Wet van Coulomb (Elektrische kracht tussen ladingen)

Eigenschappen van elektrische kracht

Definitie

De elektrische kracht is de interactiekracht tussen twee elektrische ladingen als gevolg van hun respectieve ladingstoestand.

Belangrijke concepten

• Elektrische krachten werken langs de verbindingslijn tussen de twee ladingen.

• De kracht tussen twee puntladingen is: - Aantrekkend als de ladingen tegengestelde tekens hebben (positief/negatief). - Afstotend als de ladingen hetzelfde teken hebben (beide positief of beide negatief).

• Voor een koppel van ladingen geldt steeds: - De kracht die lading Q₁ uitoefent op Q₂ is even groot als deze die Q₂ op Q₁ uitoefent, doch tegengesteld van richting. - De krachten zijn gelijk in grootte wegens de derde wet van Newton, doch wijzen in tegengestelde zin langs de verbindingslijn.

Formules en berekeningen

Niet van toepassing in deze sectie, wordt behandeld onder de Wet van Coulomb.

Praktijkvoorbeelden

Niet vereist in deze sectie volgens lesstructuur.

Veel gemaakte fouten

• Onterecht aannemen dat de richting van de kracht niet afhangt van het teken van de ladingen.

• Vergeten dat de elektrische kracht altijd wederkerig is qua grootte.

Wet van Coulomb – Formule en parameters

Definitie

De Wet van Coulomb beschrijft de grootte van de elektrische kracht tussen twee puntladingen in het vacuüm. Deze kracht is recht evenredig met het product van de absolute waarden van de ladingen en omgekeerd evenredig met het kwadraat van de afstand tussen de ladingen.

Belangrijke concepten

• Enkel geldig voor puntladingen of sferisch symmetrisch verdeelde ladingen (indien afstand veel groter is dan de grootte van de ladingen).

• De kracht werkt langs de verbindingslijn van de twee ladingen.

• Kracht ondervindt geen richtingsverandering bij verwisseling van Q₁ en Q₂, enkel teken kan wijzigen afhankelijk van ladingen.

• De sterkte van de kracht neemt sterk af bij toenemende afstand (kwadratische afname met r).

Formules en berekeningen

De algemene formule voor de kracht F tussen twee puntladingen Q₁ en Q₂ is:

waarbij:

• F₁₂: grootte van de kracht die Q₁ op Q₂ uitoefent

• F₂₁: grootte van de kracht die Q₂ op Q₁ uitoefent (gelijk aan F₁₂)

• Q₁, Q₂: ladingen in Coulomb (C)

• r: afstand tussen de ladingen in meter (m)

• k: Coulombconstante, $k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$ ≈ $8,99 \times 10^9 \; \text{Nm}^2/\text{C}^2$

• ε₀: permitiviteit van het vacuüm, $\varepsilon_0 = 8,854 \times 10^{-12} \; \text{C}^2/\text{Nm}^2$

De notatie $F_{12} = F_{21}$ wijst op de wederkerigheid van de kracht (Newtons derde wet).

Gedetailleerd rond richting en teken:

• De kracht is positief (afstotend) als Q₁Q₂ > 0, dus bij ladingen met hetzelfde teken.

• De kracht is negatief (aantrekkend) als Q₁Q₂ < 0, dus bij ladingen met tegengestelde tekens.

• Richting wordt conventioneel aangegeven met een vector, waarvan de zin bepaald wordt door de relatieve configuratie van Q₁ en Q₂. De grootte is steeds positief, het teken bepaalt de aard (afstotend of aantrekkend).

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Berekenen van de kracht tussen twee puntladingen met ongelijke ladingen

Twee ladingen, Q₁ = +4,00 × 10⁻⁶ C en Q₂ = -2,00 × 10⁻⁶ C, bevinden zich op een afstand r = 0,300 m in vacuüm. Bereken de grootte en de aard van de kracht.

Berekening:

• k = 8,99 × 10⁹ Nm²/C²

• Product Q₁ × Q₂ = (4,00 × 10⁻⁶ C) × (-2,00 × 10⁻⁶ C) = -8,00 × 10⁻¹² C²

• $$F = k \frac{Q_1 Q_2}{r^2} = 8,99 \times 10^9 \frac{-8,00 \times 10^{-12}}{(0,300)^2}$$

• $$= 8,99 \times 10^9 \frac{-8,00 \times 10^{-12}}{0,09}$$

• $$= 8,99 \times 10^9 \times -8,89 \times 10^{-11}$$

• $$F = -0,80 \; \text{N}$$

De kracht is 0,80 N aantrekkend (het minteken wijst op aantrekkende kracht).

Voorbeeld 2: Kracht tussen gelijknamige ladingen

Twee identieke ladingen Q₁ = Q₂ = +1,20 × 10⁻⁵ C bevinden zich op 0,50 m van elkaar. Bepaal de grootte en aard van de onderlinge kracht.

Berekening:

• Product Q₁ × Q₂ = (1,20 × 10⁻⁵)² = 1,44 × 10⁻¹⁰ C²

• $$F = k \frac{Q_1 Q_2}{r^2} = 8,99 \times 10^9 \frac{1,44 \times 10^{-10}}{0,25}$$

• $$= 8,99 \times 10^9 \times 5,76 \times 10^{-10}$$

• $$F = 5,18 \; \text{N}$$

De kracht is 5,18 N afstotend (positief teken betekent afstoting bij gelijke ladingen).

Veel gemaakte fouten

• Vergeten het kwadraat in de noemer te nemen (afstand kwadratisch invullen).

• Verkeerd invullen van het teken van de ladingen, wat leidt tot foutieve conclusie over de aard van de kracht (aantrekkend/afstotend).

• Negeren van de absolute waarde bij grootteberekeningen, hoewel het teken essentieel is voor de richting/aard.

• Verkeerde interpretatie van de Coulombconstante of verkeerd aflezen uit het formularium.

Resultante kracht bij meerdere ladingen

Definitie

Wanneer een testlading onder invloed staat van meerdere andere puntladingen, is de totale elektrische kracht het vectoriële resultaat van alle afzonderlijke Coulombkrachten afkomstig van deze ladingen. Dit wordt het superpositiebeginsel genoemd.

Belangrijke concepten

• De somkracht op een testlading is de vectoriële optelsom van alle individuele krachten volgens de Wet van Coulomb.

• De richting en grootte van elke individuele kracht worden bepaald volgens hetzelfde principe als bij twee ladingen, maar alle krachten worden vectorieel bijeengevoegd.

• Dit principe is fundamenteel voor de analyse van elektrische krachten in systemen met meer dan twee ladingen.

Formules en berekeningen

Voor een testlading q* die zich bevindt op een bepaalde positie in de ruimte tussen n andere ladingen q₁, q₂, ..., qₙ op afstanden r₁, r₂, ..., rₙ, geldt:

waarbij:

• q\*: testlading (C)

• qᵢ: i-de bronlading (C)

• rᵢ: afstand tussen q\* en qᵢ (m)

• [INLINE_EQUATION]\hat{r}_i[/INLINE_EQUATION]: eenheidsvector van qᵢ naar q\* (richting)

• k: Coulombconstante, zoals eerder gedefinieerd

Indien de krachten niet collineair zijn, moeten zij volgens de regels van de vectoroptelling (componentenwise som) bij elkaar worden opgeteld.

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Lineaire configuratie van drie ladingen

Gegeven drie ladingen op een rechte lijn: q₁ = +2,00 × 10⁻⁶ C bevindt zich op x = 0,00 m, q₂ = -3,00 × 10⁻⁶ C op x = 0,40 m en q\* = +1,00 × 10⁻⁶ C op x = 0,60 m. Bepaal de resultante elektrische kracht op q\*.

Kracht door q₁ op q\* (afstand = 0,60 m):

• F₁ op \* = k × q₁ × q\* / (0,60)² = 8,99 × 10⁹ × 2,00 × 10⁻⁶ × 1,00 × 10⁻⁶ / 0,36

• = 8,99 × 10⁹ × 2,00 × 10⁻¹² / 0,36

• = (17,98 × 10⁻³) / 0,36 = 49,9 × 10⁻³ = 0,0499 N

• Beide positief, kracht is afstotend: kracht wijst naar rechts (+x-richting).

Kracht door q₂ op q\* (afstand = 0,20 m):

• F₂ op \* = k × q₂ × q\* / (0,20)² = 8,99 × 10⁹ × (–3,00 × 10⁻⁶) × 1,00 × 10⁻⁶ / 0,04

• = 8,99 × 10⁹ × –3,00 × 10⁻¹² / 0,04 = –26,97 × 10⁻³ / 0,04 = –0,674 N

• Negatief krachtproduct: aantrekkingskracht, dus richting naar q₂ (naar links, –x-richting).

Som:

• Kracht naar rechts: 0,0499 N

• Kracht naar links: 0,674 N

• Gehele force: –0,6241 N ⇒ 0,624 N naar links

Dus de netto kracht op q\* werkt naar q₂ toe, met een grootte van 0,62 N.

Voorbeeld 2: Driehoekige opstelling

Lading q₁ = +5,00 × 10⁻⁶ C op (0,0), q₂ = –2,00 × 10⁻⁶ C op (3,0) cm, q\* = +1,00 × 10⁻⁶ C op (0,4) cm. Bepaal de grootte en richting van de krachten met vectorontbinding:

• F₁ en F₂ moeten elk opgesplitst worden in x- en y-componenten.

• Bereken afzonderlijk F₁, F₂ met bijbehorende richtingen.

• Tel componenten vectorieel op om de totaalkracht op q\* te vinden.

• Zie eindexamenopgaven voor volledig uitgewerkte vectoriële toepassingen.

Veel gemaakte fouten

• Enkel scalair optellen van krachten; negeren van richting als vectoriële grootheid.

• Vergissen in afstand tussen ladingen in configuraties waar ze niet lineair liggen.

• Verkeerde toepassing van het superpositiebeginsel (vergeten alle relevante ladingen te betrekken).

• Onjuiste interpretatie van richting bij negatieve krachten.

Samenvatting

• De elektrische kracht tussen twee ladingen is wederkerig en werkt volgens een wet van inverse kwadraten, zoals gedefinieerd door de Wet van Coulomb.

• De kracht is recht evenredig met het product van de ladingen en omgekeerd evenredig met het kwadraat van hun afstand. De Coulombconstante en de permitiviteit van het vacuüm zijn essentieel in de kwantitatieve beschrijving.

• De aard van de kracht (aantrekkend/afstotend) is bepaald door het teken van het ladingproduct.

• Bij aanwezigheid van meerdere ladingen wordt de netto kracht op een testlading gevonden door vectoriële sommatie (superpositiebeginsel) van alle individuele Coulombkrachten.

Oefenvragen

1. Twee puntladingen Q₁ = +6,00 × 10⁻⁶ C en Q₂ = –1,50 × 10⁻⁶ C bevinden zich op 25,0 cm afstand van elkaar in vacuüm. Bereken de grootte en het type van de kracht die Q₁ op Q₂ uitoefent. - Antwoord: k = 8,99 × 10⁹ Nm²/C² r = 0,250 m Q₁ × Q₂ = –9,00 × 10⁻¹² C² F = 8,99 × 10⁹ × (–9,00 × 10⁻¹²) / (0,250)² = 8,99 × 10⁹ × (–9,00 × 10⁻¹²) / 0,0625 = (–80,91 × 10⁻³) / 0,0625 ≈ –1,29 N Antwoord: De kracht is 1,29 N aantrekkend.

2. Een testlading q\* = +1,00 × 10⁻⁶ C bevindt zich even ver (0,300 m) van twee ladingen: q₁ = +2,00 × 10⁻⁶ C links en q₂ = –2,00 × 10⁻⁶ C rechts. Bereken de grootte, richting en aard van de resultante kracht op q\*. - Antwoord: F₁: Kracht van q₁ op q\* = 8,99 × 10⁹ × 2,00 × 10⁻⁶ × 1,00 × 10⁻⁶ / (0,300)² = 0,20 N naar rechts (afstotend). F₂: Kracht van q₂ op q\* = 8,99 × 10⁹ × (–2,00 × 10⁻⁶) × 1,00 × 10⁻⁶ / (0,300)² = –0,20 N naar links (aantrekkend). Resultante: 0,20 N naar rechts + 0,20 N naar rechts (want de aantrekkende kracht van q₂ werkt richting q₂, dus ook naar rechts). Totaal: 0,40 N naar rechts.

3. Beschrijf hoe de kracht tussen twee ladingen wijzigt indien zowel de grootte van beide ladingen verdubbeld wordt als hun onderlinge afstand met factor drie vergroot wordt. - Antwoord: F~ Q₁Q₂/r² Nieuwe kracht: F' = k × (2Q₁) × (2Q₂) / (3r)² = k × 4Q₁Q₂ / 9r² = (4/9) × oorspronkelijke kracht. De kracht wordt dus een factor 4/9 van de oorspronkelijke waarde.

4. Drie ladingen zijn in een gelijkzijdige driehoek van 10,0 cm zijde geplaatst: op de hoekpunten zitten A: +3,00 × 10⁻⁶ C, B: –3,00 × 10⁻⁶ C, C: +1,00 × 10⁻⁶ C. Bereken vectorieel de resulterende kracht op C (neem duidelijke richting, componenten en grootte). - Antwoord (*schets vereist op examen*): - Bereken afzonderlijk Fₐc (kracht van A op C) en Fᵦc (van B op C). - Fₐc is repulsief tussen A (+) en C (+), werkt langs zijde AC, richting van C weg van A. Fₐc = k × 3,00 × 10⁻⁶ × 1,00 × 10⁻⁶ / (0,10)² = 2,70 N - Fᵦc is attractief tussen B (–) en C (+), werkt langs zijde BC, richting van C naar B. Fᵦc = k × |–3,00 × 10⁻⁶ × 1,00 × 10⁻⁶| / (0,10)² = 2,70 N - Bereken de vectoriële som via componenten (hoek tussen krachten is 60°). Totaalkracht = √[Fₐc² + Fᵦc² + 2·Fₐc·Fᵦc·cos60°] = √[2,70² + 2,70² + 2 × 2,70 × 2,70 × 0,5] = √[7,29 + 7,29 + 7,29] = √21,87 ≈ 4,68 N - Richting: bisector tussen richting AC en BC, wijzend van het lijnstuk AB weg.