Staande Golven: Knopen, Buiken, Eigenfrequentie

Inleiding staande golven, knopen en buiken

Definitie

Een staande golf is een golfverschijnsel dat ontstaat door de superpositie van twee golven met gelijke frequentie, gelijke amplitude maar tegengestelde voortplantingsrichtingen. In een medium, zoals een touw of luchtkolom, kan dit worden gerealiseerd door een golf naar een vast uiteinde te sturen waar ze volledig wordt gereflecteerd. De gereflecteerde golf interfereert met de oorspronkelijke golf, zodat op bepaalde punten in het medium altijd destructieve interferentie optreedt (knopen) en op andere punten altijd constructieve interferentie (buiken).

Knopen zijn posities waar de amplitude altijd minimaal is (ideaal nul), wat betekent dat er lokaal op die posities geen verplaatsing optreedt. Buiken zijn punten waar de amplitude maximaal is; het medium beweegt daar tussen zijn uiterste positieve en negatieve waarde als de trilling maximale amplitude bereikt. Deze stationaire punten (knopen) en bewegende punten (buiken) zijn karakteristiek voor het patroon van een staande golf.

Een volledig staande golfpatroon komt enkel tot stand onder strikte voorwaarden betreffende frequentie, mediumlengte en grensvoorwaarden (open/gesloten uiteinde).

Belangrijke concepten

• Superpositieprincipe: De optelling van een heenlopende en een teruglopende golf zorgt door constructieve en destructieve interferentie voor het staande golfbeeld.

• Stationaire punten (knopen): Op knoopposities is de uitwijking te allen tijde nul, wat aangeeft dat de energie op deze punten volledig potentieel is.

• Buiken: De punten waar de trilling maximaal is, zorgen telkens voor het grootste energieoverdracht tussen potentieel en kinetisch binnen het medium.

• Vast of bewegend uiteinde: De positie van knopen en buiken is bepaald door de grensvoorwaarden van het medium. Een vast uiteinde vereist altijd een knoop, terwijl een open uiteinde een buik vereist. Dit bepaalt het patroon en daarmee de mogelijke resonantiefrequenties (eigenfrequenties).

Formules en berekeningen

Voor de positie van knopen en buiken op een touw of in een buis:

• De afstand tussen twee opeenvolgende knopen (of buiken) is steeds gelijk aan een halve golflengte ($\frac{\lambda}{2}$).

• Als $l$ de totale lengte van het medium is, geldt: $$l = n \cdot \frac{\lambda}{2}$$ waarbij $n$ het aantal halve golflengtes, en dus het aantal buiken is.

- De staande golf ontstaat als: $$y(x, t) = 2A \sin(kx) \cos(\omega t)$$ waarbij $A$ de amplitude, $k$ het golfgetal ($k = \frac{2\pi}{\lambda}$) en $\omega$ de hoeksnelheid ($\omega = 2\pi f$) is.

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Staande golf op een touw met twee vaste uiteindes

Een touw van lengte $l = 1,2\, \mathrm{m}$ is aan beide kanten vastgemaakt. Een trilling veroorzaakt een heenlopende golf die reflecteert aan het andere uiteinde. Door constructieve en destructieve interferentie vormt zich bij een bepaalde frequentie een staande golf. Op de uiteindes bevinden zich altijd knopen. Stel dat er zich drie buiken vormen. De afstand tussen twee buiken is dan $0,6\, \mathrm{m}$, dus de golflengte $\lambda = 0,6\, \mathrm{m}$, bij een golfsnelheid van $240\, \mathrm{m/s}$: $$f = \frac{v}{\lambda} = \frac{240\,\mathrm{m/s}}{0,6\, \mathrm{m}} = 400\, \mathrm{Hz}$$

Voorbeeld 2: Staande golf in een luchtkolom met één open en één dicht uiteinde

Stel een buis van $l = 0,85\, \mathrm{m}$ met onderaan een knoop (gesloten) en bovenaan een buik (open). Voor de grondtoon is de lengte van de buis gelijk aan een kwart golflengte: $l = \frac{\lambda}{4}$, dus $\lambda = 4 \times 0,85 = 3,4\, \mathrm{m}$. Met $v = 340\, \mathrm{m/s}$ is de frequentie: $$f = \frac{340\, \mathrm{m/s}}{3,4\, \mathrm{m}} = 100\, \mathrm{Hz}$$

Veel gemaakte fouten

• De verwarring tussen een buik en een knoop, zeker bij interpretatie van grafieken of patronen.

• Foutief aannemen dat de buiken altijd exact in het midden liggen van het medium; de precieze positie hangt af van de gekozen toon (grondtoon of boventonen).

• Aannemen dat een open uiteinde altijd een knoop zou zijn (terwijl het een buik is), of dat aan een vast uiteinde per definitie een buik ontstaat.

---

Formules voor eigenfrequentie bij verschillende uiteindes

Definitie

De eigenfrequenties zijn de resonantiefrequenties die een staande golfpatroon veroorzaken binnen een middel, zoals een snaar of een luchtkolom. De waarde is afhankelijk van de golfsnelheid $v$, de karakteristieke lengte $l$ of $A$ van het medium, het type uiteindes, en de toon $n$.

Belangrijke concepten

• Resonantie: Enkel bij specifieke frequenties (de eigenfrequenties) passen de golven exact in het medium zodat het golfpatroon zich in stand houdt.

• Toon en hoeveelheid buiken: Elke toon komt overeen met het aantal halve golflengtes dat in het medium past, en zo met het aantal buiken.

• Grenzencondities: De combinatie van open en/of gesloten uiteindes bepaalt altijd of zich een knoop of een buik aan een bepaald uiteinde bevindt en dus welke frequenties mogelijk zijn.

Formules en berekeningen

Beide uiteindes open of beide uiteindes gesloten

Voor een systeem waarbij aan beide uiteindes dezelfde grensvoorwaarde geldt (knoop-knoop of buik-buik), geldt: $$f = \frac{n \cdot v}{2l}$$ waarbij

• $f$: Frequentie van de staande golf

• $n$: Toonnummer, een geheel getal ($n = 1, 2, 3, ...$), gelijk aan het aantal buiken

• $v$: Golfsnelheid in het medium

• $l$: Lengte van het touw of buis

De gekoppelde golflengte volgt uit $\lambda = \frac{2l}{n}$.

Eén uiteinde open, één gesloten

Voor een medium met één open uiteinde (buik) en één vast uiteinde (knoop), zoals een orgelpijp met aan één zijde een membraan: $$f = (2n - 1) \cdot \frac{v}{A}$$ waarbij

• $n$: Toonnummer, met alleen oneven boventonen toegestaan ($n = 1, 2, 3, ...$)

• $v$: Golfsnelheid

• $A$: Lengte van buis (of karakteristieke afstand tussen knoop en buik based on geometrie)

De overeenkomstige golflengte: $$\lambda = \frac{4A}{2n - 1}$$ Deze formule erkent dat enkel oneven grondtonen (en hun veelvouden) voorkomen bij buizen met gemengde grensvoorwaarden.

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Open-Open snaar

Een gitaarsnaar van $l = 0,65 \, \mathrm{m}$, golfsnelheid $v = 420 \, \mathrm{m/s}$, toon $n = 5$ (vijfde boventoon): $$f = \frac{n \cdot v}{2l} = \frac{5 \times 420}{2 \times 0,65} = \frac{2100}{1,3} \approx 1615 \, \mathrm{Hz}$$

Voorbeeld 2: Open-Gesloten luchtkolom

Een buis met lengte $A = 1,10\, \mathrm{m}$, golfsnelheid $v = 330\, \mathrm{m/s}$, derde boventoon ($n = 3$): $$f = (2n - 1) \cdot \frac{v}{A} = (2 \times 3 - 1) \cdot \frac{330}{1,10} = 5 \cdot 300 = 1500\, \mathrm{Hz}$$

Veel gemaakte fouten

• Het foutief gelijkstellen van de formules voor verschillende grensvoorwaarden, waardoor verkeerde frequenties worden berekend.

• Vergeten dat bij open-gesloten systemen enkel oneven boventonen voorkomen (grondtoon, derde toon, vijfde toon, ...).

• De verkeerde interpretatie van symbolen, zoals het nemen van een foutief getal voor $n$ of verwisselen van $l$ en $A$.

• Aannemen dat alle boventonen voorkomen bij open-gesloten buizen, terwijl het alleen de oneven zijn.

---

Analyse van grafische voorstellingen van grootheden bij golven

Definitie

Bij een staande golf beschrijven verschillende fysische grootheden zoals uitwijking ($x$), snelheid ($v$), versnelling ($a$), potentiële energie ($E_\text{pot}$), en kinetische energie ($E_\text{kin}$) elk hun eigen karakteristieke golfpatroon. Grafisch kan men, gebruik makend van transformaties, het verloop van elke grootheid afleiden uit de uitwijkingsgrafiek.

Belangrijke concepten

Faseverschuivingen en relaties

• Uitwijking ([INLINE_EQUATION]x[/INLINE_EQUATION]): De standaard, sinusoïdale golf zoals die gevormd wordt in het medium.

• Snelheid ([INLINE_EQUATION]v[/INLINE_EQUATION]): Loopt een kwart periode voor op de uitwijking (faseverschuiving van $\frac{\pi}{2}$), dus de snelheidskromme is de eerste afgeleide naar de tijd van de uitwijkingsgolf. Dit komt overeen met het 'naar links schuiven' van de golf met een vierde van de periode.

• Versnelling ([INLINE_EQUATION]a[/INLINE_EQUATION]): Is de afgeleide van de snelheid, dus de tweede afgeleide van de uitwijking. Het resultaat is een sinusoïde met drievierde periode faseverschil, of equivalent: een negatieve versie (spiegeling) van de uitwijkingsgrafiek.

• Potentiële energie ([INLINE_EQUATION]E_\text{pot}[/INLINE_EQUATION]): Wordt gegeven door het kwadraat van de uitwijking; men neemt de volledige uitwijkingsgolf, kwadrateert de waarde op elk punt, waardoor negatieve delen van de golf naar boven worden 'geplooid'.

• Kinetische energie ([INLINE_EQUATION]E_\text{kin}[/INLINE_EQUATION]): Eveneens een kwadratische grootheid, maar gebaseerd op de snelheidswaarde, zodat het maximum aan kinetische energie wordt bereikt waar de uitwijking door nul gaat, en omgekeerd.

Formules en berekeningen

- Uitwijking: $$x(t) = A \sin(\omega t + \phi)$$

- Snelheid: $$v(t) = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t + \phi)$$ De cosinusfunctie is een kwart periode tegenover de sinusfunctie verschoven.

- Versnelling: $$a(t) = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2 \sin(\omega t + \phi) = -\omega^2 x(t)$$ Identiek patroon als de uitwijking, maar geanti-parallelliseerd (gespiegeld rond de x-as).

- Potentiële energie: $$E_\text{pot}(t) = \frac{1}{2} k x^2(t)$$ Absoluut waarde patroon; alle negatieve delen worden positief.

- Kinetische energie: $$E_\text{kin}(t) = \frac{1}{2} m v^2(t)$$ Eveneens absoluut waarde patroon, met maxima waar uitwijking nul is.

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Constructie van Epot en Ekin uit een uitwijkingsgrafiek

Stel: een massa doorloopt een harmonische trilling met uitwijking $x(t)$ en amplitude $A$. Je tekent de grafiek van $x(t)$ met periodes op de tijdsas.

• Potentiële energie: Presenteer de uitwijkingsgrafiek, neem voor elke tijd $t$ de uitwijkingswaarde, kwadrateer deze, en plot het resultaat. Visualiseer waar $x(t)$ negatief is, die punten stijgen nu boven de x-as; de gehele grafiek wordt positief met alleen toppen bij de grootste uitwijking.

• Kinetische energie: Neem de snelheidskromme door de uitwijkingsgrafiek een kwart periode naar links te schuiven én daarna de absolute waarde te nemen. Zo bekom je een grafiek die maximaliseert waar de uitwijking door nul gaat, en minimaal is waar uitwijking maximale waarden behaalt. Voor een complete periode zijn er twee maxima van kinetische energie.

Voorbeeld 2: Verschuiven en spiegelen bij snelheids- en versnellingsgrafieken

Gegeven een uitwijkingsgrafiek, bepaal je de snelheidskromme door elke piek van $x$ een kwart periode naar links te verschuiven. Vervolgens verkrijg je de versnelling door de uitwijkingsgrafiek hoofdzakelijk rond de x-as te spiegelen; pieken worden dalen en omgekeerd, zonder verschuiving.

Veel gemaakte fouten

• Onjuiste toepassing van faseverschuivingen: het verplaatsen van de snelheids- of versnellingsgrafiek met een halve of onjuiste fractie van de periode.

• Vergeten dat bij $E_\text{pot}(t)$ en $E_\text{kin}(t)$ altijd een positief domein ontstaat na het kwadrateren.

• De fout maken dat $E_\text{kin}(t)$ gelijkloopt met $E_\text{pot}(t)$, terwijl ze per definitie in tegenfase verlopen (als één maximaal is, is de andere minimaal).

• Knoop- en buikposities verwarren bij aflezen van de amplitude in grafieken.

---

Samenvatting

• Staande golven ontstaan altijd door superpositie van twee golven met gelijke frequentie en amplitude maar tegengestelde richting, waarbij karakteristieke patronen met knopen (uitwijking nul) en buiken (uitwijking maximaal) optreden afhankelijk van grensvoorwaarden.

• De eigenfrequentie voor staande golven hangt af van het type uiteindes: - Bij twee identieke uiteindes (beide open of beide gesloten): $f = \frac{n v}{2l}$ - Bij één open, één gesloten uiteinde: $f = (2n-1)\frac{v}{A}$, enkel oneven boventonen zijn mogelijk. - De parameter 'toon' ($n$) correspondeert met het aantal buiken.

• Grafische analyse: uitwijking, snelheid, versnelling, potentiële en kinetische energie volgen elk specifieke fase- en kwadratuurrelaties uit de basale uitwijking- of snelheidskromme, belangrijk om correct om te zetten voor concrete examenvragen.

---

Oefenvragen

1. (Analyse van een touw met vaste uiteindes) Een touw is aan beide uiteindes vastgemaakt en heeft een lengte van $1,50\, \mathrm{m}$. De golfsnelheid bedraagt $300\, \mathrm{m/s}$. Voor de vierde boventoon bereken je: - (a) De frequentie van de staande golf. - (b) De positie van de knopen langs het touw. Antwoorden: - (a) $n = 4$ (vierde boventoon betekent vijfde toon: $n = 5$), dus $$f = \frac{n v}{2l} = \frac{5 \times 300}{2 \times 1,5} = \frac{1500}{3} = 500\, \mathrm{Hz}$$ - (b) Knopen bevinden zich op elke $\frac{\lambda}{2}$: $$\lambda = \frac{2l}{n} = \frac{2 \times 1,5}{5} = 0,6\, \mathrm{m}$$ Knopen op $x = 0, 0,3, 0,6, 0,9, 1,2, 1,5 \, \mathrm{m}$.

2. (Open-gesloten buis: begeleidende tonen) Een orgelpijp is aan één zijde gesloten ($A = 0,85\, \mathrm{m}$), met luchtsnelheid $v = 340\, \mathrm{m/s}$. Welke frequenties zijn mogelijk voor de eerste en derde boventoon? Antwoorden: - Eerste boventoon: $n = 1$: $$f_1 = (2 \times 1 - 1)\frac{340}{0,85} = 1 \times 400 = 400\, \mathrm{Hz}$$ - Derde boventoon: $n = 2$: $$f_3 = (2 \times 2 - 1)\frac{340}{0,85} = 3 \times 400 = 1200\, \mathrm{Hz}$$

3. (Grafische analyse: energie versus uitwijking) Leg uit en schets hoe de grafiek van potentiële energie en kinetische energie eruit ziet in vergelijking met de uitwijkingsgrafiek van een massa aan een veer. Antwoord: - De uitwijkingsgrafiek is een sinusoïde. - De potentiële energie is maximaal waar de uitwijking maximaal is (toppen en bodems van de uitwijkingsgrafiek), alles onder de x-as wordt naar boven gespiegeld (kwadratisch verloop). - De kinetische energie is maximaal waar de uitwijking nul is; de grafiek is eveneens kwadratisch, maar heeft maxima waar de uitwijking door nul gaat, minimaal bij de extremen van de uitwijking. Beide energieën zijn altijd positief.

4. (Faserelaties bij harmonische trilling) Bij een trillende massa volgen snelheid en uitwijking specifieke faserelaties. Hoe verschuif je de snelheidsgolf ten opzichte van de uitwijkingsgolf, en hoe verkrijg je de versnellingsgolf? Antwoord: - De snelheidsfunctie is een kwart periode naar links verschoven ten opzichte van de uitwijking, doordat het de eerste afgeleide is. - De versnellingsgrafiek is de spiegeling van de uitwijkingsgrafiek rond de x-as.

5. (Toonkeuze bij verschillende grensvoorwaarden) Voor een trillend systeem met één open en één gesloten uiteinde, verklaar waarom enkel de oneven boventonen voorkomen en welke fysieke eigenschap hiervoor verantwoordelijk is. Antwoord: - Enkel de oneven boventonen zijn toegestaan omdat het staand golfpatroon enkel dan voldoet aan de grensvoorwaarden: een knoop aan het gesloten uiteinde, een buik aan het open uiteinde. Enkel bij een oneven aantal kwart golflengtes wordt zowel aan knoop als buik voldaan.