Kracht op een bewegende lading in een magnetisch veld (Lorentzkracht)

Inleiding tot de Lorentzkracht op een bewegende lading

Definitie

De Lorentzkracht is de kracht die een geladen deeltje ondervindt wanneer het beweegt in een regio waar een magnetisch veld aanwezig is. Deze kracht ontstaat uitsluitend door de interactie tussen het bewegend geladen deeltje en het externe magnetisch veld. In tegenstelling tot elektrostatische krachten, die ook op stilstaande ladingen werken, treedt de Lorentzkracht enkel op bij een niet-nul snelheid in aanwezigheid van een magnetisch veld.

Belangrijke concepten

• De Lorentzkracht is specifiek voor situaties waar ladingen bewegen in een magnetisch veld.

• De kracht staat altijd loodrecht op zowel de bewegingsrichting van het deeltje als op de richting van het magnetisch veld.

• De Lorentzkracht is essentieel voor het begrijpen van het gedrag van geladen deeltjes in apparaten zoals massaspectrometers, cyclotrons, en in plasmafysica.

Formules en berekeningen

In deze inleiding wordt enkel het kwalitatieve aspect benadrukt: een bewegende lading in een magnetisch veld ondervindt een kracht, met richting gegeven door de rechterhandregel (voor positieve ladingen).

Praktijkvoorbeelden

1. Een elektron dat met hoge snelheid door een homogene magnetische veldzone beweegt zal een cirkelvormige baan beschrijven vanwege de Lorentzkracht die op elk moment loodrecht op de snelheid werkt.

2. In een massaspectrometer wordt de Lorentzkracht benut om geladen ionen met verschillende massa’s te scheiden op basis van hun krommingsstraal in een magnetisch veld.

Veel gemaakte fouten

• Veronderstellen dat een stilstaande lading ook een Lorentzkracht ondervindt is onjuist; een lading moet bewegen ten opzichte van het magnetisch veld.

• Vergeten dat de krachtvector altijd loodrecht staat op de bewegingsrichting, wat gevolgen heeft voor de resulterende baan van het deeltje.

Formule voor de Lorentzkracht

Definitie

De exacte waarde van de Lorentzkracht op een bewegend, geladen deeltje in een magnetisch veld wordt gegeven door de formule:

waarbij:

• $F_L$ de grootte is van de Lorentzkracht (in newton)

• $Q$ de geladenheid van het deeltje (in coulomb)

• $v$ de snelheid van het deeltje (in meter per seconde)

• $B$ de grootte van de magnetische inductie (in tesla)

• $\alpha$ de hoek tussen de bewegingsrichting van het deeltje (vector $v$) en de richting van het magnetisch veld (vector $B$)

Belangrijke concepten

• De Lorentzkracht is maximaal indien de bewegingsrichting van het deeltje loodrecht staat op het magnetisch veld ($\alpha = 90^\circ$), aangezien $\sin 90^\circ = 1$.

• Indien het deeltje evenwijdig aan het magnetisch veld beweegt ($\alpha = 0^\circ$), dan is $\sin 0 = 0$, dus ondervindt het geen Lorentzkracht.

• De formule is uitsluitend van toepassing op situaties waarin de snelheid van het deeltje relatief constant is zolang het in het homogeen magnetisch veld beweegt.

Formules en berekeningen

• Bij niet-loodrechte invalshoeken bepaalt de waarde van $\sin\alpha$ de fractie van de maximale Lorentzkracht. Dit vereist inzicht in het decompeneren van de snelheid in componenten evenwijdig en loodrecht op het magnetisch veld.

• Indien de hoek niet direct gegeven is, kan deze met vectoranalyses bepaald worden, bijvoorbeeld via scalaire producten van vectoren.

Praktijkvoorbeelden

1. Voorbeeld 1: Deeltje onderhoeks het veld in Een proton ($Q = 1,60 \times 10^{-19}$ C) beweegt met $v = 2,0 \times 10^6$ m/s onder een hoek van $45^\circ$ ten opzichte van een homogeen magnetisch veld met een veldsterkte $B = 0,50$ T. Gevraagd: Bereken de grootte van de Lorentzkracht. Oplossing: $$F_L = Q \cdot v \cdot B \cdot \sin\alpha = (1,60 \times 10^{-19}) \cdot (2,0 \times 10^6) \cdot 0,50 \cdot \sin 45^\circ$$ $$\sin 45^\circ \approx 0,707$$ $$F_L = 1,60 \times 10^{-19} \cdot 2,0 \times 10^6 \cdot 0,50 \cdot 0,707 = 1,13 \times 10^{-13} \text{ N}$$

2. Voorbeeld 2: Deeltje loodrecht het veld in Een alfa-deeltje ($Q = 3,2 \times 10^{-19}$ C) beweegt met $v = 1,0 \times 10^7$ m/s loodrecht ($\alpha = 90^\circ$) op een magnetisch veld van $B = 0,20$ T. Oplossing: $$F_L = Q \cdot v \cdot B \cdot \sin 90^\circ = 3,2 \times 10^{-19} \cdot 1,0 \times 10^7 \cdot 0,20 \cdot 1$$ $$F_L = 6,4 \times 10^{-13} \text{ N}$$

Veel gemaakte fouten

• Vergeten de hoek $\alpha$ correct te bepalen tussen de snelheidsvector en het magnetisch veld. Het is essentieel om enkel de component van de snelheid die loodrecht staat op het veld in de berekening te gebruiken.

• Foutief gebruik van de eenheden, vooral wanneer snelheid in kilometer per uur of veldsterkte in gauss gegeven is in plaats van SI-eenheden.

• Onterecht aannemen dat de kracht altijd maximaal is, zonder de oriëntatie van de bewegingsrichting ten opzichte van het magnetisch veld te controleren.

Richting van de stroom bij negatieve ladingen

Definitie

De conventionele stroomrichting wordt gedefinieerd als de richting waarin positieve ladingen zouden bewegen. Voor negatieve ladingen, zoals elektronen, is de richting van hun beweging dus tegengesteld aan de conventionele stroom.

Belangrijke concepten

• In veel contexten wordt gerekend met conventionele stroomrichting voor de eenduidigheid in formules; in werkelijkheid is het echter vaak een negatieve lading die beweegt (zoals in metalen geleiders).

• Lorentzkracht bij een negatieve lading heeft een tegengestelde richting ten opzichte van die bij een positieve lading, indien ze zich in exact dezelfde richting en hetzelfde magnetisch veld bevinden.

Formules en berekeningen

• Bij de bepaling van de krachtvector is het noodzakelijk de lading expliciet mee te nemen met het juiste teken.

• Voor de richting van de Lorentzkracht op negatieve ladingen moet men de rechterhandregel toepassen op de conventionele stroomrichting, of equivalent: gebruik maken van de linkerhandregel voor de werkelijke bewegingsrichting van de negatieve lading.

Praktijkvoorbeelden

1. Beweging van elektronen in een elektriciteitsdraad In een koperdraad waar elektronen bewegen van links naar rechts, is de conventionele stroomrichting van rechts naar links. Bij het bepalen van de Lorentzkracht op de elektronen moet men uitgaan van de werkelijke bewegingsrichting, niet de conventionele stroom.

2. Traject van elektronen in een kathodestraalbuis Kathodestralen (elektronenbundels) ondervinden in een magnetisch veld een afbuiging die tegengesteld is aan de richting waarin positieve ladingen zouden afbuigen. Dit heeft directe gevolgen voor het ontwerp van beeldbuizen en experimentele opstellingen met elektronenbundels.

Veel gemaakte fouten

• Verkeerd toepassen van de rechterhandregel zonder rekening te houden met het negatieve teken van de lading, waardoor de Lorentzkrachtrichting wordt omgekeerd.

• Aanname dat de bewegingsrichting van elektronen gelijk is aan de stroomrichting, terwijl deze altijd tegengesteld is bij negatieve ladingen.

Samenvatting

• De Lorentzkracht is de specifieke kracht die werkt op een geladen deeltje dat beweegt in een magnetisch veld, veroorzaakt door de interactie tussen de lading, de snelheidsvector en het veld.

• De formule $F_L = Q \cdot v \cdot B \cdot \sin\alpha$ beschrijft de exacte waarde, waarbij enkel de component van de snelheid loodrecht op het magnetisch veld bijdraagt.

• De kracht bereikt haar maximum bij loodrechte beweging ten opzichte van het veld en is nul bij parallelle beweging.

• Voor negatieve ladingen (zoals elektronen) is hun bewegingsrichting tegengesteld aan de conventionele stroomrichting; dit heeft directe implicaties voor de richting van de Lorentzkracht.

Oefenvragen

1. Een deeltje met lading [INLINE_EQUATION]-2,0 \times 10^{-19}[/INLINE_EQUATION] C beweegt met snelheid [INLINE_EQUATION]1,5 \times 10^6[/INLINE_EQUATION] m/s onder een hoek van [INLINE_EQUATION]30^\circ[/INLINE_EQUATION] ten opzichte van een homogeen magnetisch veld van [INLINE_EQUATION]0,60[/INLINE_EQUATION] T. Bereken de grootte en geef de richting van de Lorentzkracht. Antwoord: $$F_L = |Q| \cdot v \cdot B \cdot \sin\alpha = 2,0 \times 10^{-19} \cdot 1,5 \times 10^6 \cdot 0,60 \cdot \sin 30^\circ$$ $$\sin 30^\circ = 0,5$$ $$F_L = 2,0 \times 10^{-19} \cdot 1,5 \times 10^6 \cdot 0,60 \cdot 0,5 = 9,0 \times 10^{-14} \text{ N}$$ Aangezien de lading negatief is, is de richting van de Lorentzkracht tegengesteld aan de rechterhandregel.

2. Een elektron ( [INLINE_EQUATION]Q = -1,60 \times 10^{-19}[/INLINE_EQUATION] C) beweegt met [INLINE_EQUATION]3,0 \times 10^7[/INLINE_EQUATION] m/s rechtdoor in een magnetisch veld van [INLINE_EQUATION]0,10[/INLINE_EQUATION] T, waarbij het veld loodrecht op de bewegingsrichting staat. Wat is de grootte van de kracht en in welke richting werkt deze? Antwoord: $$F_L = |Q| \cdot v \cdot B = 1,60 \times 10^{-19} \cdot 3,0 \times 10^7 \cdot 0,10 = 4,8 \times 10^{-13} \text{ N}$$ De kracht staat loodrecht op zowel de snelheidsvector als het magnetisch veld en is volgens de linkerhandregel te bepalen voor elektronen.

3. Geef aan waarom de Lorentzkracht op een stilstaande lading in een homogeen magnetisch veld nul is, en waarom dit onderscheid fysisch relevant is voor de werking van cyclotrons. Antwoord: De Lorentzkracht vereist een niet-nul snelheid aangezien de snelheid expliciet in de formule voorkomt. In een cyclotron kunnen stilstaande deeltjes dus niet versneld worden door het magnetisch veld alleen. Pas op het moment dat het geladen deeltje begint te bewegen, ondervindt het de Lorentzkracht die de cirkelbeweging mogelijk maakt.

4. Beschrijf kwalitatief het verschil in de krommingsrichting van de banen van protonen en elektronen wanneer ze met gelijke snelheden een homogeen magnetisch veld binnenkomen onder eenzelfde hoek. Antwoord: Protonen (positieve lading) en elektronen (negatieve lading) zullen in tegengestelde richting om het veld afbuigen, omdat de Lorentzkrachtrichting afhankelijk is van het teken van de lading. Indien beiden met dezelfde snelheid en onder dezelfde hoek het veld betreden, beschrijven ze cirkelbogen met tegengestelde oriëntatie.