de golf ten opzichte van het evenwichtspunt. Deze parameter bepaalt de maximale energieoverdracht per golfdeeltje.

• y(x, t): De momentane uitwijking op positie $x$ en tijdstip $t$.

• ω (omega): Hoeksnelheid, een maat voor de oscillatiefrequentie uitgedrukt in radialen per seconde.

• k: Golfgetal, geeft het aantal golflengtes per radiaalpositie aan.

• t: Tijdvariabele.

• x: Positie langs de voortplantingsrichting van de golf.

Het juiste keuze van het teken in $\omega t \pm kx$ is essentieel voor het vaststellen van de voortplantingsrichting van de golf, vooral bij interferentie, faseverschuivingen of wanneer fasen gelijkgesteld moeten worden tussen verschillende golfcomponenten.

Formules en berekeningen

De algemene harmonische bewegingsvergelijking voor een voortplantende golf:

Voor een rechtslopende golf (voortplanting in de positieve x-as):

Voor een linkslopende golf (voortplanting in de negatieve x-as):

Deze bewegingsvergelijkingen zijn het uitgangspunt voor het analyseren van golfgedrag bij complexe superpositieproblemen, het bepalen van interferentiepatronen of het analyseren van energieverdeling in golven.

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Interferentie van twee tegenovergestelde harmonische golven

Beschouw twee gelijke harmonische golven met amplitude $A$, frequentie $f$, en golflengte $\lambda$, één in positieve en één in negatieve x-richting:

• Rechtslopend: $y_1(x, t) = A \cdot \sin(\omega t - kx)$

• Linkslopend: $y_2(x, t) = A \cdot \sin(\omega t + kx)$

De superpositie levert:

Een staande golf ontstaat als gevolg van interferentie tussen twee tegenovergestelde lopende golven, te herkennen aan de gescheiden tijds- en plaatsafhankelijke factoren.

Voorbeeld 2: Faseanalyse bij verschillende posities

Gegeven een golfvergelijking $y(x, t) = 5 \sin(80\pi t - 2\pi x)$, in SI-eenheden. Om de fase op locatie $x = 0,25$ m te evalueren op tijdstip $t = 0,01$ s:

De uitwijking ter plaatse is dus $y(0,25, 0,01) = 5 \sin(0,3\pi)$ cm.

Veel gemaakte fouten

• Verkeerd interpreteren van het voortplantingsteken ($-$ versus $+$ bij $kx$), wat leidt tot een onjuiste beschrijving van de voortplantingsrichting van de golf en fouten in interferentieanalyse.

• Verwar de uitwijkingsfunctie $y(x, t)$ niet met de amplitude $A$: de amplitude is de maximale waarde, $y(x, t)$ is positie- en tijdsafhankelijk.

• Onjuiste substitutie van variabelen (zoals t of x) bij evalueren van de momentane uitwijking, zeker bij complexe fasehoeken.

• Het vergeten om faserelaties te controleren bij superpositie, bijvoorbeeld als er extra faseverschillen moeten worden meegenomen.

Parameters van de golf – Uitleg over ω en k

Definitie

De parameters hoeksnelheid ($\omega$) en golfgetal ($k$) bepalen respectievelijk het temporele en het ruimtelijke gedrag van een harmonische golf.

• Hoeksnelheid (ω): $$\omega = \frac{2\pi}{T}$$ Hier stelt $T$ de periode voor. De hoeksnelheid geeft aan hoeveel radialen de golf per seconde doorloopt; ze is direct gerelateerd aan de frequentie ($f$) via $\omega = 2\pi f$.

• Golfgetal (k): $$k = \frac{2\pi}{\lambda}$$ Hierin is $\lambda$ de golflengte. Het golfgetal beschrijft de ruimtelijke periodiciteit van de golf en wordt in radialen per meter uitgedrukt. Een hogere k-waarde betekent een kortere golf, ofwel meer cycli per afstandseenheid.

Belangrijke concepten

Zowel $\omega$ als $k$ zijn fundamenteel voor het in kaart brengen van de verhouding tussen tijd, ruimte en fase van een voortplantende golf:

• Relatie met golfsnelheid: $v = \frac{\omega}{k}$

• $\omega$ en $k$ zijn onmisbaar bij het omzetten van een golfverschijnsel van tijdsdomein naar ruimtedomein, bijvoorbeeld bij Dopplerverschuivingen.

Formules en berekeningen

• Hoeksnelheid: $$\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}$$

• Golfgetal: $$k = 2\pi \frac{1}{\lambda}$$

• Uitgeschreven bewegingsvergelijking met parameters: $$y(x, t) = A \cdot \sin(2\pi f t \pm 2\pi \frac{x}{\lambda})$$

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Bereken k en ω voor een golf

• Gegeven: frequentie $f = 500$ Hz, golflengte $\lambda = 0,68$ m

• Hoeksnelheid: $\omega = 2\pi \cdot 500 = 1000\pi$ rad/s

• Golfgetal: $k = 2\pi / 0,68 \approx 9,24$ rad/m

Voorbeeld 2: Toepassing in een onbekende golfvergelijking

Een golfvergelijking is gegeven als $y(x, t) = 0,03 \sin(600t - 15x)$, alle grootheden in SI. Identificeer $\omega$ en $k$:

• $\omega = 600$ rad/s ⇒ $f = 600 / 2\pi \approx 95,5$ Hz

• $k = 15$ rad/m ⇒ $\lambda = 2\pi / 15 \approx 0,419$ m

Veel gemaakte fouten

• Inverse relaties verwisselen: per ongeluk $k = \lambda / 2\pi$ opschrijven i.p.v. $k = 2\pi / \lambda$, wat leidt tot volledig foutieve golfgetallen.

• Verkeerd onderscheiden tussen ω en k: verkeerd plaatsen van de parameters in de bewegingsvergelijking, zoals het omwisselen van tijd- en plaatscomponenten.

• Vergeten correct om te rekenen naar rad/s en rad/m wanneer de frequentie in hertz of de golflengte in meter gegeven wordt.

• Verkeerd rekenen met π, zoals het wegvallen of overslaan van de factor 2π.

Samenvatting

De bewegingsvergelijking van een lopende golf, $y(x, t) = A \cdot \sin(\omega t \pm kx)$, omvat alle noodzakelijke informatie over de tijds- en plaatsafhankelijke uitwijking van een golf die zich door een medium beweegt. Het teken bepaalt de voortplantingsrichting van de golf, essentieel bij analyse van superpositie en interferentie. De parameters hoeksnelheid ($\omega$) en golfgetal ($k$) beschrijven respectievelijk de frequentie en de ruimtelijke periodiciteit van de golf en zijn verbonden aan de periode ($T$) en golflengte ($\lambda$) door $\omega = 2\pi / T$ en $k = 2\pi / \lambda$. Correct gebruik en interpretatie van deze bewegingsvergelijking en parameters zijn fundamenteel bij geavanceerde golfproblemen zoals faseanalyse, staande golven en golfinteracties.

Oefenvragen

1. Een rechterlopende golf wordt beschreven door [INLINE_EQUATION]y(x, t) = 0,06 \sin(120 \pi t - 4 \pi x)[/INLINE_EQUATION]. - a) Bepaal de frequentie en golflengte van de golf. - b) Wat is de voortplantingssnelheid? Antwoorden: - a) $\omega = 120\pi \to f = 60$ Hz, $k = 4\pi \to \lambda = 0,5$ m - b) $v = f \cdot \lambda = 30$ m/s

2. Twee harmonische golven met amplitude 2 cm, frequentie 30 Hz, golflengte 20 cm bewegen in elkaars tegengestelde richting. Geef de bewegingsvergelijking van de superpositie en beschrijf het resulterende patroon. Antwoord: - Bewegingsvergelijking: $y(x, t) = 4 \sin(60\pi t) \cos(10\pi x)$ cm. Dit beschrijft een staande golf met knopen op $x = n \cdot 0,1$ m en buiken halverwege die knopen.

3. Voor een golf met [INLINE_EQUATION]f = 250[/INLINE_EQUATION] Hz en [INLINE_EQUATION]v = 340[/INLINE_EQUATION] m/s: bereken ω en k. Antwoord: - $\omega = 2\pi \cdot 250 = 500\pi$ rad/s, - $\lambda = 340 / 250 = 1,36$ m, - $k = 2\pi / 1,36 \approx 4,62$ rad/m

4. Leg uit waarom bij een rechterlopende golf het teken voor [INLINE_EQUATION]kx[/INLINE_EQUATION] negatief moet zijn in de standaardvergelijking. Antwoord: - Omdat de fase gelijk blijft wanneer $x$ met dezelfde snelheid als de golf toeneemt; anders zou de golfvorm "achteruit" bewegen. Het negatieve teken zorgt dat bij toenemende tijd $t$ en positie $x$, de fase constant blijft langs een punt dat meebeweegt met de golf in positieve x-richting.

5. Een golf met amplitude 3 mm en [INLINE_EQUATION]y(x, t) = 3 \sin(400t + 20x)[/INLINE_EQUATION] voortplant zich in negatieve x-richting. Bepaal de frequentie en golflengte. Antwoord: - $\omega = 400 \to f = 63,7$ Hz ($f = 400/2\pi$), - $k = 20 \to \lambda = 0,314$ m ($\lambda = 2\pi/20$)