6.4 Kracht op stroomvoerende geleider in een magnetisch veld

Kracht op één stroomvoerende geleider in een magnetisch veld

Definitie

Wanneer een rechte geleider waar een elektrische stroom door loopt, zich in een extern magnetisch veld bevindt, ondervindt die geleider een kracht als gevolg van de wisselwerking tussen het bewegende ladingsdragers en het magnetisch veld. Deze kracht is de Lorentzkracht en werkt alleen op het deel van de geleider waarbinnen zich elektrische stroom en magnetisch veld bevinden. De grootte en richting van deze kracht wordt gegeven door het vectorieel product van stroomrichting en magnetisch veldsterkte.

Belangrijke concepten

• De Lorentzkracht op een stroomvoerende geleider hangt af van de stroomsterkte, de lengte van de geleider in het veld, de grootte van het extern magnetisch veld, én de oriëntatie (hoek) tussen stroomrichting en magnetisch veld.

• Alleen het component van de geleider dat loodrecht staat op het magnetisch veld draagt bij aan de krachtwerking.

• De richting van de kracht volgt uit de 3de rechterhandregel en is steeds loodrecht op zowel de stroomrichting als het magnetisch veld, zoals weergegeven door het vectorieel product.

Formules en berekeningen

De grootte van de kracht op een rechte, homogene geleider in een uniform magnetisch veld wordt gegeven door:

$$F = B \cdot I \cdot l \cdot \sin\alpha$$

waarbij:

• $F$: Lorentzkracht in Newton

• $B$: magnetische veldsterkte (Tesla)

• $I$: stroomsterkte (Ampère)

• $l$: effectieve lengte van de geleider in het magnetisch veld (meter)

• $\alpha$: de hoek tussen de richting van de stroomsterkte ($I$) en de veldlijnen van het magnetisch veld ($B$)

Specifieke gevallen:

• Maximale kracht: wanneer $\alpha = 90^\circ$, dus als de geleider loodrecht staat op het veld, geldt dat $\sin90^\circ = 1$, dus $$F_{max} = B \cdot I \cdot l$$

• Geen kracht: wanneer $\alpha = 0^\circ$, is de geleider evenwijdig aan het magnetisch veld, en is $F = 0$ omdat $\sin0 = 0$.

Het vectoriële karakter van deze kracht schrijft men als:

$$\vec{F} = I \cdot \vec{l} \times \vec{B}$$

waarbij het vectorieel product de richting bepaal via de rechterhandregel (zie verder).

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Maximale krachtwerking in een laboratoriumopstelling

Een geleider van $l = 0,40$ meter voert een stroom van $I = 2,50$ Ampère en bevindt zich in een homogeen magnetisch veld van $B = 0,80$ Tesla. De geleider staat loodrecht op het veld.

Berekening:

$$F = B \cdot I \cdot l = 0,80 \cdot 2,50 \cdot 0,40 = 0,80 \text{ Newton}$$

Voorbeeld 2: Geleider onder een hoek in het veld

In dezelfde opstelling als hierboven, maar nu hangt de geleider onder een hoek van $\alpha = 35^\circ$ ten opzichte van het magnetisch veld.

Berekening:

$$F = B \cdot I \cdot l \cdot \sin(35^\circ) = 0,80 \cdot 2,50 \cdot 0,40 \cdot 0,574$$$$F \approx 0,80 \cdot 2,50 \cdot 0,40 \cdot 0,574 \approx 0,459 \text{ Newton}$$

Richting van de kracht: 3de rechterhandregel (uitgeschreven handgebaren)

1. Houd je rechterhand open: Spreid de wijsvinger loodrecht uit van je handpalm; duim en vingers in rechte hoeken.

2. Richt de wijsvinger: Laat de wijsvinger wijzen in de richting van de stroom door de geleider ($I$), conventioneel van plus naar min.

3. Richt de middelvinger of 'gebogen vingers': Laat de overige vingers/handpalm buigen in de richting van het magnetisch veld ($B$), van noord naar zuidpool.

4. Duim: Laat de duim uitsteken; deze geeft de richting van de Lorentzkracht ($F$) aan.

Voorbeeld: Geleider loopt horizontaal van links naar rechts, magnetisch veld staat verticaal (van boven naar beneden): wijsvinger naar rechts ($I$), vingers naar beneden ($B$), duim wijst uit het blad naar de waarnemer toe ($F$).

Veel gemaakte fouten

• Vergeten om de hoek $\alpha$ correct in rekening te brengen, zeker als de geleider niet loodrecht op het veld staat.

• Verkeerde oriëntatie kiezen bij het toepassen van de rechterhandregel, onder meer door verwarring tussen lorentzkracht en veldrichting.

• Gebruik maken van de linkerhandregel i.p.v. de juiste (3de) rechterhandregel, wat leidt tot foutieve krachtvectoren.

• Het verwaarlozen van het feit dat het uitsluitend het deel van de geleider in het magnetisch veld is dat een kracht ondervindt.

Kracht tussen twee rechte, evenwijdige stroomvoerende geleiders

Definitie

Wanneer twee rechte, evenwijdige geleiders met elk een constante stroom zich op een zekere onderlinge afstand in een homogeen medium bevinden, oefenen zij via het door iedere geleider opgewekte magnetisch veld krachten op elkaar uit. Afhankelijk van de richting van de stromen zullen zij elkaar aantrekken of afstoten. Deze wisselwerking vormt de basis voor de definitie van de ampère in het SI-stelsel.

Belangrijke concepten

• Elke stroomvoerende geleider creëert rondom zich een concentrisch magnetisch veld.

• Dit veld veroorzaakt een krachtwerking op de andere geleider, helemaal bepaald door de grootte van beide stromen, de afstand tussen de geleiders en de lengte ervan.

• Het teken van de kracht (aantrekking of afstoting) hangt exclusief af van de relatieve stroomrichting.

• Dit vormt de basis van elektromagnetische compatibiliteit en wordt bijvoorbeeld benut in elektrische motoren, relais en magneetschakelaars.

• De computationele richting van de kracht op elke geleider moet bepaald worden a.d.h.v. een zorgvuldig toegepaste combinatie van rechterhandregels.

Formules en berekeningen

De grootte van de kracht die de ene geleider op de andere uitoefent (en omgekeerd) wordt bepaald door:

$$F = \mu \cdot \frac{I_1 \cdot I_2}{2\pi d} \cdot l$$

waarbij:

• $F$: grootte van de kracht op elke geleider (Newton)

• $\mu$: permeabiliteit van het medium (Henri per meter; $\mu_0$ in vacuüm $\approx 4\pi \cdot 10^{-7}$ H/m)

• $I_1, I_2$: stroom door respectievelijk eerste en tweede geleider (Ampère)

• $d$: afstand tussen de twee geleiders (meter)

• $l$: lengte van de geleiders die parallel aan elkaar in het veld liggen (meter)

Voor lange, dunne geleiders in lucht ($\mu \approx \mu_0$) geeft deze formule direct de waarde van de Lorentzkracht per lengte-eenheid.

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Twee geleiders met gelijke stroom in dezelfde richting

Twee lange, evenwijdige koperdraad-geleiders bevinden zich op $d = 0,020$ meter van elkaar. Beide voeren een gelijkstroom van $I_1 = I_2 = 5,0$ Ampère, lengte $l = 0,500$ meter, en bevinden zich in lucht ($\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}$ H/m).

Berekening:

$$F = \mu_0 \cdot \frac{I_1 \cdot I_2}{2\pi d} \cdot l = 4\pi \cdot 10^{-7} \cdot \frac{5,0 \cdot 5,0}{2\pi \cdot 0,020} \cdot 0,500$$$$= 2 \cdot 10^{-7} \cdot \frac{25}{0,020} \cdot 0,500$$$$= 2 \cdot 10^{-7} \cdot 1250 \cdot 0,500 = 2 \cdot 10^{-7} \cdot 625 = 1,25 \cdot 10^{-4} \ \text{N}$$

De kracht is aantrekking, omdat beide stromen in dezelfde richting lopen.

Voorbeeld 2: Twee geleiders met tegengestelde stroom

Stel dezelfde situatie, maar nu loopt $I_2$ in tegengestelde richting ten opzichte van $I_1$.

De kracht wordt even groot ($1,25 \cdot 10^{-4} \ \text{N}$), maar de aard van de kracht is afstoting vanwege de tegengestelde stroomrichtingen.

Controle van richtingen via rechterhandregels (zie hieronder).

Richting bepalen: stap-voor-stap rechterhandregels

Stap 1: Bepaling van het veld door de eerste geleider (1ste rechterhandregel):

• Pak de eerste geleider met de rechterhand, duim in stroomrichting ($I_1$).

• Gekromde vingers wijzen de draairichting van het eigen magnetisch veld ($B_1$) rondom de eerste geleider aan.

Stap 2: Bepaal kracht op tweede geleider (3de rechterhandregel):

• Plaats rechtse hand zodat wijsvinger naar $I_2$ wijst (stroom tweedaar).

• Gebogen vingers richting $B_1$ op de plaats van geleider 2.

• Duim geeft kracht weer op geleider 2.

Stap 3: Herhaal analoog voor tweede naar eerste geleider.

Resultaten:

• Stromen gelijk gericht: de geleiders trekken elkaar aan omdat hun magnetische velden tegen elkaar inwerken dat de kracht naar elkaar toe richt.

• Tegengestelde stromen: de geleiders stoten elkaar af omdat de magnetische velden elkaar versterken tussen de draden, duwend in tegengestelde zin.

Veel gemaakte fouten

• Onjuiste toepassing van de juiste rechterhandregel (verwisselen van de rollen van 1ste en 3de).

• Foutieve tegnkeuze bij de afstand $d$; het niet in rekening brengen dat de kracht evenredig afneemt met toenemende afstand.

• Verkeerd identificeren van aantrekkings- versus afstotingswerking, vooral bij complexe stroomdiagrammen.

• Negeren van de lengte $l$ die effectief binnen het magnetisch veld opereert, wat kan leiden tot onderschatting of overschatting van de kracht.

• Vergeten de permeabiliteit van het gebruikte medium correct in te vullen (vooral in niet-lucht/vacuüm situaties).

Samenvatting

• De Lorentzkracht op een rechte stroomvoerende geleider in een extern magnetisch veld wordt bepaald door $F = B \cdot I \cdot l \cdot \sin\alpha$, waarbij enkel het component van de geleider loodrecht op het veld relevant is.

• De maximale krachtwerking treedt op indien de geleider en het magnetisch veld loodrecht op elkaar staan.

• De richting van de kracht volgt uit de 3de rechterhandregel: wijsvinger in stroomrichting, vingers in veldrichting, duim wijst krachtvector aan.

• Wanneer twee evenwijdige geleidende draden elektrische stroom voeren, oefenen zij via hun respectieve magnetische velden aantrekking of afstoting uit. Het teken daarvan is volledig afhankelijk van de relatieve richting van de stromen.

• De kracht per lengte-eenheid tussen twee geleiders wordt gerekend via $F = \mu \cdot \frac{I_1 \cdot I_2}{2\pi d} \cdot l$, waarbij $\mu$ de permeabiliteit van het medium is.

• Systematische, correcte toepassing van de rechterhandregels is cruciaal voor de correcte bepaling van krachtvectoren en hun aard (aantrekking of afstoting).

Oefenvragen

1. Een geleider van 0,60 meter lang voert een stroom van 6,00 Ampère en ligt onder een hoek van 40° met een homogeen magnetisch veld van 0,50 Tesla. Bereken de grootte van de kracht op de geleider. *Antwoord:* $F = B \cdot I \cdot l \cdot \sin\alpha = 0,50 \cdot 6,00 \cdot 0,60 \cdot \sin(40^\circ)$ $F = 0,50 \cdot 6,00 \cdot 0,60 \cdot 0,643 \approx 1,16 \, \text{N}$

---

2. Twee parallelle geleiders van 0,350 meter lang zijn geplaatst op 10 millimeter van elkaar in lucht. Door geleider 1 loopt 3,5 Ampère, door geleider 2 loopt 4,0 Ampère in dezelfde richting. Bereken de op elke geleider werkende kracht. Is de kracht aantrekkend of afstotend? *Antwoord:* $d = 0,010 \, \text{m}$ $F = \mu_0 \cdot \frac{I_1 \cdot I_2}{2\pi d} \cdot l = 4\pi \cdot 10^{-7} \cdot \frac{3,5 \cdot 4,0}{2\pi \cdot 0,010} \cdot 0,350$ $= 2 \cdot 10^{-7} \cdot \frac{14,0}{0,010} \cdot 0,350 = 2 \cdot 10^{-7} \cdot 1400 \cdot 0,350 = 2 \cdot 10^{-7} \cdot 490 = 9,80 \cdot 10^{-5} \, \text{N}$ De kracht is aantrekkend want beide stromen lopen in dezelfde richting.

---

3. Een stroomvoerende geleider van 0,15 meter ligt volledig in een homogeen magnetisch veld van 1,60 Tesla. De stroomsterkte is 12,0 Ampère en de hoek tussen stroom en veld is 90°. Wat gebeurt er met de kracht op de geleider als men de stroomrichting omkeert? Bereken de grootte van de kracht. *Antwoord:* Bij omkering van de stroomrichting blijft de grootte van de kracht gelijk, maar de richting keert om. $F = B \cdot I \cdot l = 1,60 \cdot 12,0 \cdot 0,15 = 2,88 \, \text{N}$ Dus de kracht wijzigt van richting, maar de absolute waarde blijft $2,88 \, \text{N}$.

---

4. Twee rechte geleiders, beide 1,00 meter lang, dragen respectievelijk 8,0 Ampère en 2,0 Ampère, liggen op 0,02 meter in vacuüm. Stromen zijn tegengesteld. Bereken de tussenliggende kracht. *Antwoord:* $F = 2 \cdot 10^{-7} \cdot \frac{8 \cdot 2}{0,02} \cdot 1,00 = 2 \cdot 10^{-7} \cdot 16 / 0,02 = 2 \cdot 10^{-7} \cdot 800 = 1,60 \cdot 10^{-4} \, \text{N}$ Omdat de stromingen tegengesteld zijn, is de kracht afstotend.