De verticale worp omhoog is een beweging waarbij een voorwerp of lichaam verticaal, recht omhoog wordt geworpen met een beginsnelheid, en vervolgens – onder invloed van de zwaartekracht – afremt tot het een maximumhoogte bereikt, waarna het omkeert en terugvalt naar het uitgangsniveau. Tijdens de gehele beweging werkt enkel de zwaartekracht als versnelling, zonder andere krachten of weerstand.

De verticale worp omhoog behoort tot de categorie 'eenparig versneld rechtlijnige beweging'. De afgeleide bewegingsvergelijkingen gelden over de gehele op- en neerwaartse beweging zolang alleen zwaartekracht werkt.

Voorbeeld 1: Een bal wordt verticaal omhoog geworpen vanaf de grond met een beginsnelheid van $15\ \text{m} \cdot \text{s}^{-1}$. Tijdens de opwaartse beweging neemt de snelheid elke seconde met $9,8\ \text{m} \cdot \text{s}^{-1}$ af, tot de snelheid nul is op het hoogste punt. De neerwaartse beweging start dan met een snelheid van $0\ \text{m} \cdot \text{s}^{-1}$ en versnelt opnieuw met $9,8\ \text{m} \cdot \text{s}^{-2}$ tot de bal de grond bereikt.

Voorbeeld 2: Een steen wordt omhoog gegooid vanaf een brug $5\ \text{m}$ boven de grond. De steen stijgt eerst tot een maximum, keert dan om, en valt voorbij het startpunt door tot op de grond. Over heel het traject is steeds enkel de gravitationele versnelling $g$ de relevante versnelling.

Bij het beschrijven van de verticale worp omhoog wordt altijd een assenstelsel gekozen waarbij de positieve y-as naar boven gericht is. Het is conventie om het vertrekpunt als oorsprong te nemen.

Voorbeeld van toepassing van tekenafspraken in de bewegingsvergelijking:

Voorbeeld 1: Bij een oefening waarbij een object vanaf de grond ($x_0 = 0$) wordt opgeworpen, geldt: $g = -9,8\ \text{m} \cdot \text{s}^{-2}$ in de formule.

Voorbeeld 2: Wanneer een voorwerp vanaf een balkon (boven het nulpunt) wordt weggegooid, stem je $x_0$ overeen met de hoogte van het balkon, bv. $x_0 = 8\ \text{m}$, maar de negatieve versnelling g blijft gehandhaafd.

De bewegingsvergelijking voor de positie in een verticale worp omhoog beschrijft de hoogte $x$ van het object als functie van de tijd $t$, uitgaande van het vertrekpunt, de beginsnelheid en de constante zwaartekrachtversnelling.

Algemene formule:

Waarbij:

Voorbeeld van correcte notatie in een situatie waarbij een voorwerp vanop $x_0 = 3,0\ \text{m}$ met $v_0 = 12,5\ \text{m} \cdot \text{s}^{-1}$ wordt omhooggeworpen:

Voorbeeld 1: Een object wordt vanaf grondniveau ($x_0 = 0$) met een beginsnelheid van $20\ \text{m} \cdot \text{s}^{-1}$ verticaal omhoog geworpen. Positievergelijking: $$x(t) = 0 + 20t - 9,8 \cdot \frac{t^2}{2} = 20t - 4,9t^2$$ Gevorderde toepassing: Op welke tijdstippen bereikt het object weer het startniveau? Los: $0 = 20t - 4,9t^2$ $t_1 = 0$ (vertrek), $t_2 = \dfrac{20}{4,9} \approx 4,08\ \text{s}$.

Voorbeeld 2: Een voorwerp vertrekt van $x_0 = 2,0\ \text{m}$ hoogte, met $v_0 = 16,0\ \text{m} \cdot \text{s}^{-1}$. $x(t) = 2,0 + 16,0t - 4,9t^2$ Vraag: Hoelang duurt het voordat het object terug op grond ($x = 0$) is? Los op: $0 = 2,0 + 16,0t - 4,9t^2$ $\Rightarrow 4,9t^2 - 16,0t - 2,0 = 0$ Gebruik de kwadratische oplossing.

De snelheid als functie van de tijd bij een verticale worp omhoog volgt rechtstreeks uit de definities van eenparig versneld bewegen onder invloed van een constante versnelling.

De bewegingsvergelijking voor de snelheid bij een verticale worp omhoog luidt:

Met:

Voorbeeld 1: Een kogel vertrekt met $v_0 = 18,0\ \text{m} \cdot \text{s}^{-1}$ omhoog. Snelheid na $t = 1,5\ \text{s}$: $v = 18,0 - 9,8 \times 1,5 = 18,0 - 14,7 = 3,3\ \text{m} \cdot \text{s}^{-1}$ (object stijgt nog steeds, zij het traag).

Voorbeeld 2: Hoelang duurt het tot het hoogste punt bereikt wordt (waar $v = 0$)? Los: $0 = v_0 - g t \rightarrow t_\text{max} = \frac{v_0}{g}$. Bij $v_0 = 24,0\ \text{m} \cdot \text{s}^{-1}$: $t_\text{max} = \frac{24,0}{9,8} \approx 2,45\ \text{s}$

Een speciaal geval van de verticale worp is de situatie waarbij een object uit volledige rust wordt losgelaten en dus geen beginsnelheid meekrijgt.

Voorbeeld 1: Een steen laat men los van een balkon van $10\ \text{m}$ hoogte. De positie als functie van tijd: $x(t) = 10 - 4,9 t^2$

Voorbeeld 2: Na hoe lang bereikt de steen de grond? Los: $0 = 10 - 4,9 t^2 \rightarrow t = \sqrt{\frac{10}{4,9}} \approx 1,43\ \text{s}$

De maximale hoogte die een object bij een verticale worp omhoog bereikt, is het hoogste punt ten opzichte van het vertrekpunt, op het tijdstip waarop de verticale snelheid momentaan nul is.

Start: snelheid op het hoogste punt is nul: $v = v_0 - g t_\text{max} = 0 \rightarrow t_\text{max} = \frac{v_0}{g}$ Vul dit tijdstip in de positievergelijking: $$\begin{align*} \Delta h &= x(t_\text{max}) - x_0 \\ &= v_0 t_\text{max} - g \frac{(t_\text{max})^2}{2} \\ &= v_0 \frac{v_0}{g} - g \frac{1}{2} \frac{v_0^2}{g^2} \\ &= \frac{v_0^2}{g} - \frac{v_0^2}{2g} = \frac{v_0^2}{2g} \end{align*}$$ De uiteindelijke formule: $$\Delta h = \frac{v_0^2}{2g}$$

Voorbeeld 1: Een voorwerp wordt met $v_0 = 19,6\ \text{m} \cdot \text{s}^{-1}$ recht omhoog gegooid. $\Delta h = \frac{(19,6)^2}{2 \times 9,8} = \frac{384,16}{19,6} = 19,6\ \text{m}$

Voorbeeld 2 (complexer): Een atleet springt verticaal met een startsnelheid van $5,6\ \text{m} \cdot \text{s}^{-1}$ vanaf een platform $2,5\ \text{m}$ boven de grond. De maximale relatieve hoogte boven het platform is: $\Delta h = \frac{(5,6)^2}{2 \times 9,8} = \frac{31,36}{19,6} \approx 1,60\ \text{m}$. De totale hoogte boven de grond: $2,5 + 1,60 = 4,10\ \text{m}$.

Een correcte schematische illustratie van de verticale worp toont het volledige bewegingsverloop van een object van vertrek, via maximale hoogte, tot terug bij het startpunt of onderliggend niveau.