Magnetisch veld rond een rechte stroomvoerende geleider

Blok 1: Eigenschappen van het magnetisch veld rond een rechte stroomvoerende geleider

Definitie

Wanneer een elektrische stroom door een rechte, lange geleider loopt, ontstaat er een magnetisch veld rondom die geleider. Dit veld manifesteert zich in de vorm van conjunctieve veldlijnen die zich als concentrische cirkels sluiten rond de as van de geleider. De magnetische inductieve werking is hierbij direct gekoppeld aan de stroomsterkte in de geleider.

Belangrijke concepten

Het magnetisch veld dat gecreëerd wordt door een rechte stroomvoerende geleider is altijd circulair om de geleider gepositioneerd. De totale symmetrie van het probleem leidt ertoe dat de veldlijnen in vlakke cirkels liggen, waarbij elk vlak loodrecht staat op de stroomrichting van de geleider. De veldsterkte neemt af met toenemende afstand tot de geleider; op gelijkmatige afstand tot de geleider is de veldaanduiding overal identiek in grootte en richting binnen één concentrische cirkel. De oriëntatie van het magnetisch veld is zodanig dat het voor elke richting van de stroom de symmetrie respecteert: draait de stroomrichting om, dan draait het magnetisch veld eveneens.

Formules en berekeningen

De sterkte van het magnetisch veld op een afstand $r$ van het centrum van de draad wordt gegeven door de wet van Biot-Savart, die zich in deze context reduceert tot de formule:

$$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$$

Hierbij is:

• $B$: De magnetische inductie (in tesla, $T$)

• $\mu_0$: De permeabiliteitsconstante van het vacuüm ($4\pi \times 10^{-7}\, \text{T m/A}$)

• $I$: De stroomsterkte door de geleider (in ampère, $A$)

• $r$: De afstand tot het centrum van de geleider (in meter, $m$)

Deze relatie toont dat het magnetisch veld afneemt volgens een omgekeerd evenredig verband met de afstand tot de draad, en lineair toeneemt met de stroomsterkte.

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Een rechtdoorlopende koperdraad voert een elektrische stroom van $8,0 \ \text{A}$. Bereken de grootte van het magnetisch veld op $4,0\ \text{cm}$ van het midden van de draad.

Omrekening: $r = 4,0 \ \text{cm} = 0,040 \ \text{m}$.

Invullen in de formule:

$$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 8,0}{2\pi \times 0,040} = \frac{32\pi \times 10^{-7}}{2\pi \times 0,040}$$$$B = \frac{32 \times 10^{-7}}{2 \times 0,040} = \frac{32 \times 10^{-7}}{0,080} = 4,0 \times 10^{-6}\ \text{T}$$

Het magnetisch veld op $4,0\ \text{cm}$ van de draad bedraagt dus $4,0\ \mu\text{T}$.

Voorbeeld 2: Twee parallelle draden liggen op $12\ \text{cm}$ van elkaar en voeren elk een stroom van $5,0\ \text{A}$ in dezelfde richting. Bepaal het totale magnetische veld exact tussen de draden (dus op $6,0 \ \text{cm}$ van beide).

Voor één draad op $6,0\ \text{cm} = 0,060\ \text{m}$:

$$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 5,0}{2\pi \times 0,060} = \frac{20\pi \times 10^{-7}}{2\pi \times 0,060} = \frac{20 \times 10^{-7}}{0,120} = 1,7 \times 10^{-6} \ \text{T}$$

Aangezien de stromen in dezelfde richting lopen en de velden elkaar in het midden versterken (door de oriëntatie van de veldlijnen), is het totale veld:

$$B_{totaal} = 2 \times 1,7 \times 10^{-6}\ \text{T} = 3,4 \times 10^{-6} \ \text{T}$$

Veel gemaakte fouten

• Verkeerd inschatten van de ligging van de concentrische cirkels: soms worden veldlijnen getekend in plaats van in vlakken loodrecht op de draad, in de richting van de draad.

• Niet rekening houden met het omgekeerd evenredige karakter: studenten vermengen soms lineaire relaties met verhouding $1/r$.

• Verkeerd optellen van magnetische velden afkomstig van verschillende draden: men vergeet de oriëntatie en mogelijk tegengestelde richting van de individuele velden.

• Verwaarlozing van eenheidsconversie, bijvoorbeeld het vergeten om centimeters om te zetten naar meters, wat de uitkomst met een factor 100 beïnvloedt.

• Misinterpretatie van de constante $\mu_0$ en foutieve substitutie ervan.

Blok 2: Bepalen van de richting van het magnetisch veld – Eerste rechterhandregel

Definitie

De eerste rechterhandregel is een praktische visuele methode om de richting van het magnetisch veld rond een rechte stroomvoerende geleider eenduidig te bepalen. Volgens deze regel wijst de duim van de rechterhand in de richting van de conventionele stroom ($I$), terwijl de gekromde vingers de draairichting van de magnetische veldlijnen ($B$) volgen. Deze veldlijnen vormen concentrische cirkels in vlakken loodrecht op de geleider.

Belangrijke concepten

Bij toepassing van de eerste rechterhandregel is het cruciaal om altijd de conventionele stroomrichting (van positief naar negatief potentiaal) te hanteren, niet de elektronenstroom. De draairichting van het magnetisch veld volgt de krul van de vingers en bepaalt waar het veld naar binnen of naar buiten gericht is ten opzichte van een beschreven omwentelingszin.

Belangrijk hierbij is ook het driedimensionaal kunnen denken in het vlak rond de geleider. Wanneer men aan het uiteinde van de draad kijkt (de stroom komt naar je toe), dan draaien de veldlijnen tegen de wijzers van de klok in bij stroom naar je toe en met de klok mee als de stroom van je af loopt. Dit inzicht is essentieel voor correct gebruik van de regel in complexe configurations zoals bij kabelbundels of meervoudige geleiders.

De visuele associatie:

• Duim: Richting van $I$

• Gebogen vingers: Richting van $B$

Symbolisch kan men dit beschouwen als:

$$\text{Duim} \ \rightarrow \ \vec{I}, \quad \text{Gebogen vingers} \ \rightarrow \ \vec{B}$$

Formules en berekeningen

Hoewel de rechterhandregel een visuele en niet-mathematische truc is, blijft het toepasbaar binnen de context van vectoriële grootheden. In vectornotatie komt de richting van het magnetisch veld rond een draad overeen met het nemen van een cirkelvormige rotatie rond de stroomrichting, bepaald door de rechterhandregel.

Bij berekenen van het magnetisch veld moeten studenten altijd de richting volgens de rechterhandregel aangeven in hun uiteindelijke schets of vectoranalyse, vooral bij koppelingen van meerdere magnetische velden.

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Een stroom van $12\ \text{A}$ loopt verticaal omhoog door een koperdraad. Bepaal aan de oostzijde van de draad de richting van het magnetisch veld.

• Positioneer de rechterhand zodat de duim naar boven wijst (stroom omhoog).

• De gekromde vingers wijzen aan de oostkant van de draad naar het zuiden.

• Dus: op de oostkant van de draad is de veldrichting naar het zuiden gericht.

Voorbeeld 2: Twee geleiders liggen horizontaal op een tafel, beide voeren stroom van west naar oost. Bepaal op welk punt tussen deze geleiders de magnetische velden elkaar versterken.

• Beide duimen wijzen in de stromingsrichting (west naar oost).

• Tussen de draden krullen de vingers naar boven (omdat veldlijnen tegen de klok in lopen bij rug van de hand naar beneden).

• In het gebied tussen de draden zijn de veldlijnen homogeen omhoog georiënteerd, dus het magnetisch veld wordt daar versterkt.

Veel gemaakte fouten

• Gebruik van de linkerhand i.p.v. de rechterhand, wat tot volledig omgekeerde veldrichtingen leidt.

• Verwarring tussen de stroomrichting en de eigenlijke verplaatsing van negatieve ladingen, wat tot spiegelbeeldige veldlijnen leidt.

• Onvoldoende driedimensionale interpretatie, bv. het niet correct bepalen of het veld ‘in’ of ‘uit’ het blad wijst.

• Foutieve toepassing bij meervoudige draden, waarbij men de individuele vectoriële bijdrage per draad niet scheidt vooraleer te sommeren.

Blok 3: Visuele ondersteuning van de eerste rechterhandregel

 [PARAGRAPH] *Afbeelding: De rechterhand met gestrekte duim in de richting van de stroom, gekromde vingers duiden de draairichting van het magnetisch veld aan. De veldlijnen (B) vormen concentrische cirkels rond de geleider, overeenkomstig de krulrichting van de vingers.* [/PARAGRAPH] [HEADING level=2]Samenvatting[/HEADING] [UNORDERED_LIST] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH]Een rechte, stroomvoerende geleider wekt een magnetisch veld met concentrisch circulaire veldlijnen rondom de geleider, waarbij elk vlak loodrecht staat op de stroomrichting.[/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH]De grootte van het magneetveld op een afstand [INLINE_EQUATION]r[/INLINE_EQUATION] wordt kwantitatief bepaald door [INLINE_EQUATION]B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}[/INLINE_EQUATION].[/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH]De eerste rechterhandregel biedt een visuele methode om de draairichting van het veld te bepalen: duim in stroomrichting, gekromde vingers in de richting van het magnetisch veld.[/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH]Correcte toepassing vraagt om aandacht voor conventionele stroomrichting, driedimensionale positie en het onderscheid tussen inducerende geleiders.[/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [UNORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH]Visuele hulpmiddelen maken de relatie tussen stroom en veldrichting expliciet en ondersteunen correcte analyse bij complexe opstellingen.[/PARAGRAPH][/UNORDERED_LIST_ITEM] [/UNORDERED_LIST] [HEADING level=2]Oefenvragen[/HEADING] [ORDERED_LIST] [ORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH]Een verticale geleider voert een stroom van [INLINE_EQUATION]15\ \text{A}[/INLINE_EQUATION] naar boven. Wat is de grootte en richting van het magnetisch veld op [INLINE_EQUATION]5,0\ \text{cm}[/INLINE_EQUATION] ten oosten van de draad? [BOLD]Antwoord:[/BOLD] Grootte: [BLOCK_EQUATION]r = 0,050\ \text{m}[/BLOCK_EQUATION] [BLOCK_EQUATION]B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 15}{2\pi \times 0,050} = \frac{60\pi \times 10^{-7}}{2\pi \times 0,050} = \frac{60 \times 10^{-7}}{0,100} = 6,0 \times 10^{-6}\ \text{T}[/BLOCK_EQUATION] Richting: Met duim omhoog, gekromde vingers oostwaarts: richting veld is naar het zuiden.[/PARAGRAPH][/ORDERED_LIST_ITEM] [ORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH]Een rechte draad loopt in het horizontale vlak van noord naar zuid en draagt een stroom van [INLINE_EQUATION]10\ \text{A}[/INLINE_EQUATION]. Teken en geef aan in welke zin het magnetisch veld draait in bovenaanzicht wanneer de stroom naar het zuiden loopt. [BOLD]Antwoord:[/BOLD] Duim naar het zuiden gericht, vanuit bovenaanzicht draaien de veldlijnen tegen de klok in. Aan de oostzijde van de draad wijst het veld omlaag (in het blad), aan de westzijde omhoog (uit het blad).[/PARAGRAPH][/ORDERED_LIST_ITEM] [ORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH]Twee parallelle geleiders liggen [INLINE_EQUATION]20\ \text{cm}[/INLINE_EQUATION] uit elkaar en voeren elk een stroom van [INLINE_EQUATION]12\ \text{A}[/INLINE_EQUATION] in tegengestelde richting. Bepaal de grootte van het totale magnetisch veld exact in het midden tussen de draden. [BOLD]Antwoord:[/BOLD] Voor één draad: [BLOCK_EQUATION]r = 0,100\ \text{m}[/BLOCK_EQUATION] [BLOCK_EQUATION]B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 12}{2\pi \times 0,100} = \frac{48 \times 10^{-7}}{0,200} = 2,4 \times 10^{-6}\ \text{T}[/BLOCK_EQUATION] Doordat de stromen tegengesteld zijn, zijn de veldrichtingen in het midden tegengesteld, dus het totale veld bedraagt [INLINE_EQUATION]0\ \text{T}[/INLINE_EQUATION] (de vectoren heffen elkaar op).[/PARAGRAPH][/ORDERED_LIST_ITEM] [ORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH]Een stroomdraad voert een stroom van [INLINE_EQUATION]18\ \text{A}[/INLINE_EQUATION] en het gemeten magnetisch veld op [INLINE_EQUATION]3,5\ \text{cm}[/INLINE_EQUATION] is [INLINE_EQUATION]x\ \text{T}[/INLINE_EQUATION]. Bereken [INLINE_EQUATION]x[/INLINE_EQUATION], en vermeld de relevante eenhedenconversie. [BOLD]Antwoord:[/BOLD] [INLINE_EQUATION]r = 0,035\ \text{m}[/INLINE_EQUATION] [BLOCK_EQUATION]B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 18}{2\pi \times 0,035} = \frac{72 \pi \times 10^{-7}}{2\pi \times 0,035} = \frac{72 \times 10^{-7}}{0,070} = 1,03 \times 10^{-5}\ \text{T} [/BLOCK_EQUATION] [/PARAGRAPH][/ORDERED_LIST_ITEM] [ORDERED_LIST_ITEM][PARAGRAPH]Wat is het effect op de richting van het magnetisch veld als de stroom in een geleider wordt omgekeerd? [BOLD]Antwoord:[/BOLD] Het magnetisch veld draait volledig om: als de stroomrichting wordt omgekeerd, dan keert ook de draairichting van de veldlijnen, zoals aangegeven door de rechterhandregel.[/PARAGRAPH][/ORDERED_LIST_ITEM] [/ORDERED_LIST]