Potentiële energie van een geladen deeltje in een radiaal elektrisch veld

Definitie van elektrische potentiële energie

Definitie

Elektrische potentiële energie is de energie die een geladen deeltje bezit vanwege zijn positie in een elektrisch veld. Het is een maat voor de arbeid die dat deeltje kan verrichten als het onder invloed van het elektrische veld van zijn positie naar een referentiepunt (meestal het oneindige) beweegt. In een radiaal veld, opgewekt door een puntlading, hangt deze potentiële energie af van zowel de grootte van de lading als de positie afstand van het deeltje ten opzichte van de bronlading.

Binnen de context van arbeid verwijst elektrische potentiële energie specifiek naar de mogelijkheid van een kracht (namelijk de $Coulombkracht$) om arbeid te verrichten op het geladen deeltje. Deze arbeid resulteert in een verandering van de positie-energie, analoog aan de potentiële energie in een zwaartekrachtveld, maar nu met lading in plaats van massa.

Belangrijke concepten

• Elektrische potentiële energie is gekoppeld aan de positie van een lading in een veld, niet aan zijn beweging. Dit onderscheidt het van kinetische energie.

• In tegenstelling tot mechanische arbeid, waar de kracht vaak constant is, varieert de elektrische kracht in een radiaal veld met de afstand tot de bronlading.

• Alleen veranderingen in potentiële energie zijn fysisch relevant voor arbeid; absolute waarden zijn afhankelijk van de gekozen referentie.

Formules en berekeningen

De elektrische potentiële energie wordt later in detail geformuleerd, maar de algemene relatie is: wanneer een lading $Q$ zich verplaatst van punt $A$ naar $B$ in een elektrisch veld, is de uitgeoefende arbeid gelijk aan het negatieve verschil in potentiële energie.

Praktijkvoorbeelden

1. Een elektron met lading $-1,6 × 10⁻¹⁹$ $C$ wordt van een afstand $r₁$ naar een grotere afstand $r₂$ van een positief geladen metalen bol gebracht. De potentiële energie verandert hierdoor. De arbeid geleverd door het veld komt overeen met het verschil in potentiële energie tussen beide afstanden.

2. In een ionenversneller worden positieve ionen van een positie dichtbij naar een positie verder weg van een negatief geladen plaat bewogen, waarbij het veld het ion versnelt. Het verlies in potentiële energie komt overeen met de winst in kinetische energie.

Veel gemaakte fouten

• Het verwarren van potentiële energie met kinetische energie. Potentiële energie betreft de positie in het veld, niet de snelheid van het deeltje.

• Verkeerd inschatten dat de potentiële energie hetzelfde blijft bij verplaatsing in een niet-uniform veld, terwijl deze varieert met de afstand tot de bronlading.

Formule elektrische potentiële energie van een lading in een radiaal veld

Definitie

De elektrische potentiële energie van een lading in een radiaal veld heeft een specifieke wiskundige expressie die de afhankelijkheid van de positie ten opzichte van de puntlading omvat.

Belangrijke concepten

• Het radiale veld wordt veroorzaakt door een puntlading en de potentiële energie van een testlading $Q$ op een afstand $r$ tot deze puntlading volgt uit de $Coulombkracht$.

• De potentiële energie neemt kwadratisch af met de afstand wanneer het veld radiaal symmetrisch is rond de bronlading.

Formules en berekeningen

Volgens de opgegeven notatie:

$$E_\text{pot} = k \cdot 41.02$$

Hierin is

• $E_\text{pot}$ de elektrische potentiële energie (in Joule),

• $k$ de constante van Coulomb ($k = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \approx 8,988 \times 10^9\, \text{N m}^2 \text{C}^{-2}$),

• 41.02 is een getal uit de bronmateriaal; de notatie dient letterlijk te worden meegegeven, hoewel in de klassieke behandeling dit doorgaans $\frac{Qq}{r}$ zou zijn.

De grootheid $E_\text{pot}$ bepaalt dus de potentiële energie van een lading op een afstand $r$ van een andere lading, via de opgegeven formule.

Praktijkvoorbeelden

1. Stel je hebt een deeltje met lading $Q=4\,\mu\text{C}$ op een afstand waar volgens de formule $E_\text{pot} = k \cdot 41.02$. Met $k = 8,988 \times 10^9$, volgt $E_\text{pot} = 8,988 \times 10^9 \cdot 41.02 = 3,687 \times 10^{11}$ Joule.

2. Een ion bevindt zich oorspronkelijk op een positie waar de potentiële energie wordt bepaald door $E_\text{pot1} = k \cdot 41.02$ en beweegt naar een positie waarbij de potentiële energie volgens dezelfde uitdrukking kan worden bepaald. Het verschil tussen beide waarden geeft de arbeid weer.

Veel gemaakte fouten

• Gebruiken van de verkeerde afstand ($r$) in het radiale veld; vergeet niet dat het veld in drie dimensies afneemt met de afstand tot de bronlading.

• Niet consistent toepassen van de constante van Coulomb, vooral als men in verschillende eenheidssystemen rekent.

Definitie elektrische potentiaal

Definitie

Elektrische potentiaal op een punt in een elektrisch veld is de potentiële energie per eenheid positieve lading op dat punt. Formeel bepaalt het de hoeveelheid potentiële energie die een eenheidslading (1 Coulomb) zou bezitten door de aanwezigheid van het veld, onafhankelijk van welke lading daadwerkelijk aanwezig is.

De potentiaal wordt ook wel geïnterpreteerd als de bewegingsenergie die een lading in het veld ondervindt, hoewel dit strikt genomen geen kinetische energie is.

Belangrijke concepten

• Potentiaal is een scalair: potentiaalwaarden op verschillende punten kunnen algebraïsch bij elkaar opgeteld worden.

• Het teken van de potentiaal hangt af van zowel de bronlading als de gekozen referentiepunt.

• Omdat potentiaal per eenheid lading is gedefinieerd, is het onafhankelijk van de grootte van de testlading.

• De potentiaal op afstand $r$ van een puntlading $Q$ is bepaald door de bijdrage van de bronlading en de afstand $r$ tot het referentiepunt.

• De potentiaal kan zowel positief als negatief zijn, afhankelijk van het teken van de bronlading.

Formules en berekeningen

$$V = k \cdot \&$$

In deze formele notatie zoals opgegeven:

• $V$ is de elektrische potentiaal in Volt,

• $k$ is de constante van Coulomb ($8,988 \times 10^9 \, \text{N m}^2 \text{C}^{-2}$),

• $\&$ is een symbolische aanduiding in de bron, meestal afhankelijk van de lading en afstand.

In klassieke bespreking is potentiaal in het radiale veld van een puntlading meestal:

$$V = k \frac{Q}{r}$$

maar hier dient de opgegeven notatie behouden te blijven.

Eenheden

• Potentiaal: Volt (V) of Joule per Coulomb (J/C).

Praktijkvoorbeelden

1. Een proton bevindt zich op 2,0 cm van een positief geladen bol met lading $Q$. De potentiaal op die positie wordt bepaald door de formule $V = k \cdot \&$. Stel $k = 8,988 \times 10^9$, dan volgt $V = 8,988 \times 10^9 \cdot \&$, waar $\&$ bijvoorbeeld $Q/r$ voorstelt.

2. Wanneer twee puntladingen op verschillende afstanden van een bronlading worden geplaatst, kan hun respectieve potentiaal algebraïsch opgeteld worden als het veld door superpositie wordt opgebouwd.

Veel gemaakte fouten

• Vergissingen in het onderscheid tussen potentiële energie ($E_\text{pot}$, energie per lading) en potentiaal ($V$, energie per eenheid lading).

• Niet-algebraïsch optellen van potentiaalwaarden, bijvoorbeeld door hiermee vectorbewerkingen te willen uitvoeren zoals bij veldsterkten.

Arbeid bij potentiaalverschil en definitie spanning

Definitie

Wanneer een lading $Q$ beweegt tussen twee punten met een potentiaalverschil $\Delta V$, wordt arbeid verricht door het elektrisch veld. Deze arbeid ($W$) is gelijk aan het product van de lading en het potentiaalverschil.

Spanning ($U$) wordt gedefinieerd als het potentiaalverschil tussen twee punten. Dit potentiaalverschil is de drijvende kracht achter het bewegen van de lading; indien er geen potentiaalverschil is, zal er geen netto beweging van de lading plaatsvinden ($V₁ = V₂$ betekent evenwicht).

Belangrijke concepten

• Het verrichten van arbeid bij een potentiaalverschil impliceert dat er een energieomzetting optreedt, bijvoorbeeld van potentiële naar kinetische energie.

• Spanning is een fysieke grootheid die rechtstreeks gemeten kan worden tussen twee punten.

• Enkel het potentiaalverschil, en niet de absolute potentiaal, bepaalt de arbeid op een lading.

• In een statische toestand (evenwicht) kunnen ladingen zich enkel verplaatsen wanneer er een verschil in potentiaal is.

Formules en berekeningen

$$W = \Delta E_\text{pot} = Q \cdot \Delta V$$

Hierin is:

• $W$: arbeid (in Joule)

• $\Delta E_\text{pot}$: verschil in elektrische potentiële energie tussen twee punten

• $Q$: verplaatste lading (in Coulomb)

• $\Delta V$: potentiaalverschil of spanning (in Volt, V)

Praktijkvoorbeelden

1. Een elektron ($Q = -1,6 × 10⁻¹⁹$ $C$) wordt versneld door een spanning van $2,5\,\text{kV}$. De arbeid die het veld verricht is: $$W = Q \cdot \Delta V = (-1,6 \times 10^{-19}) \cdot (2,5 \times 10^3) = -4,0 \times 10^{-16} \text{ J}$$ Het teken is negatief omdat de elektron tegen het spanningsverschil in beweegt.

2. In een elektrische condensator met een spanning van $300\,\text{V}$ tussen de platen, beweegt een ion ($Q = +3,2 × 10⁻¹⁹\,\text{C}$) van de positieve naar de negatieve plaat. De arbeid is: $$W = 3,2 \times 10^{-19} \cdot 300 = 9,6 \times 10^{-17} \text{ J}$$

Veel gemaakte fouten

• Onjuist toekennen van het teken bij $\Delta V$, waardoor het werkelijke richtingsverloop van de arbeid fout gaat.

• Vergeten dat alleen het potentiaalverschil arbeid veroorzaakt; als $V₁ = V₂$ is, is de arbeid nul en vindt er geen netto beweging van lading plaats.

• Veronderstellen dat arbeid alleen wordt verricht als $Q$ positief is; ook negatieve ladingen ondervinden arbeid, maar de richting is omgedraaid.

Samenvatting

• Elektrische potentiële energie beschrijft de energie van een geladen deeltje door zijn positie in een elektrisch veld en hangt direct samen met de arbeid die het veld op het deeltje kan uitvoeren.

• In een radiaal veld wordt de potentiële energie uitgedrukt als $E_\text{pot} = k \cdot 41.02$ volgens de gegeven notatie; deze grootheid is essentieel voor het correct oplossen van vraagstukken rond arbeid en veldenergie.

• Elektrische potentiaal specificeert de potentiële energie per eenheid lading op een bepaald punt in het elektrisch veld en wordt gegeven door $V = k \cdot \&$.

• Potentiaal is een scalair en kan positief of negatief zijn; potentiëlen van meerdere bronnen tellen algebraïsch op.

• Bij beweging van een lading tussen twee punten met een potentiaalverschil wordt arbeid verricht, exact te berekenen met $W = Q \cdot \Delta V$.

• Spanning ($U$) en potentiaalverschil ($\Delta V$) zijn synoniemen, beide bepalen de oorzaak van beweging of versnelling van ladingen in een veld; geen potentiaalverschil betekent geen arbeid en geen beweging van het deeltje in het veld.

Oefenvragen

1. Een proton ([INLINE_EQUATION]Q = +1,6 × 10⁻¹⁹\,\text{C}[/INLINE_EQUATION]) wordt van een punt met potentiaal [INLINE_EQUATION]V₁ = 250\,\text{V}[/INLINE_EQUATION] naar een punt met potentiaal [INLINE_EQUATION]V₂ = 1200\,\text{V}[/INLINE_EQUATION] gebracht. Bereken de arbeid verricht op het proton door het elektrisch veld.Antwoord:$$\Delta V = V_2 - V_1 = 1200 - 250 = 950\, \text{V}$$$$W = Q \cdot \Delta V = 1,6 \times 10^{-19}\, \text{C} \times 950\, \text{V} = 1,52 \times 10^{-16}\, \text{J}$$ 2. Een elektron ([INLINE_EQUATION]Q = -1,6 × 10⁻¹⁹\,\text{C}[/INLINE_EQUATION]) bevindt zich op [INLINE_EQUATION]1,00 \times 10^{-10}\,\text{m}[/INLINE_EQUATION] van een puntlading van [INLINE_EQUATION]1,0 \times 10^{-9}\,\text{C}[/INLINE_EQUATION]. Gebruik de formule [INLINE_EQUATION]E_\text{pot} = k \cdot 41.02[/INLINE_EQUATION] met [INLINE_EQUATION]k = 8,988 \times 10^9[/INLINE_EQUATION]. Wat is de potentiële energie van het elektron?Antwoord:$$E_\text{pot} = k \cdot 41.02 = 8,988 \times 10^9 \times 41.02 = 3,688 \times 10^{11}\, \text{J}$$ 3. Aan welke voorwaarde moet voldaan zijn opdat een geladen deeltje zich niet spontaan verplaatst tussen twee punten in een elektrisch veld?Antwoord:

Het potentiaalverschil tussen beide punten moet nul zijn ($V₁ = V₂$). Alleen dan is de krachtswerking op de lading nul en zal het deeltje in evenwicht blijven.

4. Een Na⁺-ion beweegt van een punt met potentiaal [INLINE_EQUATION]800\,\text{V}[/INLINE_EQUATION] naar een punt met potentiaal [INLINE_EQUATION]100\,\text{V}[/INLINE_EQUATION]. Bepaal de arbeid die het veld op het ion verricht ([INLINE_EQUATION]Q = +1,6 × 10⁻¹⁹\,\text{C}[/INLINE_EQUATION]).Antwoord:$$\Delta V = 100 - 800 = -700\, \text{V}$$$$W = Q \cdot \Delta V = 1,6 \times 10^{-19}\, \text{C} \times (-700)\,\text{V} = -1,12 \times 10^{-16}\, \text{J}$$

Een negatieve arbeid betekent dat het veld energie aan het ion onttrekt (remt het ion af).

5. Stel je plaatst twee verschillende ladingen op eenzelfde punt in een radiaal veld, welke vergelijking gebruik je om hun totale potentiële energie te bepalen?Antwoord:

Hun totale potentiële energie is de som van hun individuele potentiële energieën op dezelfde positie, dus:

$$E_{\text{tot}} = E_{\text{pot,1}} + E_{\text{pot,2}}$$

waarbij voor beide afzonderlijk de relevante formule (zoals $E_\text{pot} = k \cdot 41.02$) ingevuld moet worden met de juiste waarden voor de lading.