Elektromagnetische inductieverschijnselen, inductiewet van Faraday, wet van Lenz (kwalitatief)

Magnetische flux/stroom

Definitie

De magnetische flux door een oppervlak is een maat voor het aantal magnetische veldlijnen dat het oppervlak daadwerkelijk doorkruist. De flux wordt aangeduid met het symbool φ (phi) en wordt bepaald door het scalair product van het magnetisch veld B en het oppervlak A. In het geval van een homogeen magnetisch veld dat onder een hoek α ten opzichte van het normaalvlak van het oppervlak gericht is, luidt de definitie:

waarbij:

• B de grootte is van de magnetische inductie (in tesla, T),

• A de grootte van het oppervlak (in m²),

• α de hoek tussen het magnetisch veld en de normaal op het oppervlak is.

De eenheid van magnetische flux is de weber (Wb), waarbij 1 Wb = 1 T·m².

Belangrijke concepten

De magnetische flux wordt uitsluitend bepaald door die component van het magnetisch veld die loodrecht op het oppervlak A staat. Wanneer het magneetveld parallel loopt aan het oppervlak ($\alpha = 90^\circ$), zal de flux nul zijn, omdat er geen veldlijnen het oppervlak doorkruisen. Staat het veld precies loodrecht op het oppervlak ($\alpha = 0^\circ$), dan geeft de flux het product van B en A, het maximaal mogelijke aantal veldlijnen door het oppervlak.

Bij het doorlopen van een spoel met meerdere windingen, wordt de totale gekoppelde magnetische flux gelijk aan het aantal windingen $N$ vermenigvuldigd met de flux per winding:

Het effect van een variërende magnetische flux wordt zichtbaar wanneer het veld $B$, het oppervlak $A$, of de oriëntatie $\alpha$ in de tijd verandert. Elke verandering in flux door een spoel induceert – volgens de wetten van elektromagnetisme – een spanning die streeft naar het behouden van de oorspronkelijke toestand, zoals beschreven door de wet van Lenz.

Formules en berekeningen

Belangrijkste formules:

• Flux door een enkele winding: $$\phi = B \cdot A \cdot \cos \alpha$$

• Netto flux in een spoel met N windingen: $$\Phi_N = N \cdot B \cdot A \cdot \cos \alpha$$

• Inductiespanning U (EMF) in een spoel volgens de wet van Faraday: $$U = -N \cdot \frac{d\phi}{dt}$$

Deze formule geldt uitsluitend voor homogene magnetische velden; inhomogeniteit resulteert in lokaal variërende flux over het oppervlak, waardoor de berekening complexer wordt.

Interpretatie flux:

• *Positieve flux*: Het magnetisch veld wijst 'naar binnen' ten opzichte van het oppervlak (conventioneel bepaald).

• *Negatieve flux*: Het veld wijst 'naar buiten'.

• Een toename van de (positieve) flux induceert een tegenwerkend veld.

• Een afname van een (negatieve) flux leidt tot een geïnduceerd veld in dezelfde richting als het oorspronkelijke veld.

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Rotatie van een geleidend vlak in een magnetisch veld

Beschouw een spoel met 200 windingen ($N = 200$), oppervlakte per winding $A = 2,5 \times 10^{-3}\,\text{m}^2$, geplaatst in een homogeen magnetisch veld van $B = 0,15\,T$. De spoel roteert met een constante hoeksnelheid zodanig dat de hoek $\alpha$ tussen het normaalvlak en het veld verandert van $0^\circ$ naar $90^\circ$ in $0,50\,s$.

• Flux bij α = 0°: $$\phi_{0} = 0,15 \cdot 2,5 \times 10^{-3} \cdot \cos 0^\circ = 0,15 \cdot 2,5 \times 10^{-3} \cdot 1 = 3,75 \times 10^{-4} \text{ Wb}$$

• Flux bij α = 90°: $$\phi_{90} = 0,15 \cdot 2,5 \times 10^{-3} \cdot \cos 90^\circ = 0$$

• Verschil in flux: $$\Delta \phi = 0 - 3,75 \times 10^{-4} = -3,75 \times 10^{-4} \text{ Wb}$$

• Geïnduceerde spanning: $$U = -N \cdot \frac{\Delta \phi}{\Delta t} = -200 \cdot \left(\frac{-3,75 \times 10^{-4}}{0,5}\right) = 0,15 \text{ V}$$

Hier stamt het negatieve teken van de definitie, maar de opgewekte spanning zelf is positief (tegen de fluxverandering in).

Voorbeeld 2: Lineaire beweging van staaf in homogeen veld

Een metalen staaf van $L = 0,20\,m$ beweegt met een snelheid $v = 4,0\,m/s$ loodrecht op zichzelf door een homogeen magnetisch veld $B = 0,40\,T$.

De magnetische flux door het vlak wordt vergroot met een snelheid van v, dus: $$U = B \cdot v \cdot L = 0,40 \cdot 4,0 \cdot 0,20 = 0,32\ \text{V}$$

Hier is de opgewekte spanning over de einden van de staaf direct te berekenen.

Veel gemaakte fouten

• Verwarren van de hoek α: Studenten beschouwen vaak de hoek tussen het oppervlak en het veld, terwijl het altijd de hoek tussen het magnetisch veld en de normaal op het oppervlak betreft.

• Negeren van slechts de loodrechte component: Enkel de component van het magnetisch veld die loodrecht op het oppervlak staat, draagt bij aan de flux. Het beschouwen van de volledige grootte van B zonder projectie veroorzaakt fouten, zeker bij schuine hoeken.

• Toepassen van formules buiten het homogene veld: De standaardformules gelden alléén zolang het veld over het hele oppervlak uniform is.

• Foutieve interpretatie van de fluxrichting: Door het conventionele teken van α of het oriëntatiecriterium worden soms fluxwaarden van tegengestelde teken verward, waardoor de voorspelling van richting van geïnduceerde stroom fout loopt.

Magnetische inductie en inductiespanning

Definitie

Magnetische inductie beschrijft het fenomeen waarbij een veranderende magnetische flux in een gesloten elektrisch circuit een spanning (elektromotorische kracht, EMF) opwekt. Er zijn twee fundamentele situaties waarin inductie optreedt:

1. Het magnetisch veld verandert in de tijd ter plaatse van de geleider (bv. inschakelen/uitschakelen magneet);

2. De geleider beweegt met een snelheid $v$ door een statisch magnetisch veld.

In beide gevallen geldt: hoe sneller de flux verandert, hoe groter de geïnduceerde spanning.

Belangrijke concepten

• Fluxverandering veroorzaakt inductiespanning: Volgens de wet van Faraday wekt een tijdsafhankelijke flux door een spoel een spanning op evenredig met de veranderingstempo.

• Richting van de inductiestroom: Zodra door fluxverandering een EMF ontstaat, zal in een gesloten circuit een stroom gaan lopen die, volgens de wet van Lenz, een magnetisch veld opwekt dat de oorspronkelijke fluxverandering tegenwerkt.

• Effect afhankelijk van fluxnog: Bij een toename van flux (positieve verandering) wordt een tegenflux opgewekt; bij een afname (negatieve verandering) wordt een meeflux (in dezelfde richting als de oorspronkelijke) geïnduceerd.

• Eigenschappen spoel: Voor een lange, smalle spoel met $N$ windingen, lengte $L$, doorsnede $A$ en stroomsterkte $I$, is de intern opgewekte magnetische inductie homogeen. Ze hangt af van het aantal windingen per lengte ($n = N/L$) en de stroomsterkte $I$.

Formules en berekeningen

• Inductiespanning (Faraday): $$U = -N \cdot \frac{d\phi}{dt}$$ waarbij N het aantal windingen is en $\frac{d\phi}{dt}$ de afgeleide van de flux naar tijd.

• Inductiespanning bij bewegende geleidende staaf: $$U = B \cdot v \cdot L$$ Hier is B de grootte van het homogeen magnetisch veld, v de snelheid van de staaf loodrecht op het veld, en L de lengte van de staaf.

• Vergelijking spoel en staaf: - Spoel (fluxverandering via meerdere windingen): $$U = -N \cdot \frac{d\phi}{dt}$$ - Staaf (rechtlijnige beweging): $$U = B \cdot v \cdot L$$

• Faraday’s inductiewet: De elektromotorische kracht is gelijk aan het negatieve tempo waarin de magnetische flux doorheen de spoel verandert: $$EMF = -\frac{d\Phi}{dt}$$ Voor een spoel met meerdere windingen: $$EMF = -N \cdot \frac{d\phi}{dt}$$

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Inductiespanning bij fluxverandering in een spoel

Een spoel met $N = 500$ windingen, oppervlak $A = 4,0 \times 10^{-4} m^2$ per winding, is geplaatst in een homogeen $B = 0,30 T$. Het veld wordt in $0,10\,s$ volledig uitgeschakeld. Bereken de gemiddelde inductiespanning.

• Initiële flux per winding: $$\phi_{i} = B \cdot A = 0,30 \cdot 4,0 \times 10^{-4} = 1,2 \times 10^{-4} \text{ Wb}$$

• Eindflux: 0 Wb

• Δφ per winding: $$\Delta \phi = 0 - 1,2 \times 10^{-4} = -1,2 \times 10^{-4} \, \text{Wb}$$

• Totale ΔΦ (alle windingen): $$\Delta \Phi = N \cdot \Delta \phi = 500 \cdot (-1,2 \times 10^{-4}) = -0,06 \text{ Wb}$$

• Geïnduceerde spanning: $$U = -\frac{\Delta \Phi}{\Delta t} = -\frac{-0,06}{0,1} = 0,60 \text{ V}$$

De geïnduceerde spanning is gericht om de afname van het veld tegen te werken.

Voorbeeld 2: Bewegende staaf in railcircuit

Een staaf van $L = 0,50\,m$ schuift met $v = 3,0\,m/s$ over geleiders in een homogeen $B = 0,25\,T$. Gevraagd is de spanning tussen de uiteinden van de staaf.

Deze spanning is maximaal als de bewegingsrichting loodrecht staat op het veld.

Veel gemaakte fouten

• Verwarren van spoelformule en staafformule: Sommige studenten passen de formule voor een bewegende staaf foutief toe op een spoel en omgekeerd.

• Negeren van het negatieve teken in de Faraday-formule: Het negatieve teken is essentieel voor het bepalen van de correcte spanningsrichting volgens de wet van Lenz.

• Verwarren van snelheid en fluxverandering: Bij bewegende geleiders telt alleen de component van de snelheid die loodrecht op het veld en geleider staat (projectie); een component evenwijdig aan het veld wekt geen spanning op.

• Onterecht meetellen van A bij de staafformule: De juiste formule voor de bewegende staaf bevat geen oppervlakte, enkel B, v, en L.

Wet van Lenz

Definitie

De wet van Lenz beschrijft de richting van de geïnduceerde stroom wanneer de magnetische flux door een gesloten kring verandert. De geïnduceerde stroom werkt altijd zodanig dat haar magnetisch veld de oorzaak van de fluxverandering tegenwerkt. Deze tegenwerking is een direct gevolg van het behoud van energie (derde wet van Newton) op elektromagnetisch niveau.

Belangrijke concepten

• Tegenwerking van oorzaak: De geïnduceerde stroom streeft ernaar fluxveranderingen te compenseren. Dat wil zeggen, als een externe factor de flux door de spoel probeert te vergroten, zal de geïnduceerde stroom deze toename proberen tegen te werken door een tegenveld op te bouwen. Als de flux afneemt, streeft de geïnduceerde stroom ernaar een veld op te wekken dat de oorspronkelijke flux behoudt.

• Oorzaak-gevolg-structuur: Elke toename van de flux (hoe dan ook veroorzaakt: beweging magneet of veldwijziging) brengt een stroom op gang die de toename afremt; elke afname wekt een stroom op die de afname vertraagt.

• Toepassing op bewegende magneet: Beweegt een magneet naar een spoel toe zodat de flux toeneemt, zal in de spoel een stroom ontstaan met zo'n richting dat het magnetisch veld van de spoel zich tegen de binnendringende flux verzet.

Formules en berekeningen

De wet van Lenz zit vervat in het negatieve teken van de wiskundige formulering van Faraday’s inductiewet:

Het negatieve teken garandeert dat de geïnduceerde spanning altijd een stromingsrichting veroorzaakt die de initiële fluxverandering tegengaat.

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Magneet in spoel

Wordt een staafmagneet met de noordpool naar voren met toenemende snelheid in een spoel geduwd, dan wordt de flux door de spoel groter (onder de conventie dat het veld de spoel insteekt als positief wordt gekozen). De geïnduceerde stroomrichting is dan zo, dat het door de spoel opgewekte veld een noordpool aan de inkomende zijde vormt, dus zich tegen de naderende magneet keert.

Voorbeeld 2: Uittrekken van magneet uit spoel

Wordt een magneet uit de spoel verwijderd, dan neemt de flux door de spoel af. De spoel wekt een stroom op die een veld in stand probeert te houden met dezelfde polariteit als de verwijderde magneet, d.w.z. het effect van de fluxafname tracht tegen te gaan.

Veel gemaakte fouten

• Negeren van wet van Lenz bij richtingbepaling: Studenten bepalen soms de stroomrichting enkel op basis van vectoreigenschappen, zonder rekening te houden met de tegenwerking volgens Lenz.

• Onjuiste interpretatie van oorzaak-gevolg: Er wordt soms aangenomen dat de stroomrichting puur samenvalt met de veldrichting, zonder te beseffen dat deze zich richt tegen de verandering, niet tegen het veld zelf.

• Fout bij verandering van externe parameters: Bij het gelijktijdig wijzigen van meerdere variabelen (bijv. zowel veldsterkte als oppervlakte), wordt de dominante effectveroorzaker van de fluxverandering niet correct geïdentificeerd, wat leidt tot verkeerde conclusie over de richting van de geïnduceerde stroom.

Samenvatting

Elektromagnetische inductie is gebaseerd op het variëren van de magnetische flux doorheen een gesloten kring. De flux is het product van de magnetische inductie, het effectieve oppervlak en de oriëntatie, én telt enkel de veldcomponent loodrecht op het oppervlak. In een spoel met $N$ windingen wordt de totale flux $N$ keer die per winding.

Een veranderende flux door een kring – zowel door tijdsafhankelijk veld, verandering van oppervlak, als door beweging van een geleider in een veld – induceert een spanning, berekenbaar via de inductiewet van Faraday, waarbij het negatieve teken (wet van Lenz) de richtingsbepaling garandeert: de geïnduceerde stroomrichting werkt altijd de initiële fluxverandering tegen. Toepassingen vereisen correcte keuze van formules naargelang het scenario: variërende flux in een spoel versus beweging van een staaf. Correcte interpretatie van de hoek $\alpha$, projectie van veldcomponenten en oorzaak-gevolg-redenering zijn cruciaal om fouten te voorkomen.

Oefenvragen

Vraag 1

Een spoel met 250 windingen en oppervlakte per winding van $2,0 \times 10^{-3}\,\text{m}^2$ is zodanig georiënteerd dat de normaal op de winding een hoek van $60^\circ$ maakt met het homogeen magnetisch veld van $0,20\,T$. Het veld wordt in $12\,\text{ms}$ volledig uitgeschakeld. Bereken de gemiddelde geïnduceerde spanning over de spoel.

Antwoord 1

• Beginflux: $$\phi_{i} = B \cdot A \cdot \cos \alpha = 0,20 \cdot 2,0 \times 10^{-3} \cdot \cos 60^\circ = 0,20 \cdot 2,0 \times 10^{-3} \cdot 0,5 = 2,0 \times 10^{-4} \text{ Wb}$$

• Eindflux: 0 Wb

• Verschil in flux per winding: $$\Delta \phi = 0 - 2,0 \times 10^{-4} = -2,0 \times 10^{-4} \text{ Wb}$$

• Totale verandering: $$\Delta \Phi = N \cdot \Delta \phi = 250 \cdot (-2,0 \times 10^{-4}) = -0,05 \text{ Wb}$$

• Geïnduceerde spanning: $$U = -\frac{\Delta \Phi}{\Delta t} = -\frac{-0,05}{12 \times 10^{-3}} = 4,17 \text{ V}$$

Vraag 2

Een metalen staaf van $60\,\text{cm}$ beweegt met $5,0\,\text{m/s}$ loodrecht op een homogeen veld van $0,12\,T$. Bereken de opgewekte spanning tussen de uiteinden van de staaf.

Antwoord 2

Vraag 3

In welke richting loopt de geïnduceerde stroom als een magneet met de noordpool naar voren snel uit een spoel wordt getrokken?

Antwoord 3

Doordat de flux door de spoel afneemt (noordpool wordt verwijderd), zal in de spoel een stroom ontstaan die aan de zijde van vertrek (waar de magneet werd verwijderd) een noordpool vormt. Deze stroomrichting is zodanig dat het door de spoel opgewekte magnetisch veld de oorspronkelijke flux tracht te behouden (wet van Lenz).

Vraag 4

Een rechthoekige spoel (50 windingen, oppervlak per winding $8,0\,\text{cm}^2$) draait in een tijdsinterval van $25\,\text{ms}$ van een stand waarbij de normaal parallel loopt aan een homogeen magnetisch veld ($B = 0,40\,T$) naar een stand waarbij de normaal loodrecht op het veld staat. Bereken de gemiddelde geïnduceerde spanning tijdens deze rotatie.

Antwoord 4

• Beginnende hoek $\alpha = 0^\circ$, eindhoek $\alpha = 90^\circ$

• Beginflux: $$\phi_{i} = 0,40 \cdot 8,0 \times 10^{-4} \cdot \cos 0^\circ = 0,40 \cdot 8,0 \times 10^{-4} \cdot 1 = 3,2 \times 10^{-4} \text{ Wb}$$

• Eindflux: $$\phi_{f} = 0,40 \cdot 8,0 \times 10^{-4} \cdot \cos 90^\circ = 0$$

• Verschil: $$\Delta \phi = 0 - 3,2 \times 10^{-4} = -3,2 \times 10^{-4} \text{ Wb}$$

• Totale verandering: $$\Delta \Phi = 50 \cdot (-3,2 \times 10^{-4}) = -0,016 \text{ Wb}$$

• Geïnduceerde spanning: $$U = -\frac{\Delta \Phi}{\Delta t} = -\frac{-0,016}{25 \times 10^{-3}} = 0,64 \text{ V}$$