Radioactief Verval – Halveringstijd, Desintegratieconstante, Activiteit (Becquerel), Vervalwet

Radioactief verval en kerntransformatie

Definitie

Radioactief verval is een spontaan kernproces waarbij een instabiele atoomkern stabiliteit nastreeft door te transformeren in een andere kern. Deze transformatie gebeurt onder uitzending van bepaalde deeltjes of straling. Afhankelijk van het specifieke type kernverval kunnen er drie hoofdsoorten van emissie optreden:

• Alfaverval (α): Uitzending van een alfadeeltje, wat overeenkomt met een heliumkern (2 protonen en 2 neutronen).

• Bètaverval (β): Uitzending van een bètadeeltje, wat kan overeenkomen met een elektron ($\beta^-\,$) of een positron ($\beta^+\,$), met bijkomende omzetting van een neutron naar een proton, of omgekeerd.

• Gammastraling (γ): Uitzending van een energierijke elektromagnetische golf (foton) door een geëxciteerde kern om overtollige energie kwijt te raken, meestal zonder verandering van het massagetal of atoomnummer.

Belangrijke concepten

• Radioactief verval resulteert meestal in de vorming van een ander element, omdat het atoomnummer van de oorspronkelijke kern verandert (behalve bij puur γ-verval).

• De aard van het uitgestraalde deeltje bepaalt het nieuwe element en het massagetal van het gevormde nuclide.

• Deze processen verlopen volledig spontaan en kunnen niet versneld of afgeremd worden door externe invloeden zoals temperatuur, druk of chemische bindingen.

Formules en berekeningen

In deze introductiesectie worden géén formules geïntroduceerd.

Praktijkvoorbeelden

• Alfaverval: Uranium-238 ($^{238}_{92}U$) ondergaat α-verval en verandert in thorium-234 ($^{234}_{90}Th$) onder uitzending van een alfadeeltje.

• Bètaverval: Koolstof-14 ($^{14}_{6}C$) vervalt via $\beta^-\,$-verval naar stikstof-14 ($^{14}_{7}N$) met de uitzending van een negatief geladen elektron en een antineutrino.

Veel gemaakte fouten

• Veranderen van het massagetal bij puur γ-verval, terwijl dit ongewijzigd blijft omdat alleen energie wordt uitgestraald.

• Verwarren van het type straling met het vervalproduct: enkel bij α- en β-verval verandert het atoomnummer.

Desintegratiesnelheid en halveringstijd

Definitie

Desintegratiesnelheid

De desintegratiesnelheid is de snelheid waarmee het aantal radioactieve kernen in een bepaalde stof afneemt. Deze snelheid is een inherente eigenschap van het betreffende radionuclide en wordt niet beïnvloed door chemische of fysische externe factoren. Dit betekent dat de snelheid van desintegratie gelijk blijft onder verschillende omstandigheden en uitsluitend bepaald wordt door de kernstructuur van het nuclide.

Halveringstijd ($t_{1/2}$)

De halveringstijd is de tijdsduur die nodig is om de helft van het oorspronkelijk aanwezige aantal radioactieve kernen te laten vervallen. Deze grootheid heeft voor elk nuclide een karakteristieke, constante waarde en wordt genoteerd als $t_{1/2}$.

Belangrijke concepten

• De desintegratiesnelheid is niet afhankelijk van factoren zoals temperatuur, druk, chemische omgeving, magnetisch veld of fysische aggregatietoestand.

• De halveringstijd is volledig uniek voor elke isotopische kernsoort en fundamenteel voor toepassingen zoals dateringsmethodes of medische behandelingen.

• Radionucliden met een korte halveringstijd vervallen sneller en zijn meestal minder stabiel op korte termijn. Radionucliden met een lange halveringstijd zijn langdurig detecteerbaar en worden veel gebruikt voor dateringsdoeleinden.

Formules en berekeningen

In deze sectie worden nog geen concrete berekeningen uitgewerkt, maar wel de notaties:

• $t_{1/2}$ – halveringstijd, vaak in seconden, minuten, jaren (afhankelijk van het radionuclide).

• Desintegratiesnelheid beschrijft het verval per tijdseenheid, zonder specifieke formule op dit punt.

Praktijkvoorbeelden

• Iodium-131 ($^{131}_{53}I$) heeft een halveringstijd van ongeveer 8 dagen. Dit betekent dat na 8 dagen nog 50 procent van de oorspronkelijke hoeveelheid aanwezig is.

• Plutonium-239 ($^{239}_{94}Pu$) heeft een halveringstijd van ongeveer 24 100 jaar. Na die tijd is de resterende hoeveelheid tot de helft herleid.

Veel gemaakte fouten

• Denken dat halveringstijd te beïnvloeden is door chemische bewerking of fysieke omstandigheden.

• Verwarren van halveringstijd met gemiddelde levensduur van een kern, hoewel deze grootheden aan elkaar verwant zijn, maar niet identiek.

Radioactieve vervalwet (formules en parameters)

Definitie

De radioactieve vervalwet is een exponentiële wetmatigheid die het verband weergeeft tussen het aantal nog aanwezige radioactieve deeltjes op een bepaald tijdstip en het beginaantal. De wet beschrijft het continu en exponentieel karakter van het vervalproces.

Belangrijke concepten

• De wetmatigheid is altijd exponentieel dalend: het aantal radioactieve kernen halveert telkens in een tijdsinterval gelijk aan de halveringstijd.

• Er zijn twee gebruikelijke vormen om het tijdsverloop van het aantal radioactieve kernen uit te drukken: met de natuurlijke logaritme (e-macht) en met de halveringsformule (macht van 2).

• De desintegratieconstante ($\lambda$) speelt een centrale rol en is een unieke waarde voor elk nuclide die aangeeft hoe snel het verval verloopt.

Formules en berekeningen

De algemene vormen van de vervalwet:

• Exponentialevorm met natuurlijke logaritme: $$N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$$

• Halveringstijdformule (macht van 2): $$N(t) = N_0 \cdot 2^{-\frac{t}{t_{1/2}}}$$

• Parameterdefinities: - $N_0$: Beginaantal radioactieve kernen op $t = 0$ - $N(t)$: Aantal kernen aanwezig op tijdstip $t$ - $t$: Tijd sinds het begin van het verval - $t_{1/2}$: Halveringstijd - $\lambda$: Desintegratieconstante (eenheid: s$^{-1}$)

• Relatie tussen [INLINE_EQUATION]\lambda[/INLINE_EQUATION] en [INLINE_EQUATION]t_{1/2}[/INLINE_EQUATION]: $$\lambda \cdot t_{1/2} = \ln 2 \approx 0,693$$

• Omrekenen van aantallen deeltjes naar mol of massa: deel het aantal deeltjes door het Avogadrogetal $N_A = 6,022 \times 10^{23}$ om het aantal mol te vinden.

Praktijkvoorbeelden

• Voorbeeld 1: Berekenen van overblijvend radioactief materiaal na een tijd t Gegeven: 1 mg Cesium-137 ($t_{1/2} = 30,1$ jaar), oorspronkelijk $N_0$. Hoeveel blijft er over na 90,3 jaar? $$t = 90,3 \text{ jaar} = 3 \cdot t_{1/2}$$ $$N(t) = N_0 \cdot 2^{-\frac{t}{t_{1/2}}} = N_0 \cdot 2^{-3} = N_0 \cdot \frac{1}{8}$$ Dus na 90,3 jaar resteert 1/8 van het oorspronkelijke aantal kernen.

• Voorbeeld 2: Werken met de desintegratieconstante Stel: Iodium-131 ($t_{1/2} = 8,02$ dagen). Bereken $\lambda$. $$\lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{0,693}{8,02} = 0,0864 \ \text{dag}^{-1}$$

Veel gemaakte fouten

• In de exponent bij de halveringsformule met 2 het quotiënt $t_{1/2}/t$ gebruiken in plaats van $t/t_{1/2}$.

• Verkeerd gebruik van logaritmen bij omrekenen tussen e-macht en macht van 2.

• Onjuiste toepassing van eenheden, bijvoorbeeld $t$ invullen in andere eenheden dan $t_{1/2}$, wat tot fouten in de macht leidt.

Activiteit van een radioactieve stof

Definitie

De activiteit van een radioactieve stof geeft het aantal kernen dat per tijdseenheid vervalt, oftewel het verval per seconde. Activiteit is een maat voor de radioactieve intensiteit van de stof of het monster.

Belangrijke concepten

• Activiteit neemt in de loop van de tijd exponentieel af volgens dezelfde wet als het aantal kernen.

• De activiteit is op elk moment evenredig met het aantal resterende radioactieve kernen.

• Beginactiviteit ($A_0$) is de activiteit op $t = 0$, gerelateerd aan het beginaantal en de desintegratieconstante.

Formules en berekeningen

• Algemene definitie: $$A = \left| \frac{dN}{dt} \right|$$

• Activiteit als functie van tijd: $$A = \lambda \cdot N_0 \cdot e^{-\lambda t}$$ $$A = A_0 \cdot e^{-\lambda t}$$ $$A = A_0 \cdot 2^{-\frac{t}{t_{1/2}}}$$

• Verband tussen activiteit en aantal kernen: $$A_0 = \lambda \cdot N_0$$

• Relatie tussen [INLINE_EQUATION]\lambda[/INLINE_EQUATION] en [INLINE_EQUATION]t_{1/2}[/INLINE_EQUATION]: $$\lambda \cdot t_{1/2} = 0,693 = \ln 2$$

• Eenheid: - Becquerel (Bq): 1 Bq = 1 verval per seconde (SI-eenheid) - Oude eenheid: Curie (Ci), maar deze wordt niet meer aanbevolen

Praktijkvoorbeelden

• Voorbeeld 1: Bepalen van activiteit na een gegeven tijd Een tritiumbron ($^3H$) heeft een beginactiviteit van 500 MBq. Halveringstijd is 12,3 jaar. Bereken de activiteit na 24,6 jaar (2 halveringstijden). $$A = A_0 \cdot 2^{-\frac{t}{t_{1/2}}} = 500\,\mathrm{MBq} \cdot 2^{-2} = 500\,\mathrm{MBq} \cdot \frac{1}{4} = 125\,\mathrm{MBq}$$

• Voorbeeld 2: Oorspronkelijk aantal kernen bepalen uit gemeten activiteit Gegeven: $A_0 = 1,00 \times 10^6$ Bq, $t_{1/2} = 2,00$ dagen. Daaruit: $$\lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{0,693}{2,00} = 0,3465\,\mathrm{d}^{-1}$$ $$N_0 = \frac{A_0}{\lambda} = \frac{1,00 \times 10^6}{0,3465} = 2,88 \times 10^6$$ Dit aantal kernen was bij aanvang aanwezig.

Veel gemaakte fouten

• Verkeerde ophaling van de eenheid, bijvoorbeeld activiteit in curie invullen terwijl becquerel vereist is.

• Vergeten om tijdseenheden te converteren (bijvoorbeeld $t_{1/2}$ in dagen, $t$ in uren) vóór invullen in de activiteitenformule.

• Verwarren van beginactiviteit ($A_0$) met resterende activiteit ($A$).

Samenvatting

• Radioactief verval betreft de omzetting van instabiele kernen naar stabielere, vaak onder uitzending van α-, β- en eventueel γ-straling, waardoor een element in een ander element overgaat.

• De desintegratiesnelheid is karakteristiek voor elke kernsoort en onafhankelijk van chemische of fysische omgevingsfactoren.

• De halveringstijd ($t_{1/2}$) is de specifieke tijd waarin de helft van de aanwezige radioactieve kernen vervalt; dit ligt vast voor elke kernsoort.

• De radioactieve vervalwet beschrijft het exponentieel dalende verloop van het aantal kernen ($N(t)$) met tijd, via $N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$ of $N(t) = N_0 \cdot 2^{-t/t_{1/2}}$.

• De desintegratieconstante ($\lambda$) en de halveringstijd hangen samen via $\lambda \cdot t_{1/2} = \ln 2$.

• De activiteit ($A$) is het aantal vervallen kernen per seconde; wordt berekend via $A = \left| \frac{dN}{dt} \right|$ en heeft als SI-eenheid de becquerel (Bq).

• Activiteit en het aantal kernen dalen synoniem aan elkaar; beide volgen dezelfde exponentiële vervalkromme.

Oefenvragen

1. Een radioactief monster bevat oorspronkelijk [INLINE_EQUATION]4,00 \times 10^{16}[/INLINE_EQUATION] kernen met een halveringstijd van 10,0 dagen. - a) Bereken het aantal resterende kernen na 30,0 dagen. - b) Bereken de desintegratieconstante $\lambda$ in dagen$^{-1}$. - c) Hoeveel procent van het monster is dan vervallen? Antwoorden: a) $t = 3 \cdot t_{1/2} \rightarrow N(t) = N_0 \cdot 2^{-3} = 4,00 \times 10^{16} \cdot \frac{1}{8} = 5,00 \times 10^{15}$. b) $\lambda = \frac{0,693}{10,0} = 0,0693\,\mathrm{d}^{-1}$. c) Vervallen fractie: $1 - \frac{5,00 \times 10^{15}}{4,00 \times 10^{16}} = 0,875 = 87,5\%$.

2. Er wordt een monster Uranium-232 gemeten op [INLINE_EQUATION]t = 0[/INLINE_EQUATION] (beginactiviteit [INLINE_EQUATION]A_0 = 1,8[/INLINE_EQUATION] MBq, halveringstijd [INLINE_EQUATION]t_{1/2} = 68,9[/INLINE_EQUATION] jaar). - a) Wat is de activiteit na 206,7 jaar? - b) Hoeveel uranium-232 kernen bevatte het monster oorspronkelijk? Antwoorden: a) $t = 3 \cdot t_{1/2} \Rightarrow A = A_0 \cdot 2^{-3} = 1,8\,\mathrm{MBq} \cdot \frac{1}{8} = 0,225\,\mathrm{MBq}$. b) $\lambda = \frac{0,693}{68,9} = 0,01006\,\mathrm{j}^{-1}$. $N_0 = \frac{A_0}{\lambda} = \frac{1,8 \times 10^6}{0,01006} = 1,79 \times 10^8$.

3. Een laborant heeft een radioactieve stof met een activiteit van 250 kBq. De halveringstijd is 4,0 uur. Hoeveel activiteit blijft er na 10,0 uur? Antwoord: $n = \frac{10,0}{4,0} = 2,5$ halveringstijden $A = 250\,\mathrm{kBq} \cdot 2^{-2,5} = 250\,\mathrm{kBq} \cdot 0,1768 = 44,2\,\mathrm{kBq}$.

4. Bepaal bij 50 gram Polonium-210 ([INLINE_EQUATION]t_{1/2} = 138[/INLINE_EQUATION] dagen): - a) De desintegratieconstante $\lambda$ in dagen$^{-1}$ - b) De beginactiviteit ($A_0$) in becquerel, gegeven dat $M_{Po} = 210\,\mathrm{g/mol}$ en $N_A = 6,022 \times 10^{23}$ Antwoorden: a) $\lambda = \frac{\ln 2}{138} = 0,00502\,\mathrm{d}^{-1}$ b) $N_0 = \frac{50}{210}\,\mathrm{mol} \cdot 6,022 \times 10^{23} = 1,434 \times 10^{23}$ $A_0 = \lambda \cdot N_0 = 0,00502 \times 1,434 \times 10^{23} = 7,20 \times 10^{20}\,\mathrm{d}^{-1}$ Omzetten van dagen$^{-1}$ naar s$^{-1}$: $1\,\mathrm{d}^{-1} = 1/86400\,\mathrm{s}^{-1}$ $A_0 = 7,20 \times 10^{20} / 86400 = 8,33 \times 10^{15}\,\mathrm{Bq}$

5. Een monster heeft een desintegratieconstante van [INLINE_EQUATION]0,0231\,\mathrm{h}^{-1}[/INLINE_EQUATION]. Bepaal de halveringstijd in uren, en het percentage activiteitsdaling na 15 uur. Antwoorden: $t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} = \frac{0,693}{0,0231} = 30,0\,\mathrm{h}$ $A = A_0 \cdot e^{-\lambda t} = A_0 \cdot e^{-0,0231 \cdot 15} = A_0 \cdot e^{-0,3465} = A_0 \cdot 0,707$ Daling: $1 - 0,707 = 29,3\%$ vermindering