Fysica

Potentiële energie opgeslagen in een elastisch systeem

Potentiële energie bij hoogteverschil (zwaarte-energie)

Definitie

Potentiële energie bij hoogteverschil, ook bekend als zwaarte-energie, is de energie die een massa bezit door zijn positie in het zwaartekrachtsveld van de aarde. Wanneer een voorwerp zich op een hoogte hh boven het aardoppervlak bevindt, heeft het een hoeveelheid potentiële energie ten opzichte van een gekozen referentiehoogte. De absolute waarde van deze potentiële energie is afhankelijk van het gekozen nulpunt, maar verschillen in potentiële energie zijn fysisch relevant en bepalen bijvoorbeeld de maximale kinetische energie bij valbewegingen.

Belangrijke concepten

  • Het concept is uitsluitend geldig voor hoogteverschillen waarbij het zwaartekrachtsveld als uniform mag worden beschouwd, dus waar de hoogte hh verwaarloosbaar is ten opzichte van de aardstraal.

  • Potentiële energie is altijd relatief: alleen verschillen tussen twee hoogtes (Δh\Delta h) zijn fysisch meetbaar.

  • De zwaartekrachtpotentiële energie verandert wanneer een voorwerp stijgt of daalt in het zwaartekrachtsveld. Bij een stijging neemt de potentiële energie toe, bij een daling neemt deze af.

  • Voor energiebalansen in gesloten systemen wordt het referentiepunt vaak gekozen als het laagste punt van de bewegingsbaan.

  • Bij omzetting naar kinetische energie in valbewegingen wordt aangenomen dat er geen energieverlies is door weerstandskrachten zoals luchtwrijving (ideale situatie).

Formules en berekeningen

De formule voor de potentiële energie als gevolg van hoogteverschil in een uniform zwaartekrachtsveld is:

Epot=m⋅g⋅ΔhE_{pot} = m \cdot g \cdot \Delta h

waarbij:

  • EpotE_{pot} de zwaartekrachts-potentiële energie is in joule (J)

  • mm de massa is van het voorwerp (in kilogram, kg)

  • gg de plaatselijke gravitatieversnelling (in meter per seconde kwadraat, m/s²), doorgaans 9,81 m/s² op het aardoppervlak

  • Δh\Delta h het hoogteverschil is ten opzichte van het gekozen referentiepunt (in meter, m)

Belangrijk: Het teken van Δh\Delta h bepaalt of de potentiële energie toeneemt (positief) of afneemt (negatief).

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Reken uit hoeveel potentiële energie een loodmassa van 750 g wint bij het hijsen van 25 m naar 60 m boven zeeniveau.

Oplossing:

  • Massa m=0,750m = 0,750 kg

  • Gravitatieversnelling g=9,81g = 9,81 m/s²

  • Hoogteverschil Δh=60 m−25 m=35 m\Delta h = 60\,\text{m} - 25\,\text{m} = 35\,\text{m}

Epot=m⋅g⋅Δh=0,750⋅9,81⋅35=257,6 JE_{pot} = m \cdot g \cdot \Delta h = 0,750 \cdot 9,81 \cdot 35 = 257,6\,\text{J}

Voorbeeld 2: Bereken het snelheidsverschil voor een persoon van 65 kg die springt van een platform 15 m hoog en bij het neerkomen alle potentiële energie omzet in kinetische energie (wrijving wordt verwaarloosd).

Oplossing:

  • Epot=m⋅g⋅h=65⋅9,81⋅15=9563,25 JE_{pot} = m \cdot g \cdot h = 65 \cdot 9,81 \cdot 15 = 9563,25\,\text{J}

  • Deze energie wordt geheel omgezet in kinetische energie: Ekin=12mv2E_{kin} = \frac{1}{2} m v^2

  • Stel Epot=EkinE_{pot} = E_{kin}:

9563,25=12⋅65⋅v29563,25 = \frac{1}{2} \cdot 65 \cdot v^2v2=2⋅9563,2565=294,24v^2 = \frac{2 \cdot 9563,25}{65} = 294,24v=294,24≈17,2 m/sv = \sqrt{294,24} \approx 17,2\,\text{m/s}

Veel gemaakte fouten

  • Verwarren van referentiepunten: Niet consequent kiezen van het nulpunt voor de hoogte zorgt voor fouten in tekenen en contextanalyse.

  • Negeren van energieverliezen: Het negeren van externe krachten zoals luchtweerstand bij niet-ideale systemen leidt tot overschatting van de omzetbare energie.

  • Gebruik van onjuiste g-waarde: Toepassen van afwijkende gravitatieversnellingen op andere planeten zonder aanpassing van gg.

  • Verwarren van hoogteverschil met absolute hoogte: De formule vraagt om het verschil (Δh\Delta h), niet noodzakelijk absolute hoogte boven het aardoppervlak.

Potentiële energie op grote afstand van de aarde (gravitatiepotentiaal)

Definitie

Op grote afstanden van het aardoppervlak is het zwaartekrachtsveld niet meer uniform en kan de benadering uit het eerste blok niet langer worden toegepast. In dit geval wordt de algemene formule voor potentiële gravitatie-energie gebruikt, zoals afgeleid uit de universele gravitatiewet. Deze potentiële energie beschrijft de energie-inhoud van een systeem bestaande uit twee massa’s op een onderlinge afstand rr, relatief ten opzichte van de situatie waarin de massa’s zich op oneindige afstand van elkaar bevinden (potentiële energie is dan nul).

Belangrijke concepten

  • Potentiële energie op grote afstand is altijd negatief, omdat er werk verricht moet worden tegen de gravitationele aantrekking om massa’s naar oneindig te brengen.

  • Deze negatieve waarde duidt aan dat de massa’s een gebonden systeem vormen.

  • Tussenpunten waar de totale potentiële energie nul wordt aangeduid zijn essentieel in satellietdynamica en ontsnappingssnelheden.

  • De gravitatieconstante GG is fundamenteel en universal, onafhankelijk van het type massa’s.

  • Het effect van deze potentiaal is significant voor hemellichamen, satellieten en bij astrofysische berekeningen.

Formules en berekeningen

De algemene uitdrukking voor de potentiële gravitatie-energie van twee puntmassa’s m1m_1 en m2m_2 op afstand rr is:

Epot=−G⋅m1m2rE_{pot} = -G \cdot \frac{m_1 m_2}{r}

waarbij:

  • EpotE_{pot} de gravitationele potentiële energie is (in joule, J)

  • GG de universele gravitatieconstante is, 6,67430×10−11 N m2/kg26,67430 \times 10^{-11}\,\text{N}\,\text{m}^2/\text{kg}^2

  • m1m_1 en m2m_2 de massa’s zijn van beide objecten (in kilogram, kg)

  • rr de afstand is tussen de massamiddelpunt van beide massa’s (in meter, m)

  • Het negatieve teken weerspiegelt dat het systeem gebonden is en er energie moet worden toegevoegd om de massa’s oneindig te scheiden.

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Bereken de potentiële gravitatie-energie tussen de aarde ([INLINE_EQUATION]M = 5,972 \times 10^{24}\,\text{kg}[/INLINE_EQUATION]) en een satelliet van 1000 kg op een hoogte van 400 km.

Oplossing:

  • Totale afstand tot massamiddelpunt aarde: r=6,371×106+4,00×105=6,771×106 mr = 6,371 \times 10^6 + 4,00 \times 10^5 = 6,771 \times 10^6\,\text{m}

  • m1=5,972×1024 kgm_1 = 5,972 \times 10^{24}\,\text{kg}

  • m2=1000 kgm_2 = 1000\,\text{kg}

  • G=6,67430×10−11 N m2/kg2G = 6,67430 \times 10^{-11}\,\text{N}\,\text{m}^2/\text{kg}^2

Epot=−G m1m2r=−6,67430×10−115,972×1024⋅10006,771×106E_{pot} = -G\,\frac{m_1 m_2}{r} = -6,67430 \times 10^{-11} \frac{5,972 \times 10^{24} \cdot 1000}{6,771 \times 10^6}Epot=−6,67430×10−115,972×10276,771×106E_{pot} = -6,67430 \times 10^{-11} \frac{5,972 \times 10^{27}}{6,771 \times 10^6}Epot=−5,892×1010 JE_{pot} = -5,892 \times 10^{10}\,\text{J}

Voorbeeld 2: Bereken het verschil in gravitatiepotentiaal voor een astronaut van 80 kg tussen het aardoppervlak en op 36.000 km hoogte (geostationaire baan).

Oplossing:

  • raard=6,371×106 mr_{aard} = 6,371 \times 10^6\,\text{m}

  • rgeo=6,371×106+3,60×107=4,237×107 mr_{geo} = 6,371 \times 10^6 + 3,60 \times 10^7 = 4,237 \times 10^7\,\text{m}

  • m1=5,972×1024 kgm_1 = 5,972 \times 10^{24}\,\text{kg}

  • m2=80 kgm_2 = 80\,\text{kg}

Op het aardoppervlak:

Epot,0=−Gm1m2raard=−6,67430×10−11⋅5,972×1024⋅806,371×106E_{pot,0} = -G \frac{m_1 m_2}{r_{aard}} = -6,67430 \times 10^{-11} \cdot \frac{5,972 \times 10^{24} \cdot 80}{6,371 \times 10^6}Epot,0=−5,006×1010 JE_{pot,0} = -5,006 \times 10^{10}\,\text{J}

Op 36.000 km hoogte:

Epot,1=−Gm1m2rgeo=−6,67430×10−11⋅5,972×1024⋅804,237×107E_{pot,1} = -G \frac{m_1 m_2}{r_{geo}} = -6,67430 \times 10^{-11} \cdot \frac{5,972 \times 10^{24} \cdot 80}{4,237 \times 10^7}Epot,1=−7,51×109 JE_{pot,1} = -7,51 \times 10^9\,\text{J}

Verschil in potentiële energie:

ΔEpot=Epot,1−Epot,0=(−7,51×109)−(−5,006×1010)=4,25×1010 J\Delta E_{pot} = E_{pot,1} - E_{pot,0} = (-7,51 \times 10^9) - (-5,006 \times 10^{10}) = 4,25 \times 10^{10}\,\text{J}

Veel gemaakte fouten

  • Negeren van het negatieve teken: Vergeten het negatieve teken in te vullen, waardoor belangrijke fysische implicaties worden genegeerd.

  • Mengen met uniforme veldformule: Onterecht de formule mghm g h toepassen bij grote hoogteverschillen waar de veldsterkte niet meer constant is.

  • Foutieve afstand: Verkeerde waarde van rr gebruiken (afstand tot het aardoppervlak ipv tot massamiddelpunt van de aarde).

  • Onzorgvuldig werken met grote getallen: Onnauwkeurige notatie en afronden bij ordegroottes van massa’s en afstanden.

Potentiële energie in een elastisch systeem (veerenergie)

Definitie

Potentiële energie in een elastisch systeem is de energie die als gevolg van een vervorming (bijvoorbeeld uitrekking of compressie) is opgeslagen in een veer of ander elastisch element. Deze energie wordt bepaald door de veerconstante en de mate van vervorming.

Belangrijke concepten

  • Alleen geldig als de elastische vervorming binnen het lineair-elastische (Hookeaans) regime blijft.

  • De elastische potentiële energie wordt volledig opgeslagen bij quasistatische vervorming.

  • De veerconstante kk is karakteristiek voor het materiaal en de bouw van het elastisch systeem.

Formules en berekeningen

De opgeslagen potentiële energie in een veer (of lineair elastisch systeem) wordt gegeven door:

Epot=12kx2E_{pot} = \frac{1}{2} k x^2

waarbij:

  • EpotE_{pot} = potentiële elastische energie (in joule, J)

  • kk = veerconstante (in newton per meter, N/m)

  • xx = uitrekking of inkorting ten opzichte van de evenwichtsstand (in meter, m)

Soms wordt in alternatieve notatie de uitrekking aangeduid als LxL^x, wat in deze context identiek is aan xx.

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Een veer met veerconstante 250 N/m wordt 8,0 cm uitgerekt. Hoeveel elastische potentiële energie is opgeslagen?

Oplossing:

  • k=250 N/mk = 250\, \text{N/m}

  • x=0,080 mx = 0,080\,\text{m}

Epot=12⋅250⋅(0,080)2=12⋅250⋅0,0064=0,8 JE_{pot} = \frac{1}{2} \cdot 250 \cdot (0,080)^2 = \frac{1}{2} \cdot 250 \cdot 0,0064 = 0,8\,\text{J}

Voorbeeld 2: Een horizontale elastische katapult (veerconstante 1800 N/m) wordt 12 cm uitgetrokken. Hoeveel potentiële energie wordt maximaal opgeslagen?

Oplossing:

  • k=1800 N/mk = 1800\,\text{N/m}

  • x=0,12 mx = 0,12\,\text{m}

Epot=12⋅1800⋅(0,12)2=0,5⋅1800⋅0,0144=12,96 JE_{pot} = \frac{1}{2} \cdot 1800 \cdot (0,12)^2 = 0,5 \cdot 1800 \cdot 0,0144 = 12,96\,\text{J}

Veel gemaakte fouten

  • Verwarren van uitrekking met totale lengte: Enkel de uitrekking of compressie t.o.v. de evenwichtsstand telt, niet de absolute lengte van de veer.

  • Onjuiste invoer van eenheden: Gebruik van centimeters zonder omzetten naar meters in de formule.

  • Toepassen buiten Hookeaans gebied: De formule geldt niet voor plastische vervormingen of nabij de breukgrens van de veer.

  • Verwarren van kracht en energie: De kracht in de veer is F=kxF = kx, niet gelijk aan de energie die via het kwadraat van de uitrekking wordt bepaald.

Samenvatting

  • Zwaarte-energie ([INLINE_EQUATION]E_{pot} = m \cdot g \cdot \Delta h[/INLINE_EQUATION]): Geldig bij beperkte hoogteverschillen waar het zwaartekrachtsveld als uniform mag worden beschouwd. De potentiële energie en de veranderingssnelheid ervan zijn bepalend voor het verloop van valbewegingen en energiebalansen.

  • Gravitatiepotentiaal op grote afstand ([INLINE_EQUATION]E_{pot} = -G \frac{m_1 m_2}{r}[/INLINE_EQUATION]): Toegepast wanneer massa’s zich op aanzienlijke afstand van elkaar bevinden. Praktisch voor satellietberekeningen, ontsnappingssnelheden en potentiële binding van massieve lichamen.

  • Elastische potentiële energie ([INLINE_EQUATION]E_{pot} = \frac{1}{2}kx^2[/INLINE_EQUATION]): Geldt uitsluitend binnen het lineair-elastisch bereik van veren en andere elastische systemen. De energie is afhankelijk van de veerconstante en de uitrekking ten opzichte van het nulpunt.

Correcte parameterkeuze, precieze referentiepuntselectie, en het nauwgezet toepassen van de juiste formule bij het correcte situatie-regime zijn essentieel om fouten te vermijden bij het oplossen van gevorderde examenproblemen.

Oefenvragen

Vraag 1

Een satelliet van 600 kg bevindt zich in een cirkelvormige baan op 700 km boven het aardoppervlak. Bereken het verschil in potentiële gravitatie-energie tussen de situatie op het aardoppervlak en in deze baan. Gebruik G=6,67430×10−11 N m2/kg2G = 6,67430 \times 10^{-11}\, \text{N}\,\text{m}^2/\text{kg}^2, massa aarde 5,972×1024 kg5,972 \times 10^{24}\,\text{kg} en straal aarde 6,371×106 m6,371 \times 10^6\,\text{m}.

Antwoord:

  • r0=6,371×106 mr_{0} = 6,371 \times 10^6\,\text{m}

  • r1=6,371×106+0,7×106=7,071×106 mr_{1} = 6,371 \times 10^6 + 0,7 \times 10^6 = 7,071 \times 10^6\,\text{m}

  • m1=5,972×1024 kgm_1 = 5,972 \times 10^{24}\,\text{kg}, m2=600 kgm_2 = 600\,\text{kg}

  • Epot,0=−G m1m2r0=−6,67430×10−115,972×1024⋅6006,371×106=−3,76×1010 JE_{pot,0} = -G\,\frac{m_1 m_2}{r_0} = -6,67430 \times 10^{-11} \frac{5,972 \times 10^{24} \cdot 600}{6,371 \times 10^6} = -3,76 \times 10^{10}\,\text{J}

  • Epot,1=−G m1m2r1=−6,67430×10−115,972×1024⋅6007,071×106=−3,39×1010 JE_{pot,1} = -G\,\frac{m_1 m_2}{r_1} = -6,67430 \times 10^{-11} \frac{5,972 \times 10^{24} \cdot 600}{7,071 \times 10^6} = -3,39 \times 10^{10}\,\text{J}

  • ΔEpot=(−3,39×1010)−(−3,76×1010)=0,37×1010=3,7×109 J\Delta E_{pot} = (-3,39 \times 10^{10}) - (-3,76 \times 10^{10}) = 0,37 \times 10^{10} = 3,7 \times 10^9\,\text{J}

Vraag 2

Een massa van 2,0 kg hangt aan een veer met een veerconstante van 90 N/m. De veer wordt 20 cm uitgerekt en de massa wordt dan losgelaten. Bereken de maximale snelheid van de massa als alle potentiële energie wordt omgezet in kinetische energie.

Antwoord:

  • x=0,20 m, k=90 N/mx = 0,20\,\text{m},\, k = 90\,\text{N/m}

  • Epot,veer=12⋅90⋅(0,20)2=1,8 JE_{pot,veer} = \frac{1}{2} \cdot 90 \cdot (0,20)^2 = 1,8\,\text{J}

  • Ekin=12mv2→1,8=1,0v2→v=1,8≈1,34 m/sE_{kin} = \frac{1}{2} m v^2 \rightarrow 1,8 = 1,0 v^2 \rightarrow v = \sqrt{1,8} \approx 1,34\,\text{m/s}

Vraag 3

Een stofmassa van 0,5 kg wordt geheven van 10 m naar 160 m boven zeeniveau. Bereken de toename van potentiële energie. Gebruik g=9,81 m/s2g = 9,81\,\text{m/s}^2.

Antwoord:

  • Δh=160−10=150 m\Delta h = 160 - 10 = 150\,\text{m}

  • Epot=0,5⋅9,81⋅150=735,75 JE_{pot} = 0,5 \cdot 9,81 \cdot 150 = 735,75\,\text{J}

Test je kennis met deze examenoefeningen

Les 67 van 84