Magnetische veldsterkte rond een rechte stroomvoerende geleider en in een stroomvoerende spoel

Magnetische veldsterkte bij een rechte stroomvoerende geleider

Definitie

De magnetische veldsterkte rond een rechte stroomvoerende geleider wordt gekwantificeerd door de magnetische inductie, aangeduid met het symbool $B$. De eenheid van $B$ is de tesla (T). Dit veld wordt opgewekt door de bewegende ladingen (elektrische stroom) doorheen de geleider en is radiaal symmetrisch rond de geleider gesitueerd. De grootte van het magnetisch veld op een bepaalde afstand van de geleider is afhankelijk van de stroomsterkte $I$ door de geleider en de afstand $r$ tot het middelpunt van de draad.

Belangrijke concepten

• Magnetische inductie ([INLINE_EQUATION]B[/INLINE_EQUATION]): De maat voor de sterkte van het magnetisch veld in een punt rond de geleider.

• Tesla (T): De SI-eenheid van magnetische inductie; $1\,\text{T} = 1\,\text{N}\cdot\text{s}/(\text{C}\cdot\text{m})$.

• Stroomvoerende geleider: Een draad waardoor een constante stroom $I$ vloeit.

• Afstand tot de geleider ([INLINE_EQUATION]r[/INLINE_EQUATION]): De loodrechte afstand van het punt waar men het veld bepaalt tot de as van de rechte geleider.

• Rechterhandregel: Een procedure om de richting van de magnetische veldvector te bepalen. Wanneer de duim van de rechterhand wijst in de richting van de conventionele stroom (van positief naar negatief), wijzen de gekromde vingers in de draairichting van het magnetisch veld $B$ rond de geleider.

• Cirkelvormig veldpatroon: Het magnetisch veld rond een rechte geleider bestaat uit concentrische cirkels in het vlak loodrecht op de draad.

Formules en berekeningen

De grootte van de magnetische inductie op een afstand $r$ van een lange, rechte geleider met stroomsterkte $I$ in vacuüm of lucht wordt gegeven door:

$$B = \frac{\mu_0 \cdot I}{2\pi r}$$

waarbij:

• $B$: magnetische inductie (in tesla, T)

• $\mu_0$: magnetische permeabiliteit van het vacuüm ($4\pi \times 10^{-7}\, \text{T}\cdot\text{m/A}$)

• $I$: elektrische stroomsterkte (in ampère, A)

• $r$: afstand tot het middelpunt van de geleider (in meter, m)

Voor andere media wordt de permeabiliteit $\mu$ gebruikt, waarbij $\mu = \mu_0 \cdot \mu_r$, met $\mu_r$ de relatieve permeabiliteit van het medium.

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Magnetisch veld op 5 cm van een geleider

Een rechte geleider voert een stroom $I = 10\, \text{A}$. Wat is de magnetische inductie op een afstand $r = 0{,}05\, \text{m}$ van de geleider in lucht?

$$B = \frac{\mu_0 \cdot I}{2 \pi r} = \frac{4\pi \times 10^{-7}\,\text{T}\cdot\text{m/A} \cdot 10\,\text{A}}{2\pi \cdot 0{,}05\,\text{m}}$$$$= \frac{4\pi \times 10^{-6}}{2\pi \cdot 0{,}05} = \frac{4 \times 10^{-6}}{0{,}1} = 4 \times 10^{-5}\,\text{T} = 40\,\mu\text{T}$$

Voorbeeld 2: Richting van het magnetische veld

Beschouw dezelfde geleider uit voorbeeld 1, waarbij de stroom van boven naar beneden loopt. Gebruik de rechterhandregel om de richting van het magnetisch veld rechts van de draad te bepalen. Richt de duim van de rechterhand naar beneden langs de draad (richting van de stroom). De gekromde vingers wijzen dan uit het vlak naar buiten aan de rechterzijde van de draad. Dit betekent dat het magnetisch veld aan de rechterzijde van de draad naar de waarnemer toe is gericht.

Schematische afbeelding en uitleg

``` ⬇️ I │ │ │ │ (⚪)───│───(⚪) │ │ - De verticale lijn stelt de geleider voor; de pijl wijst de stroomrichting (naar beneden) aan. - De concentrische cirkels rondom de geleider geven de lijnen van de magnetische inductie weer. - Rechts van de draad wijst het magnetisch veld naar buiten (aangeduid met een punt ⚪), links naar binnen (aangeduid met een kruis ⨉), volgens de rechterhandregel. ```

Veel gemaakte fouten

• Verwarring over richting: Studenten vergissen zich bij toepassing van de rechterhandregel, vooral bij complexe draadrichtingen of tegengestelde stroomrichtingen. Ze hanteren soms per abuis de linkerhandregel, wat voor elektrische stromen niet correct is.

• Verkeerde afstand gebruiken: Het veld wordt soms berekend op een verkeerde afstand tot de geleider (bijvoorbeeld vanaf de rand in plaats van het midden).

• Vergeten van permeabiliteitsfactor: Men verwaarloost regelmatig het onderscheid tussen vacuüm (en lucht) en andere magnetische media, waardoor de relatieve permeabiliteit $\mu_r$ foutief buiten beschouwing blijft.

• Onaanpasbare formule gebruiken voor kortere geleiders: De formule geldt uitsluitend voor lange rechte geleiders. Studenten passen deze soms onterecht toe op korte draden, of op draden die niet als 'oneindig lang' beschouwd mogen worden op schaal van $r$.

---

Magnetische veldsterkte in een stroomvoerende spoel (solenoïde)

Definitie

Een solenoïde is een cilindrische spoel bestaande uit meerdere opeenvolgende windingen (draadronden) waardoor een constante elektrische stroom $I$ vloeit. Binnenin deze spoel ontstaat een nagenoeg uniform magnetisch veld, waarvan de sterkte wordt bepaald door het aantal windingen $N$, de lengte $L$ van de spoel en de stroomsterkte $I$ door de draad. De magnetische permeabiliteit ($\mu$) van het medium binnen de solenoïde beïnvloedt eveneens de veldsterkte.

Belangrijke concepten

• Solenoïde: Een spoel bestaande uit vele opeenvolgende windingen, die een homogeen magnetisch veld binnenin creëert, mits de spoel lang is ten opzichte van haar diameter.

• Magnetische inductie ([INLINE_EQUATION]B[/INLINE_EQUATION]): De intensiteit van het magnetisch veld binnenin de spoel.

• Magnetische permeabiliteit ([INLINE_EQUATION]\mu[/INLINE_EQUATION]): Maat voor de mate waarin het medium het magnetisch veld toelaat; bij lucht of vacuüm wordt gebruik gemaakt van de permeabiliteit van het vacuüm.

• Windingendichtheid ([INLINE_EQUATION]N/L[/INLINE_EQUATION]): Het aantal windingen per lengte-eenheid, kritische parameter voor de veldsterkte.

• Lineair verband: De magnetische inductie is rechtlijnig afhankelijk van zowel de stroomsterkte als het aantal windingen.

• Homogeen veld: Binnen een ideale solenoïde is het magnetisch veld uniform, behalve aan de uiteinden.

Formules en berekeningen

De magnetische inductie $B$ binnenin een ideale solenoïde zonder ijzeren kern wordt gegeven door:

$$B = \mu \cdot \frac{N \cdot I}{L}$$

• $B$: magnetische inductie binnenin de spoel (in tesla, T)

• $\mu$: magnetische permeabiliteit van het medium ($\mu_0$, of $\mu_0 \cdot \mu_r$ voor andere materialen)

• $N$: totaal aantal windingen in de spoel

• $I$: elektrische stroomsterkte (in ampère, A)

• $L$: lengte van de spoel (in meter, m)

Voor een spoel met een ferromagnetische kern moet worden gerekend met een grotere $\mu$, want $\mu_r$ voor ijzer kan tot tienduizenden groter zijn dan voor lucht.

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Magnetische veldsterkte in een lange solenoïde

Een solenoïde heeft $N = 400$ windingen, een lengte $L = 0{,}25\,\text{m}$, en er loopt een stroom van $I = 2\,\text{A}$ doorheen. De spoel is luchtgevuld, dus $\mu = \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\, \text{T}\cdot\text{m/A}$. Bereken de magnetische inductie binnenin de spoel.

$$B = \mu_0 \cdot \frac{N \cdot I}{L} = (4\pi \times 10^{-7}\,\text{T}\cdot\text{m/A}) \cdot \frac{400 \cdot 2}{0{,}25}$$$$= (4\pi \times 10^{-7}) \cdot \frac{800}{0{,}25} = (4\pi \times 10^{-7}) \cdot 3200$$$$= 4\pi \times 10^{-7} \cdot 3200 = (4 \times 3{,}1416 \times 10^{-7}) \cdot 3200 \approx (12{,}566 \times 10^{-7}) \cdot 3200$$$$= 40{,}211 \times 10^{-7} \cdot 3200 = 128\,675 \times 10^{-7} = 1{,}287 \times 10^{-2}\,\text{T} = 12{,}87\,\text{mT}$$

Voorbeeld 2: Effect van een ferromagnetische kern

Eenzelfde solenoïde als in voorbeeld 1 wordt nu gevuld met een ijzeren kern, waarvoor $\mu_r = 2000$. Bereken de nieuwe magnetische veldsterkte.

$$\mu = \mu_0 \cdot \mu_r = 4\pi \times 10^{-7} \cdot 2000 = 8\pi \times 10^{-4}\,\text{T}\cdot\text{m/A}$$$$B = \mu \cdot \frac{N \cdot I}{L} = (8\pi \times 10^{-4}) \cdot \frac{800}{0{,}25} = (8\pi \times 10^{-4}) \cdot 3200 = 8\pi \times 10^{-4} \cdot 3200$$$$= 8 \times 3{,}1416 \times 10^{-4} \cdot 3200 \approx 25{,}133 \times 10^{-4} \cdot 3200 = 80{,}426 \times 10^{-1} = 8{,}043\,\text{T}$$

Hieruit blijkt hoe drastisch een ijzeren kern de veldsterkte verhoogt.

Veel gemaakte fouten

• Verwarring tussen [INLINE_EQUATION]N[/INLINE_EQUATION] en [INLINE_EQUATION]N/L[/INLINE_EQUATION]: Soms gebruikt men enkel het aantal windingen $N$ in plaats van de windingendichtheid $N/L$, wat tot een foutieve berekening van $B$ leidt.

• Negeren van permeabiliteit van kernmateriaal: Bij gebruik van een spoel met kern wordt de relatieve permeabiliteit $\mu_r$ soms vergeten of foutief meegenomen.

• Gebruik van onjuiste lengte: Men verwisselt regelmatig de lengte van de spoel met de draaddikte of de diameter van de spoel, terwijl enkel de lengte van de spoel-as relevant is.

• Rand- en eind-effecten negeren: Voor korte spoelen is de formule een benadering; studenten passen de formule soms klakkeloos toe zonder rekening te houden met het feit dat het veld niet overal homogeen is.

---

Samenvatting

• De magnetische veldsterkte rond een rechte stroomvoerende geleider neemt af met de afstand tot de draad en is recht evenredig met de stroomsterkte. De formule hiervoor in vacuüm of lucht is $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$.

• De richting van het magnetisch veld rond de geleider wordt bepaald met de rechterhandregel: duim in stromingsrichting, vingers geven draairichting van het veld aan.

• In een solenoïde wordt het magnetisch veld uitgedrukt als $B = \mu \frac{N I}{L}$, waarbij $N$ het aantal windingen is, $L$ de lengte van de spoel, $I$ de stroomsterkte en $\mu$ de magnetische permeabiliteit.

• Bij gebruik van ferromagnetisch materiaal als kern neemt de veldsterkte aanzienlijk toe door een veel grotere $\mu$.

• Veel voorkomende fouten zijn het onjuist interpreteren van parameters, het negeren van de permeabiliteitsfactor, en het toepassen van formules buiten hun geldigheidsdomein.

---

Oefenvragen

1. Een rechte koperen draad voert een constante stroom van 5,0 A. Bereken de magnetische inductie op een afstand van 2,0 cm van de draad in lucht.Antwoord:$$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \cdot 5{,}0}{2\pi \cdot 0{,}02} = \frac{20\pi \times 10^{-7}}{0{,}04\pi} = \frac{20 \times 10^{-7}}{0{,}04} = 5{,}0 \times 10^{-5}\,\text{T} = 50\,\mu\text{T}$$ 2. Een solenoïde is 0,40 m lang, bevat 800 windingen, en er loopt een stroom van 1,5 A doorheen. De spoel bevat een luchtruimte ([INLINE_EQUATION]\mu_0[/INLINE_EQUATION]). Bereken de magnetische veldsterkte binnenin.Antwoord:$$B = \mu_0 \frac{N I}{L} = 4\pi \times 10^{-7} \cdot \frac{800 \cdot 1{,}5}{0{,}40} = 4\pi \times 10^{-7} \cdot 3000 = (4 \cdot 3{,}1416 \cdot 10^{-7}) \cdot 3000 = 12{,}566 \times 10^{-7} \cdot 3000 = 37\,698 \times 10^{-4} = 3{,}77 \times 10^{-2}\,\text{T} = 37{,}7\,\text{mT}$$ 3. Een spoel bevat 200 windingen, is 0,10 m lang, en geleid een stroom van 3,0 A. De kern heeft een relatieve permeabiliteit [INLINE_EQUATION]\mu_r = 500[/INLINE_EQUATION]. Wat is het magnetisch veld binnen de spoel?Antwoord:$$\mu = \mu_0 \cdot \mu_r = 4\pi \times 10^{-7} \cdot 500 = 2{,}0 \times 10^{-4}\,\text{T}\cdot\text{m/A}$$$$B = 2{,}0 \times 10^{-4} \cdot \frac{200 \cdot 3{,}0}{0{,}10} = 2{,}0 \times 10^{-4} \cdot 6000 = 1{,}2\,\text{T}$$ 4. Verklaar waarom bij een rechte geleider de magnetische inductie met de afstand tot de draad afneemt, maar bij een ideale solenoïde binnenin de veldsterkte vrijwel constant is (met korte uitleg).Antwoord:

Bij een rechte geleider verspreiden de veldlijnen zich cirkelvormig vanuit de draad, waardoor de dichtheid van veldlijnen per lengte-eenheid afneemt naarmate de afstand toeneemt, resulterend in een afname van $B$ volgens $1/r$. In een ideale solenoïde zijn de veldlijnen binnenin vrijwel parallel en gelijkmatig verdeeld, waardoor het veld binnenin uniform blijft, behalve nabij de uiteinden. Dit homogeen veld is te danken aan het overlappen van de bijdragende veldlijnen van alle windingen.