Zwaartekracht, Zwaarteveldsterkte, Gewicht, Potentiële Energie

Blok 1: Zwaartekracht en Gewicht

Definitie

Het gewicht van een voorwerp is de kracht die de aarde uitoefent op dit voorwerp als gevolg van de zwaartekracht. In fysische termen is het gewicht een vectoriële grootheid die overeenkomt met de zwaartekracht die op het voorwerp werkt in een zwaarteveld. De zwaartekracht grijpt altijd aan in het massamiddelpunt van het voorwerp en is op aarde onder normale omstandigheden naar het centrum van de aarde gericht, dus verticaal neerwaarts.

Belangrijke concepten

• Gewicht als kracht: Gewicht is geen intrinsieke eigenschap van een voorwerp, maar de kracht die het ondervindt in een zwaarteveld. Het onderscheid tussen massa (een constante hoeveelheid materie) en gewicht (afhankelijk van het plaatselijke zwaarteveld) is fundamenteel bij complexe vraagstukken, zoals situaties met variabele zwaarteveldsterkte (bijvoorbeeld hoogte boven het aardoppervlak).

• Vectoriële notatie: Het gewicht wordt als vector genoteerd: $\vec{F}_c$, vaak $\vec{F}_z$ genoemd als het specifiek om de zwaartekracht gaat.

• Invloed zwaarteveldsterkte: De waarde van de zwaarteveldsterkte $g$ (9,81 m/s² op zeeniveau, afnemend met hoogte) beïnvloedt rechtstreeks het gewicht; het gewicht van een voorwerp verandert dus bij variatie in $g$.

• Aangrijpingspunt en richting: In een diagram wordt het gewicht altijd voorgesteld als een pijl vanuit het zwaartepunt van het lichaam, naar beneden gericht.

Formules en berekeningen

De relatie tussen gewicht, massa en zwaarteveldsterkte wordt gegeven door:

waarbij:

• $F_c$: het gewicht (in Newton, N)

• $m$: massa van het voorwerp (in kilogram, kg)

• $g$: zwaarteveldsterkte of gravitatieversnelling (in meter per seconde kwadraat, m/s²)

Voor toepassing op verschillende hemellichamen of hoogtes is het essentieel om de juiste waarde voor $g$ te gebruiken.

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Gewicht op hoogte

Een astronaut met massa 82,0 kg bevindt zich op een hoogte waar de zwaarteveldsterkte 4,50 m/s² bedraagt (bijvoorbeeld in een lage baan rond de maan). Het gewicht van de astronaut is:

Hoewel de massa van de astronaut ongewijzigd blijft, neemt het gewicht aanzienlijk af door de lagere waarde van $g$.

Voorbeeld 2: Gewicht in een lift met versnelling

Een persoon met massa 70,0 kg staat in een lift die versnelt omhoog met $a = 2,0$ m/s². Het schijnbare gewicht is:

De toename van het schijnbare gewicht is enkel te wijten aan de combinatie van zwaartekracht en extra versnelling door de lift.

Veel gemaakte fouten

• Het verwarren van massa en gewicht in contexten waar de zwaarteveldsterkte niet constant is (zoals bij ruimtereizen of berekeningen op andere planeten).

• Het verkeerd tekenen van de richting van de zwaartekracht in krachtenvector-diagrammen, bijvoorbeeld door deze niet perfect verticaal neerwaarts te laten wijzen wanneer dat wel vereist is.

• Het laten aangrijpen van de zwaartekracht op andere punten dan het massamiddelpunt in vectoranalyses, wat tot foute berekeningen bij momenten en evenwichten kan leiden.

Blok 2: Normaalkracht

Definitie

De normaalkracht is de reactiekracht die een oppervlak uitoefent op een voorwerp wanneer het in contact is met het oppervlak. Deze kracht is steeds loodrecht (normaal) op het contactvlak gericht. De normaalkracht compenseert de component van het gewicht die loodrecht op het oppervlak werkt, zodat het voorwerp niet door het oppervlak heen beweegt of boven het oppervlak zweeft.

Belangrijke concepten

• Reactiewet van Newton: De normaalkracht is als reactiekracht gekoppeld aan het gewicht van het voorwerp door de derde wet van Newton, maar ze zijn elkaars gelijke én tegengestelde krachten alleen indien het oppervlak horizontaal is en er geen extra verticale krachten zijn.

• Combinatie met hellingen: Op een hellend vlak is de normaalkracht kleiner dan het gewicht en wordt enkel de component van het gewicht die loodrecht op het vlak werkt gecompenseerd: $$F_N = m \cdot g \cdot \cos(\theta)$$ waarbij $\theta$ de hoek is van het vlak ten opzichte van horizontaal.

• Aangrijpingspunt: In diagrammen en krachtenvectoranalyses wordt de normaalkracht altijd getekend vanuit het contactpunt aan het oppervlak, loodrecht het vlak uit.

Formules en berekeningen

• Horizontaal vlak: $$F_N = m \cdot g$$ indien er geen andere verticale krachten zijn.

• Helling: $$F_N = m \cdot g \cdot \cos(\theta)$$

• Combinatie met andere krachten: Wanneer er extra verticale krachten zijn (bijvoorbeeld een lift die versnelt, of een extra kracht op het blok), dient de vectoriële som van alle verticale krachten gebruikt te worden voor de krachtbalans.

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Blok op hellend vlak

Een blok van 10,0 kg ligt op een vlak met een hellingshoek van 30°. De normaalkracht bedraagt:

Hier is de normaalkracht duidelijk kleiner dan het gewicht doordat een deel van het gewicht niet loodrecht op het oppervlak werkt.

Voorbeeld 2: Persoon in een versnelling in lift

Een persoon van 60,0 kg in een lift daalt met een versnelling van 1,5 m/s². De normaalkracht die de vloer op de persoon uitoefent:

De persoon voelt zich dan ‘lichter’ dan in rust.

Veel gemaakte fouten

• Onterechte aanname dat de normaalkracht steeds gelijk is aan het gewicht, ook op hellingen of bij extra verticale krachten.

• Het niet correct tekenen van de vectorrichting van de normaalkracht bij schuine vlakken (deze is altijd loodrecht op het oppervlak, niet noodzakelijk verticaal).

• Vergeten de normaalkracht te verminderen bij opwaartse versnellingen of te verhogen bij neerwaartse versnellingen in dynamische situaties.

Blok 3: Trekkracht/Spankracht

Definitie

De trekkracht, vaak aangeduid als $F_T$ of $F_{TT}$, is de kracht die een touw, draad of kabel uitoefent op een voorwerp waaraan het hangt of getrokken wordt. De trekkracht werkt altijd langs de richting van het touw, van het object weg.

Belangrijke concepten

• Krachtenevenwicht bij stilhangend object: Wanneer een massa aan een touw hangt en in rust is, is er een tweekrachtenevenwicht. De trekkracht van het touw is dan gelijk in grootte aan de zwaartekracht op het voorwerp, maar tegengesteld in richting: $$\sum \vec{F} = 0 \implies \vec{F}_T + \vec{F}_z = 0 \implies F_T = F_z$$

• Aangrijpingspunt en richting: In een krachtenanalyse wordt de trekkracht voorgesteld als een vector die aan het bevestigingspunt van het touw aan het object wordt getekend, langs het touw, naar boven (bij een hangend object).

• Spankracht in ketens van voorwerpen: Bij systemen met meerdere aan elkaar gekoppelde massa's via touwen is de trekkracht in het touw tussen deze massa’s afhankelijk van de opgelegde versnelling en het aantal massa’s aan elke zijde van het touw.

Formules en berekeningen

• Stilhangend voorwerp aan een touw: $$F_T = m \cdot g$$

• Hangend voorwerp in een systeem met versnelling [INLINE_EQUATION]a[/INLINE_EQUATION]: $$F_T = m \cdot (g \pm a)$$ Het teken ± is afhankelijk van de richting van de versnelling.

• Vectoranalyse in diagonaal opgehangen touwen: De trekkracht kan worden ontbonden in componenten als het touw onder een hoek met het verticale wordt gespannen.

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Bol aan touw in rust

Een bol met massa 5,0 kg hangt stil aan een draad. De trekkracht is:

De krachtenvectoren bestaan uit $F_T$ omhoog langs het touw en $F_z$ omlaag vanaf het massamiddelpunt.

Voorbeeld 2: Twee massa’s aan touw, horizontale versnelling

Twee massa’s van 4,0 kg en 6,0 kg zijn verbonden met een touw en worden horizontaal versneld met $a = 2,0$ m/s². De trekkracht in het touw tussen de massa’s is:

Omdat alleen de achterste massa door het touw wordt getrokken.

Veel gemaakte fouten

• Verkeerde richting toekennen aan de trekkrachtvector bij krachtenanalyses wanneer het touw schuin is opgespannen.

• Ten onrechte de trekkracht niet gelijkstellen aan het gewicht bij stilhangende objecten, wat tot fouten leidt in de analyse van het systeem.

• Bij samengestelde systemen het verkeerde massagedeelte gebruiken bij de berekening van de trekkracht in het touw tussen massa’s.

Blok 4: Wrijvingskracht

Definitie

De wrijvingskracht is een contactkracht die ontstaat tussen twee oppervlakken die over elkaar bewegen of dreigen te bewegen. Wrijving werkt altijd in op een voorwerp met als doel de relatieve beweging tussen oppervlakken te verminderen of te verhinderen, en is altijd gericht tegen de (mogelijke) bewegingsrichting.

Belangrijke concepten

• Kinetische wrijving: De kracht die optreedt als het voorwerp daadwerkelijk ten opzichte van het oppervlak schuift.

• Statische wrijving: Die kracht die optreedt zolang het voorwerp nog niet schuift, maar waar wel kracht op wordt uitgeoefend om het in beweging te krijgen. De statische wrijving neemt toe tot een maximumwaarde, gelijk aan de maximaal statische wrijvingskracht. Pas als die maximumwaarde overschreden wordt, zal het voorwerp beginnen bewegen.

• Afhankelijkheid van materialen en contact: De grootte van de wrijvingskracht hangt af van het materiaal van de oppervlakken, hun ruwheid en de grootte van de normaalkracht tussen die oppervlakken.

• Coëfficiënten van wrijving: De kinetische ($\mu_k$) en statische ($\mu_s$) wrijvingscoëfficiënten zijn materiaalspecifieke getallen die dimensieloos zijn en enkel experimenteel bepaald worden.

Formules en berekeningen

Kinetische wrijving (beweging):

waarbij:

• $F_{wr}$: kinetische wrijvingskracht (N)

• $\mu_k$: kinetische wrijvingscoëfficiënt (dimensieloos)

• $F_N$: normaalkracht (N)

Statische wrijving (net voor beweging):

• $F_{wr,max}$: maximaal statische wrijvingskracht (N)

• $\mu_s$: statische wrijvingscoëfficiënt (dimensieloos)

De huidige waarde van de statische wrijvingskracht past zich aan tot $F_{wr,max}$ bereikt is, daarna treedt beweging op en geldt de kinetische formule.

Voorwaarden:

• Als $F$ kleiner is dan $F_{wr,max}$, komt het voorwerp niet in beweging.

• Zodra $F$ iets groter wordt dan $F_{wr,max}$, vergroot de netto kracht en begint het voorwerp te bewegen; op dat moment geldt de kinetische wrijvingskracht-vergelijking.

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Blok met gegeven kracht (evenwicht)

Een blok van 10,0 kg ligt op een horizontaal oppervlak ($g = 9,81$ m/s²). Er wordt een horizontale kracht $F = 30,0$ N uitgeoefend. De wrijvingscoëfficiënten zijn $\mu_s = 0,40$ en $\mu_k = 0,30$.

• Bereken de normaalkracht: $F_N = 10,0 \cdot 9,81 = 98,1$ N.

• Maximaal statische wrijvingskracht: $F_{wr,max} = 0,40 \cdot 98,1 = 39,24$ N.

• Omdat $F < F_{wr,max}$, blijft het blok in rust en is de wrijvingskracht $F_{wr} = 30,0$ N (even groot als de toegepaste kracht, tot het maximum is bereikt).

Voorbeeld 2: Blok met constante snelheid (beweging)

Hetzelfde blok wordt nu met constante snelheid getrokken, toepassing kinetische wrijving:

• Kinetische wrijvingskracht: $F_{wr} = 0,30 \cdot 98,1 = 29,43$ N.

• Wanneer het blok met constante snelheid beweegt, is de trekkracht gelijk aan de kinetische wrijvingskracht volgens $F = F_{wr}$.

Veel gemaakte fouten

• Onterecht gebruik van de statische wrijvingscoëfficiënt in een situatie waarin het voorwerp reeds beweegt; bij beweging altijd de kinetische coëfficiënt gebruiken.

• Verkeerde interpretatie van de richting van de wrijvingskracht; deze is altijd exact tegengesteld aan de bewegings- of potentiële bewegingsrichting.

• Vergeten dat wrijvingskracht maximaal gelijk kan zijn aan de statische limiet vóórdat beweging optreedt, en deze direct laten springen naar de kinetische waarde zodra beweging start.

• Het overschatten van de rol van contactoppervlakte: voor klassieke droge wrijving is het contactoppervlak niet bepalend voor de grootte van de wrijvingskracht, enkel de normaalkracht en de aard van de oppervlakken.

Samenvatting

• Het gewicht van een voorwerp is de kracht waarmee het door de aarde wordt aangetrokken: $F_c = m \cdot g$, met de zwaartekracht altijd naar het centrum van de aarde gericht.

• De normaalkracht is de kracht die een oppervlak loodrecht uitoefent tegen een voorwerp. De grootte is gelijk aan de loodrechte component van het gewicht ($F_N = m \cdot g$ voor horizontaal oppervlak, $F_N = m \cdot g \cdot \cos(\theta)$ voor een helling). De vectorrichting is altijd loodrecht op het contactvlak.

• De trekkracht (spankracht) in een touw bij een stilhangend object is gelijk aan het gewicht. In meer complexe situaties moet rekening gehouden worden met versnelling en oriëntatie van het touw.

• De wrijvingskracht kent twee vormen: statisch ($F_{wr,max} = \mu_s \cdot F_N$), ivm het opstarten van beweging, en kinetisch ($F_{wr} = \mu_k \cdot F_N$) tijdens schuiven. Bij het berekenen van krachtenbalansen is de juiste coëfficiënt essentieel. De richting van wrijving is altijd tegengesteld aan (mogelijke) beweging.

Oefenvragen

1. Een blok van 15,0 kg ligt op een hellend vlak van 25°. De kinetische wrijvingscoëfficiënt is 0,15. Bereken: a) De normaalkracht op het blok. b) De grootte van de wrijvingskracht wanneer het blok naar beneden schuift. Antwoorden: a) $F_N = 15,0 \cdot 9,81 \cdot \cos(25^\circ) = 133,5\ \text{N}$ b) $F_{wr} = 0,15 \cdot 133,5 = 20,0\ \text{N}$

2. Een kist van 12,0 kg wordt via een touw verticaal omhoog getakeld met constante snelheid. Bereken de trekkracht die het touw uitoefent. Antwoord: $F_T = m \cdot g = 12,0 \cdot 9,81 = 117,7\ \text{N}$

3. Een doos staat stil op een horizontaal oppervlak. De toegepaste horizontale kracht is 25,0 N, de maximale statische wrijvingskracht is 28,0 N, de kinetische wrijvingskracht is 22,0 N. Leg uit of de doos beweegt, en als dat zo is, met welke netto kracht. Antwoord: Omdat 25,0 N kleiner is dan 28,0 N, beweegt de doos niet. Zou de kracht groter zijn dan 28,0 N, dan zou de doos beginnen te schuiven en de netto kracht $F_{net} = F - F_{wr,kin}$ zijn.

4. Een massa van 8,0 kg hangt aan twee touwen, elk gespannen onder een hoek van 40° met de horizontaal. Bereken de grootte van de spankracht in elk touw. Antwoord: Voor symmetrisch opgespannen touwen geldt $2F_T \cdot \sin(40^\circ) = 8,0 \cdot 9,81 = 78,48$ $F_T = 78,48 / (2 \cdot \sin(40^\circ)) = 61,0\ \text{N}$

5. Een persoon van 70,0 kg staat in een lift die met [INLINE_EQUATION]2,5[/INLINE_EQUATION] m/s² versnelt naar boven. Wat is de normaalkracht op de persoon? Antwoord: $F_N = 70,0 \cdot (9,81 + 2,5) = 70,0 \cdot 12,31 = 861,7\ \text{N}$