Homogeen elektrisch veld: potentiële energie en kinetische energie van een vrije puntlading
Blok 1: Potentiële energie in een homogeen elektrisch veld
Definitie
De potentiële energie (E<sub>pot</sub>) van een puntlading Q in een homogeen elektrisch veld is de hoeveelheid elektrische energie die wordt opgeslagen als gevolg van de positie van die lading tussen twee punten met een potentiaalverschil U. In een homogeen elektrisch veld is de potentiële energie gedefinieerd als:
[INLINE EQUATION]E_{pot} = Q \cdot U[/INLINE EQUATION]waarbij:
Q de lading is (uitgedrukt in coulomb)
U het potentiaalverschil (of de spanning) tussen de twee punten is (uitgedrukt in volt)
Belangrijke concepten
Een homogeen elektrisch veld wordt gekenmerkt door een constante elektrische veldsterkte (E), waardoor het potentiaalverschil U lineair is met de verplaatsing in het veld.
De potentiële energie E<sub>pot</sub> vertegenwoordigt het werk dat het elektrisch veld kan verrichten op een lading Q wanneer deze zich verplaatst tussen twee punten met potentiaalverschil U.
Als Q positief is, neemt E<sub>pot</sub> af wanneer Q in de richting van het veld beweegt; als Q negatief is, gebeurt het omgekeerde, wat bepalend is voor de bewegingsrichting.
Formules en berekeningen
De hoofdformule:
[INLINE EQUATION]E_{pot} = Q \cdot U[/INLINE EQUATION]Koppeling met het elektrisch veld (voor een homogeen veld):
[INLINE EQUATION]U = E \cdot d[/INLINE EQUATION]
waarbij d de afstand is tussen de twee punten langs de veldlijn.
Alternatief, dus:
[INLINE EQUATION]E_{pot} = Q \cdot E \cdot d[/INLINE EQUATION]Voorbeeld van potentiaalenergieverschil bij verplaatsing in het veld:
[INLINE EQUATION]\Delta E_{pot} = Q \cdot (U_2 - U_1) = Q \cdot E \cdot (d_2 - d_1)[/INLINE EQUATION]Praktijkvoorbeelden
Voorbeeld 1: Een elektron (Q = –1,60·10⁻¹⁹ C) wordt versneld over een spanning van 150 V in een homogeen veld. Bereken de verandering in potentiële energie.
Oplossing:
[INLINE EQUATION]E_{pot} = Q \cdot U = (-1,60\cdot 10^{-19}~\mathrm{C}) \cdot 150~\mathrm{V} = -2,40\cdot 10^{-17}~\mathrm{J}[/INLINE EQUATION]De negatieve waarde duidt op een afname van potentiële energie (de elektron verliest potentiële energie en wint kinetische energie).
Voorbeeld 2: Een proton (Q = +1,60·10⁻¹⁹ C) wordt van punt A naar punt B gebracht in een homogeen veld. Het potentiaalverschil tussen A en B is –75 V (B ligt 75 V lager dan A).
[INLINE EQUATION]E_{pot} = Q \cdot U = (1,60\cdot 10^{-19}~\mathrm{C}) \cdot (-75~\mathrm{V}) = -1,20\cdot 10^{-17}~\mathrm{J}[/INLINE EQUATION]Ook hier daalt de E<sub>pot</sub>, dus wint het proton kinetische energie.
Veel gemaakte fouten
Het negeren van het teken van de lading Q wanneer men de richting van de energietransport analyseert.
Verwarring tussen potentiaalverschil U en elektrische veldsterkte E. U is het potentiaalverschil (volt), E de veldsterkte (N/C).
Het onjuist toepassen van de formule bij verplaatsingen die niet langs een veldlijn lopen: de formule geldt alleen als de verplaatsing evenwijdig is aan het veld.
Blok 2: Verandering van kinetische energie van een vrije puntlading
Definitie
De verandering van kinetische energie van een vrije puntlading in een elektrisch veld wordt bepaald door de omzetting van potentiële energie (elektrisch) naar kinetische energie, volgens de energiebehoudswet. Als enkel het elektrisch veld werkt op de lading (zonder energieverlies aan warmte of andere krachten), geldt:
[INLINE EQUATION]E_{pot,1} + E_{kin,1} = E_{pot,2} + E_{kin,2}[/INLINE EQUATION]waarbij:
E<sub>pot,1</sub> en E<sub>pot,2</sub> de potentiële energie zijn op positie 1 (begin) en positie 2 (eind)
E<sub>kin,1</sub> en E<sub>kin,2</sub> de kinetische energie zijn op begin- en eindpositie
Belangrijke concepten
In afwezigheid van externe verliezen (zoals weerstand, stralingsverliezen), is de totale energie van het systeem behouden.
Een afname in potentiële energie (wanneer een lading in de bewegingsrichting van het veld beweegt) leidt tot een gelijke toename van de kinetische energie.
De bewegingsrichting en het effect op de kinetische energie zijn afhankelijk van het teken van Q: positieve lading versnelt in de veldrichting, negatieve in tegengestelde richting.
Formules en berekeningen
Algemene energiebalans:
[INLINE EQUATION]E_{kin,2} = E_{pot,1} + E_{kin,1} - E_{pot,2}[/INLINE EQUATION]Meest voorkomende situatie: lading start in rust (E<sub>kin,1</sub> = 0):
[INLINE EQUATION]E_{kin,2} = E_{pot,1} - E_{pot,2} = Q \cdot (U_1 - U_2) = Q \cdot \Delta U[/INLINE EQUATION]Als de potentiële energie daalt, stijgt de kinetische energie van de lading overeenkomstig met [INLINE EQUATION]|\Delta E_{pot}|[/INLINE EQUATION].
Voor bewegende ladingen:
[INLINE EQUATION]E_{kin} = \frac{1}{2} m v^2[/INLINE EQUATION]Dus, als de lading start vanuit rust:
[INLINE EQUATION]\frac{1}{2}mv^2 = Q \cdot U \rightarrow v = \sqrt{\frac{2Q \cdot U}{m}}[/INLINE EQUATION]waarbij:
v de uiteindelijke snelheid
m de massa van de lading
Praktijkvoorbeelden
Voorbeeld 1: Een α-deeltje (Q = 2 · 1,60·10⁻¹⁹ C; m = 6,64·10⁻²⁷ kg) wordt versneld vanuit rust over een spanningsverschil van 2,0·10⁶ V. Bereken de eindkinetische energie en de snelheid.
[INLINE EQUATION]E_{kin,2} = Q \cdot U = (3,20\cdot 10^{-19}~\mathrm{C}) \cdot (2,0\cdot 10^6~\mathrm{V}) = 6,40\cdot 10^{-13}~\mathrm{J}[/INLINE EQUATION]De snelheid: [INLINE EQUATION]v = \sqrt{\frac{2Q \cdot U}{m}}[/INLINE EQUATION]
[INLINE EQUATION]v = \sqrt{\frac{2 \cdot 3,20\cdot 10^{-19}~\mathrm{C} \cdot 2,0\cdot 10^6~\mathrm{V}}{6,64\cdot 10^{-27}~\mathrm{kg}}}[/INLINE EQUATION][INLINE EQUATION]v = \sqrt{\frac{1,28\cdot 10^{-12}~\mathrm{J}}{6,64\cdot 10^{-27}~\mathrm{kg}}}[/INLINE EQUATION][INLINE EQUATION]v \approx \sqrt{1,93\cdot 10^{14}} \approx 1,39\cdot 10^7~\mathrm{m/s}[/INLINE EQUATION]Voorbeeld 2: Een elektron heeft bij ingang van een plaatcondensator een beginsnelheid van 3,0·10⁶ m/s in veldrichting. Het veld staat over 500 V, in tegenrichting van beweging.
[INLINE EQUATION]E_{kin,1} = \frac{1}{2}m v_1^2 = 0,5 \cdot 9,11\cdot 10^{-31}~\mathrm{kg} \cdot (3,0\cdot 10^6~\mathrm{m/s})^2 = 4,10\cdot 10^{-18}~\mathrm{J}[/INLINE EQUATION][INLINE EQUATION]\Delta E_{pot} = Q \cdot \Delta U = (-1,60\cdot 10^{-19}~\mathrm{C}) \cdot (500~\mathrm{V}) = -8,00\cdot 10^{-17}~\mathrm{J}[/INLINE EQUATION]Het elektron beweegt tegen het veld in, verliest dus potentiële energie en wint kinetische energie:
[INLINE EQUATION]E_{kin,2} = E_{kin,1} + |\Delta E_{pot}| = 4,10\cdot 10^{-18}~\mathrm{J} + 8,00\cdot 10^{-17}~\mathrm{J} = 8,41\cdot 10^{-17}~\mathrm{J}[/INLINE EQUATION]Vervolgens [INLINE EQUATION]v_2 = \sqrt{\frac{2E_{kin,2}}{m}} \approx \sqrt{\frac{2 \cdot 8,41\cdot 10^{-17}~\mathrm{J}}{9,11\cdot 10^{-31}~\mathrm{kg}}} \approx 1,36\cdot 10^7~\mathrm{m/s}[/INLINE EQUATION]
Veel gemaakte fouten
Het verkeerd toepassen van het teken van het potentiaalverschil, vooral bij negatieve ladingen.
Vergeten beginkinetische energie mee te nemen als het deeltje niet in rust vertrekt.
Veronderstellen dat alle potentiële energie altijd wordt omgezet in kinetische energie, zonder rekening te houden met mogelijke andere energieomzettingen (zoals warmte bij niet-ideale systemen).
Verkeerde substitutie van massa of ladingseenheid (bijvoorbeeld verwisselen van massa van elektron en proton).
Blok 3: Overzicht/vergelijktabel van elektrische velden
Vergelijkende tabel
Eigenschap / Formule | Recht veld | Bolveld | Homogeen veld |
|---|---|---|---|
Potentiaalverschil (U) | n.v.t. | k · Q₁ / r | E · r |
Elektrisch veld (E) | constant | k · Q₁ / r² | constant |
Kracht (F) op Q₂ | Q₂ · E | k · Q₁ · Q₂ / r² | Q₂ · E |
Richting veldlijnen | parallel | radiaal | parallel |
E-afhankelijk van r | geen | wel (afnemend met r²) | geen |
Toelichting bij notaties:
k: elektrisch veldconstante, [INLINE EQUATION]k = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0}[/INLINE EQUATION]
Q₁, Q₂: ladingen (coulomb)
r: afstand tot bronlading (bij bolveld en homogeen veld)
E: elektrische veldsterkte (N/C)
In een recht (oneindig) veld of plaatcondensator, geldt E is constant, onafhankelijk van r.
In een bolveld (puntlading of bolvormige verdeling), neemt E af met 1/r².
Belangrijke inzichten uit de tabel
Homogene elektrische velden komen typisch voor tussen evenwijdige platen met constante spanning: [INLINE EQUATION]E = \frac{U}{d}[/INLINE EQUATION].
Bij een bolveld veroorzaakt door een puntlading, neemt het veld en potentiaal af naarmate men verder van de bronlading verwijderd is.
Potentiaalverschil in homogeen veld is recht evenredig met de verplaatsing langs het veld; bij een bolveld is dit omgekeerd evenredig met de afstand.
Samenvatting
De potentiële energie van een lading in een homogeen elektrisch veld wordt berekend met [INLINE EQUATION]E_{pot} = Q \cdot U[/INLINE EQUATION], waarbij U het potentiaalverschil is tussen twee posities.
Een verandering in potentiële energie leidt volgens de energiebalans tot een overeenkomstige (en tegengestelde) verandering van de kinetische energie van een lading: [INLINE EQUATION]E_{pot,1} + E_{kin,1} = E_{pot,2} + E_{kin,2}[/INLINE EQUATION].
Typische examenvragen richten zich op het correct toepassen van de formules, inclusief de juiste omgang met het teken van Q en het potentiaalverschil U.
In de vergelijking van elektrische veldtypen zijn homogene velden uniek vanwege hun constatieve veldsterkte en lineaire potentiaalopbouw, in tegenstelling tot het bolveld waarbij het veld en potentiaal radicaal afhangen van de afstand tot de bronlading.
Correcte interpretatie van tekenafspraken en energiebalans is cruciaal voor het oplossen van gevorderde vraagstukken.
Oefenvragen
1. Een proton wordt versneld vanuit rust over een potentiaalverschil van 500 kV in een homogeen elektrisch veld.a) Bereken de toename in kinetische energie van het proton.
b) Bepaal de eindsnelheid van het proton (massa = 1,67·10⁻²⁷ kg).
Antwoord:
a) [INLINE EQUATION]E_{kin,2} = Q \cdot U = (1,60\cdot 10^{-19}~\mathrm{C}) \cdot (5,00\cdot 10^5~\mathrm{V}) = 8,00\cdot 10^{-14}~\mathrm{J}[/INLINE EQUATION]
b) [INLINE EQUATION]v = \sqrt{\frac{2E_{kin,2}}{m}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 8,00\cdot 10^{-14}}{1,67\cdot 10^{-27}}} \approx \sqrt{9,58\cdot 10^{13}} \approx 9,79\cdot 10^6~\mathrm{m/s}[/INLINE EQUATION]
a) Wat is het potentiaalverschil waarover het elektron beweegt?
b) Wat is de potentiële energieverandering?
c) Wat is de eindsnelheid van het elektron?
Antwoord:
a) [INLINE EQUATION]U = E \cdot d = 1,5\cdot 10^4~\mathrm{V/m} \cdot 0,10~\mathrm{m} = 1,5\cdot 10^3~\mathrm{V}[/INLINE EQUATION]
b) [INLINE EQUATION]\Delta E_{pot} = Q \cdot U = (-1,60\cdot 10^{-19}~\mathrm{C}) \cdot (1,5\cdot 10^3~\mathrm{V}) = -2,40\cdot 10^{-16}~\mathrm{J}[/INLINE EQUATION]
c) Alle potentiële energie wordt omgezet: [INLINE EQUATION]\frac{1}{2} m v^2 = 2,40\cdot 10^{-16} \rightarrow v = \sqrt{\frac{2\cdot 2,40\cdot 10^{-16}}{9,11\cdot 10^{-31}}} \approx \sqrt{5,27\cdot 10^{14}} \approx 2,30\cdot 10^7~\mathrm{m/s}[/INLINE EQUATION]
a) Bereken het potentiaalverschil bij het bolveld (k = 8,99·10⁹ Nm²/C², Q = 2,0·10⁻⁹ C).
b) Bereken het potentiaalverschil in het homogeen veld.
c) Leg uit waarom het potentiaalverschil bij het bolveld verschilt van dat bij het homogeen veld.
Antwoord:
a) [INLINE EQUATION]U_{bol} = k\cdot Q\cdot \left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right) = 8,99\cdot 10^9\cdot 2,0\cdot 10^{-9}\cdot \left(\frac{1}{0,020} - \frac{1}{0,040}\right) = 17,98\cdot (50-25) = 17,98\cdot 25 = 449,5~\mathrm{V}[/INLINE EQUATION]
b) [INLINE EQUATION]U_{homogeen} = E \cdot \Delta r = 1,0\cdot 10^4 \cdot (0,040 - 0,020) = 1,0\cdot 10^4 \cdot 0,020 = 200~\mathrm{V}[/INLINE EQUATION]
c) In het bolveld neemt het potentiaal exponentieel af met r. In het homogeen veld is U lineair met afstand; dit verklaart het verschil.
Antwoord:
a) Bij een verkeerde tekenkeuze kan het lijken alsof de kinetische energie afneemt terwijl ze in werkelijkheid toeneemt (of omgekeerd).
b) Verkeerd rekenen met het potentiaalverschil (U<sub>eind</sub> − U<sub>begin</sub> versus U<sub>begin</sub> − U<sub>eind</sub>) leidt tot foutieve energieveranderingen, vooral wanneer een negatieve lading tegen het veld in beweegt.