Magnetisch veld en veldlijnen

Blok 1: Definitie en eigenschappen van het magnetisch veld

Definitie

Een magnetisch veld is het vectorieel fysisch veld dat ontstaat in de ruimte rondom magnetische objecten, elektrische stromen of veranderende elektrische velden, waarin op bewegende ladingen en andere magnetische objecten een kracht wordt uitgeoefend. Het magnetisch veld bepaalt in elk punt van de ruimte de richting en grootte van de magnetische kracht op een proeflading of magnetisch moment.

Belangrijke concepten

• Het magnetisch veld is representatief voor de ruimte waarin een magneet kracht uitoefent, ook als zich daar geen ander materieel object bevindt.

• Zowel permanente magneten als stroomvoerende geleiders genereren een magnetisch veld; beide gevallen zijn in het eindexamen context noodzakelijk onderscheid te maken.

• De veldsterkte, weergegeven door het symbool B (magnetische inductie of magnetische fluxdichtheid, gemeten in tesla, T), varieert afhankelijk van de positie ten opzichte van de magneet.

• Nabij de polen, met name waar de veldlijnen zeer dicht gerangschikt zijn, bereikt het veld zijn maximale waarde. Het magnetisch veld loopt derhalve niet uniform door de ruimte maar varieert lokaal.

• De interactie met externe ladingen of ferromagnetische materialen valt uitsluitend te verklaren vanuit dit veld-concept; het veld bemiddelt de krachtenwerking.

Formules en berekeningen

De sterkte van het magnetisch veld (B) wordt bepaald naar gelang het type bron:

• Voor een magneet ligt de nadruk op kwalitatieve analyse van de veldsterkte nabij de polen.

• Voor een rechte lange stroomgeleider geldt: $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ waarbij μ₀ de permeabiliteit van het vacuum is, I de stroomsterkte in de geleider en r de afstand tot de geleider.

• Voor een kleine staafmagneet wordt de veldsterkte buiten de magneet in de asrichting op afstand r benaderd door: $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2m}{r^3}$ met m het magnetisch moment van de magneet.

• In de praktijk zijn deze formules in te zetten om te rekenen aan de relatieve veldsterkte in diverse configuraties.

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Een rechte lange magneetstaaf (tweemaal zo lang als breed) wordt in het midden van een tafel gelegd. Bepaal in welk gebied rond de magneet het veld het sterkst is.

Uitwerking: Het veld is het sterkst aan de uiteinden van de magneet. Hier zijn de veldlijnen het dichtst opeengepakt en vertonen zij hun maximale sterkte. Midden in de magneet (even ver van beide polen) is het veld aanzienlijk zwakker.

Voorbeeld 2: Een ferromagnetische naald wordt op een punt naast de noordpool van een magneet gehouden. Bereken kwalitatief de richting en sterkte van de kracht op de naald.

Uitwerking: De naald wordt uitgelijnd met en naar het gebied waar het magnetisch veld het sterkst is: dichtbij de noordpool van de magneet. In deze streek is de krachtwerking het grootst en wordt de naald in het verlengde van de veldlijnen geplaatst.

Veel gemaakte fouten

• Veronderstellen dat het magnetisch veld overal rond de magneet even sterk is. In werkelijkheid varieert de veldsterkte aanzienlijk, met de grootste waarde aan de polen.

• Denken dat de magnetische werking zich voordoet op gelijke afstand rondom een magneetstaaf; asymmetrie (bijvoorbeeld afvlakking van een pool of plaatsing nabij ferromagnetisch materiaal) heeft invloed op sterkte en oriëntatie van het veld.

• Vergeten dat het magnetisch veld altijd aan de vectoriële wetten voldoet, waarbij zowel richting als grootte in elke positie bepaald moet worden.

Blok 2: Magnetische veldlijnen - eigenschappen en regels

Definitie

Magnetische veldlijnen zijn denkbeeldige lijnen die in elke ruimte waar een magnetisch veld aanwezig is, de richting van het magnetisch veld weergeven. De raaklijn aan de veldlijn in elk punt geeft de richting van de magnetische kracht aan die uitgeoefend zou worden op een hypothetisch noordpooldeeltje.

Belangrijke concepten

• Het aantal veldlijnen per oppervlakteeenheid (de dichtheid van de veldlijnen) is een maat voor de sterkte van het magnetisch veld in dat gebied. Verschillen in dichtheid wijzen direct op verschillende veldsterktes.

• Veldlijnen lopen van de noordpool naar de zuidpool buiten de magneet, en binnen de magneet (voor een staafmagneet) van de zuidpool terug naar de noordpool, waardoor de veldlijnen altijd gesloten lussen vormen.

• De richting van de veldlijnen is duidelijk afgesproken: buiten de magneet wijzen ze altijd van NOORD naar ZUID.

• Veldlijnen snijden elkaar nooit. Een snijdende situatie zou betekenen dat er in één punt twee verschillende richtingen van het magnetisch veld bestaan, wat fysisch onmogelijk is.

• Door elk willekeurig punt in het magnetisch veld kan precies één veldlijn getekend worden. Dit weerspiegelt het continu karakter van het veld: het veld is overal gedefinieerd, zonder onderbrekingen of sprongen behalve in theorie bij magnetische monopolen (die natuurkundig nog niet waargenomen zijn).

Formules en berekeningen

Hoewel het tekenen van veldlijnen een visuele interpretatie betreft, kan hun oriëntatie en dichtheid in wiskundige zin bekomen worden:

• De veldlijnendichtheid D ter plaatse relateert tot de sterkte van het veld door $D = \frac{N}{A}$, waarbij N het aantal veldlijnen door een oppervlak A stelt.

• Het magnetisch flux $\Phi_B$ door een oppervlak wordt berekend door $\Phi_B = B \cdot A \cdot \cos(\theta)$, waarin θ de hoek tussen de veldrichting en de normaal op het oppervlak bepaalt. Dit verband ligt aan de basis van de interpretatie van het aantal doorgestoken veldlijnen.

• In meer analytische situaties kan de richting van het veld in de omgeving van een stroomvoerende geleider bepaald worden met de rechterhandregel: duim in stroomrichting, gekromde vingers geven de lokale oriëntatie van de veldlijnen.

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Teken het patroon van magnetische veldlijnen rond een hoefijzermagneet met duidelijk onderscheid tussen gebieden met hoge en lage veldlijnendichtheid.

Uitwerking: De veldlijnen verlaten de noordpool geconcentreerd en komen evenwijdig in hoge dichtheid aan bij de zuidpool. In de directe opening van de hoefijzervorm zijn ze het meest geconcentreerd (hoogste veldsterkte), terwijl ze aan de buitenkanten wijd uit mekaar lopen (lagere veldsterkte). Nergens snijden veldlijnen elkaar.

Voorbeeld 2: Een rechte stroomvoerende draad veroorzaakt cirkelvormige magnetische veldlijnen omheen de draad. Bepaal aan de hand van de exacte veldlijnendichtheid de relatieve veldsterkte op 2 centimeter en op 8 centimeter van de draad, bij gelijke stroom.

Uitwerking: Volgens de formule $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ halveert de straal, dan verviervoudigt het magnetisch veld niet, maar wordt het twee keer zo groot. De veldlijnen zijn dichter op 2 centimeter dan op 8 centimeter, wat resulteert in een merkbaar sterker veld in de nabijheid van de draad.

Veel gemaakte fouten

• Veldlijnen laten kruisen om complexe patronen te tekenen: in werkelijkheid suggereert dit inconsistentie in de bepaling van de veldrichting.

• Verkeerde interpretatie van richting: bijvoorbeeld het tekenen van veldlijnen die richting zuidpool vertrekken. Buiten een magneet vertrekken veldlijnen altijd van de noord- naar de zuidpool.

• Denken dat het aantal veldlijnen overal even groot is i.p.v. in verhouding tot de lokale veldsterkte.

• Verwaarlozen van het sluitende karakter van de veldlijnen: bij veel studenten ontbreekt de terugkeer binnen de magneet.

• Vergeten dat veldlijnen door elk punt lopen: het magnetisch veld is op elk punt van de ruimte buiten en binnen de magneet gedefinieerd.

Samenvatting

• Het magnetisch veld is een fysisch veld waarin magneetjes, elektrische stromen en bewegende ladingen kracht ondervinden; de veldsterkte verschilt van plaats tot plaats, met maxima nabij de polen van een magneet.

• Magnetische veldlijnen bieden een visuele representatie van het magnetisch veld: hun dichtheid geeft de veldsterkte weer, hun richting volgt altijd van noord naar zuid buiten de magneet.

• Veldlijnen zijn gesloten: buiten de magneet van de noord- naar de zuidpool, binnen de magneet omgekeerd, zonder kruisingen, en door elk punt is exact één veldlijn denkbaar.

• Analytische formules (zoals $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$) laten toe om veldsterkte en relatieve veldlijnendichtheid in geavanceerde situaties te kwantificeren.

• Vaak gemaakte fouten betreffen de richting, de dichtheid, het niet-sluitende karakter of het laten kruisen van veldlijnen, wat altijd vermeden moet worden in examenantwoorden op niveau.

Oefenvragen

1. Gegeven is een rechte magneet in de vorm van een cylinder. Schets het veldlijnpatroon. Leg uit op basis van veldlijnendichtheid waar de veldsterkte maximaal en minimaal is.

Antwoord: De veldlijnen vertrekken aan het ene uiteinde (de noordpool), lopen buiten de magneet naar het andere uiteinde (de zuidpool) en keren binnenin terug naar de noordpool. De veldlijnendichtheid is het grootst aan de uiteinden van de magneet (de polen), dus daar is de veldsterkte maximaal. Halverwege de magneet is de dichtheid van veldlijnen minder, dus is het veld zwakker.

2. Een elektrisch geladen deeltje beweegt loodrecht op een homogene magneetveldstraat. Leg uit, op basis van veldconventies en veldlijnoriëntatie, hoe en waarom het deeltje een cirkelbaan beschrijft.

Antwoord: Volgens de lorentzkrachtwerking ervaart het deeltje een kracht loodrecht op zowel zijn snelheid als de veldlijnrichting (gegeven door B). Omdat deze kracht constant loodrecht staat op de bewegingsrichting, wordt het deeltje steeds afgebogen, wat resulteert in een cirkelvormige baan. De oriëntatie van de kracht volgt uit de rechterhandregel in relatie tot de richting van de veldlijnen (van noord naar zuid).

3. Een student tekent in een magnetisch veldpatroon enkele veldlijnen die elkaar kruisen. Verklaar fundamenteel waarom dit niet mogelijk is binnen het idee van een magnetisch veld.

Antwoord: Waar veldlijnen elkaar snijden zou het magnetisch veld in één punt in twee verschillende richtingen werken, wat fysisch onmogelijk is omdat het veld uniek gedefinieerd is in elk punt van de ruimte.

4. Bepaal de ophoping van veldlijnen in de omgeving van een punt nabij een stroomvoerende draad die in een vacuüm hangt. Bereken het veld op 3 cm en op 9 cm van de draad voor een stroom van 4A.