Krachtwerking tussen puntladingen: Vectoriële optelling en componentenanalyse

Blok 1: Krachtwerking tussen 3 puntladingen (vectoriële optelling van krachten)

Schematische afbeelding en krachten op Q2

Definitie

Een krachtwerking tussen puntladingen beschrijft de elektrische kracht die op een lading werkt door beïnvloeding van andere discrete ladingen in de ruimte. Wanneer drie puntladingen aanwezig zijn, is de resulterende kracht op een bepaalde lading (bijvoorbeeld Q2) het vectoriële resultaat van de afzonderlijke krachten die de andere twee ladingen op Q2 uitoefenen. De opgetelde vector geeft zowel grootte als richting van de totale kracht aan.

Belangrijke concepten

• Vectoriële optelling van krachten: Krachten tussen elektrische ladingen gedragen zich als vectoriële grootheden. De richting van elke kracht wordt bepaald door het lijnstuk tussen de ladingen en het teken van hun ladingen. Om de totale kracht (Fres) te bepalen die een lading ondervindt, moeten alle afzonderlijke krachten vectorieel worden opgeteld.

• Coulombkracht tussen twee puntladingen: De kracht tussen twee ladingen, bijvoorbeeld Q1 en Q2, wordt berekend met de wet van Coulomb. De richting wordt bepaald door de aard van de ladingen: gelijke ladingen stoten af, ongelijksoortige trekken aan.

• Schematische voorstelling: Alle krachten worden vanaf het aangrijpingspunt van Q2 getekend. F1 (van Q1 op Q2) volgt de verbindingslijn tussen Q1 en Q2, en F3 (van Q3 op Q2) volgt de lijn tussen Q3 en Q2.

Formules en berekeningen

De kracht die lading Qj op lading Qi uitoefent, luidt:

$$\vec{F}_{ji} = k_e \frac{Q_j Q_i}{r^2_{ji}}\ \mathbf{u}_{ji}$$

met:

• $k_e$ : de constante van Coulomb $(8,988 \times 10^9 \;\mathrm{N m^2/C^2})$

• $Q_j, Q_i$: de afzonderlijke ladingen

• $r_{ji}$: afstand tussen Qj en Qi

• $\mathbf{u}_{ji}$: eenheidsvector van Qj naar Qi

Bij drie ladingen (Q1, Q2, Q3) met Q2 als centrale lading:

• $\vec{F}_1$ is de kracht door Q1 op Q2.

• $\vec{F}_3$ is de kracht door Q3 op Q2.

De resulterende kracht is:

$$\vec{F}_{\text{res}} = \vec{F}_1 + \vec{F}_3$$

De grootte van $\vec{F}_{\text{res}}$ volgt uit de stelling van Pythagoras als $\vec{F}_1$ en $\vec{F}_3$ loodrecht op elkaar staan:

$$|\vec{F}_{\text{res}}| = \sqrt{F_1^2 + F_3^2}$$

De richting volgt uit:

$$\tan(\theta) = \frac{F_3}{F_1}$$

waarbij $\theta$ de hoek is van $\vec{F}_{\text{res}}$ met de richting van $\vec{F}_1$.

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1 — Drie ladingen op driehoekshoeken (orthogonale plaatsing)

Plaats Q1 op het oorsprongspunt (0,0), Q2 op (a,0), Q3 op (a,−a). Stel Q1=+2,0×10⁻⁶ C, Q2=+1,0×10⁻⁶ C, Q3=−3,0×10⁻⁶ C, en a=0,10 m.

• Bepaal F1 (Q1 op Q2): $$F_1 = k_e \frac{Q_1 Q_2}{a^2}$$ Invullen: $$F_1 = 8,988\times10^9 \cdot \frac{2,0\times10^{-6} \cdot 1,0\times10^{-6}}{(0,10)^2} = 8,988\times10^9 \cdot \frac{2,0\times10^{-12}}{0,01} = 8,988\times10^9 \cdot 2,0\times10^{-10} = 1,7976 \text{ N}$$ Richting: Q1 en Q2 zijn beide positief ⇒ afstotend ⇒ naar rechts.

• Bepaal F3 (Q3 op Q2): Afstand tussen Q2 (a,0) en Q3 (a,−a): $r_{32}=|0−(−a)|=a$ $$F_3 = k_e \frac{|Q_3 Q_2|}{a^2} = 8,988\times10^9 \cdot \frac{3,0\times10^{-6} \cdot 1,0\times10^{-6}}{0,01} = 2,6964\text{ N}$$ Richting: Q3 negatief, Q2 positief ⇒ aantrekkend ⇒ richting van Q2 naar Q3, dus naar beneden.

• Resulterende kracht: $$F_{\text{res}} = \sqrt{(1,7976)^2 + (2,6964)^2} \approx \sqrt{3,233+7,278} = \sqrt{10,511} \approx 3,24 \text{ N}$$ Hoek met de positieve x-as: $$\tan(\theta) = \frac{2,6964}{1,7976} \implies \theta \approx 56,3^\circ$$

Voorbeeld 2 — Niet-loodrechte vectoren (niet-orthogonale ladingen)

Beschouw Q1 op (0,0), Q2 op (b,0), Q3 op (b,b). Stel Q1=+1,0×10⁻⁶ C, Q2=+2,0×10⁻⁶ C, Q3=−1,0×10⁻⁶ C, b=0,2 m.

Richting en grootte F1 (Q1 op Q2): naar rechts ($\vec{i}$).

Richting en grootte F3 (Q3 op Q2): verbindingsvector Q2→Q3 is (0,b) dus richting y-as. Aantrekkend (tegenovergestelde ladingen), dus omlaag in positieve y-as.

• $$F_1 = k_e \frac{Q_1 Q_2}{b^2} = 8,988\times10^9 \cdot \frac{1\times10^{-6} \cdot 2\times10^{-6}}{(0,2)^2} = 8,988\times10^9 \cdot \frac{2\times10^{-12}}{0,04} = 8,988\times10^9 \cdot 5\times10^{-11} = 0,4494 \text{ N}$$

• $$F_3 = k_e \frac{|Q_3 Q_2|}{b^2} = 8,988\times10^9 \cdot \frac{2\times10^{-6} \cdot 1\times10^{-6}}{0,04} = 0,4494\text{ N}$$

Vervolgens moeten de vectoriële som (eventueel via componenten indien niet loodrecht) en richting berekend worden.

Veel gemaakte fouten

• Verwarren van richtingen: Het teken van de ladingen niet meenemen bij bepaling van de richtingen van de krachten (afstotend/aantrekkend).

• Verkeerde plaatsing van krachtvectoren: Vectoren niet vanuit het juiste aangrijpingspunt tekenen, waardoor de resultante foutief wordt opgebouwd.

• Vectoriële optelling overslaan: Krachten klakkeloos bij elkaar optellen zonder rekening te houden met hun richting (wat foutief is bij niet-gelijke richtingen).

• Stelling van Pythagoras toepassen bij niet-loodrechte krachten: Enkel gebruiken bij 90° krachten, niet bij willekeurige hoeken.

---

Blok 2: Krachtwerking tussen 4 puntladingen (ontbinden in componenten)

Schets en componentenanalyse

Definitie

Bij vier puntladingen, gerangschikt in een eenvoudige geometrische configuratie (bijvoorbeeld de hoeken van een rechthoek of vierkant), wordt de totale elektrische kracht op een specifieke lading bepaald door per interactie de afzonderlijke krachten (via de wet van Coulomb) te berekenen en deze krachten stuk voor stuk te ontbinden in componenten volgens een gekozen assenstelsel. Elk component wordt vectorieel (rekening houdend met teken) opgeteld per richting.

Belangrijke concepten

• Componentenanalyse: Elke kracht wordt opgesplitst in zijn x- en y-componenten. Dit is fundamenteel in niet-orthogonale configuraties of wanneer de krachten niet samenkomen langs eenduidige assen.

• Vectoroptelling in meerdere richtingen: Eerst worden alle x-componenten opgeteld (positief en negatief afhankelijk van richting), vervolgens alle y-componenten. De resulterende kracht volgt uit deze componenten.

• Lengterelaties en verhoudingen: In een configuratie waarin bijvoorbeeld $y_2 = 2x_3$ geldt, kan dit belangrijke gevolgen hebben voor zowel de vergrote componentsterktes als de resultante richting van de kracht.

• Assenstelsel en notatie: Gebruik van eenduidige coördinaten, met duidelijke vermelding van de vectorrichting per component.

Formules en berekeningen

• Algemeen: $$\vec{F}_{ji} = k_e \frac{Q_j Q_i}{r^2_{ji}} \mathbf{u}_{ji}$$ Voor elke krachtvector geldt: $$\vec{F} = F_x~\vec{i} + F_y~\vec{j}$$ Waarbij $F_x$ en $F_y$ respectievelijk x- en y-componenten zijn: $$F_x = |\vec{F}| \cos(\alpha)$$ $$F_y = |\vec{F}| \sin(\alpha)$$

• Optelling van componenten voor vier krachten: $$F_{\text{res},x} = \sum_{n=1}^{3} F_{n,x}$$ $$F_{\text{res},y} = \sum_{n=1}^{3} F_{n,y}$$ Waar n telkens de interactie tussen Q2 (centrale lading) en een van de andere ladingen (Q1, Q3, Q4) voorstelt.

• Resultante kracht: $$|\vec{F}_{\text{res}}| = \sqrt{F_{\text{res},x}^2 + F_{\text{res},y}^2}$$ $$\theta_{\text{res}} = \arctan\left(\frac{F_{\text{res},y}}{F_{\text{res},x}}\right)$$

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1 — Vier ladingen op de hoeken van een rechthoek

Stel de ladingen op:

• $Q_1$ op (0,0): $-2,0\times10^{-6}\ \text{C}$

• $Q_2$ op $(a,0)$: $+1,0\times10^{-6}\ \text{C}$ (krachtwerking op deze lading te bepalen)

• $Q_3$ op $(a,b)$: $+3,0\times10^{-6}\ \text{C}$

• $Q_4$ op $(0,b)$: $-1,0\times10^{-6}\ \text{C}$

Met $a=0,10$ m, $b=0,20$ m. Merk op: $y_2 = b$, $x_3 = a$, waarbij $y_2 = 2 x_3$.

Bereken de totale kracht op $Q_2$ door de andere drie ladingen.

Stap 1. Afstanden en richtingen

• Q1→Q2: langs x-as ($\vec{F}_{1,2}$), afstotend (negatief-positief), richting naar rechts.

• Q3→Q2: langs y-as ($\vec{F}_{3,2}$), beide positief, afstotend, richting naar beneden.

• Q4→Q2: diagonaal, afstand $d = \sqrt{a^2 + b^2}$, Q4 negatief, Q2 positief, aantrekkend, richting vanuit Q2 naar Q4.

Stap 2. Bepaling krachten

• $F_{1,2} = k_e \frac{|Q_1 Q_2|}{a^2}$

• $F_{3,2} = k_e \frac{Q_3 Q_2}{b^2}$

• $F_{4,2} = k_e \frac{|Q_4 Q_2|}{a^2 + b^2}$

Stap 3. Componenten ontbinden

• $\vec{F}_{1,2}$: volledige x-component, $F_{1,2,x} = F_{1,2}$, $F_{1,2,y} = 0$

• $\vec{F}_{3,2}$: volledige y-component, $F_{3,2,x}=0$, $F_{3,2,y} = -F_{3,2}$ (omdat kracht naar beneden wijst)

• $\vec{F}_{4,2}$: maak gebruik van de hoek $\alpha = \arctan(b/a)$; $F_{4,2,x} = -F_{4,2} \cos(\alpha)$ (richting: naar links), $F_{4,2,y} = F_{4,2} \sin(\alpha)$ (richting: omhoog) Omdat $b=2a$ geldt: $$\alpha = \arctan \left(\frac{b}{a}\right) = \arctan (2) \approx 63,4^\circ$$

• $F_{4,2,x} = -F_{4,2} \cos(63,4^\circ)$

• $F_{4,2,y} = F_{4,2} \sin(63,4^\circ)$

Stap 4. Optellen van componenten

• $F_{\text{res},x} = F_{1,2} + F_{4,2,x}$

• $F_{\text{res},y} = F_{3,2,y} + F_{4,2,y}$

Stap 5. Eindresultaat

• $|\vec{F}_{\text{res}}| = \sqrt{F_{\text{res},x}^2 + F_{\text{res},y}^2 }$

• Richting met $\arctan ( F_{\text{res},y} / F_{\text{res},x} )$

Voorbeeld 2 — Vier ladingen op de hoeken van een vierkant

Alle zijden lengte $d$, Q1 en Q3 positief, Q2 en Q4 negatief. Bepaal de kracht op Q2. De componenten van de diagonaalkracht moeten hier ook juist ontbonden worden langs x en y.

Veel gemaakte fouten

• Negeren van negatieve componenten: Niet correct toepassen van de vectorrichtingen bij het optellen van x- en y-componenten.

• Componenten niet aligneren: Projecteer niet correct op de assen, vooral bij hoeken waarbij sinus en cosinus verwisseld worden.

• Verkeert optellen van vectoren: Componenten niet afzonderlijk optellen per as, wat leidt tot incorrecte resultanten.

• Foutieve interpretatie van verhoudingen: Niet rekening houden met specifieke ratio’s zoals $y_2=2x_3$, waardoor fouten ontstaan in de grootte van componenten.

---

Samenvatting

• Elektrische krachten tussen puntladingen worden altijd vectorieel opgeteld; richting, aangrijpingspunt en grootte volgen uit de Coulombkracht.

• Bij configuraties met drie ladingen: bereken afzonderlijke krachten, bepaal hun oriëntatie, en voer een correcte vectoriële optelling uit.

• Bij vier ladingen: ontbind elke kracht in x- en y-componenten, tel alle componenten op per richting, en bepaal zo de totale krachtvector.

• Schematische vectorvoorstellingen met duidelijke notaties zijn cruciaal voor overzicht en correcte berekening.

• Specifieke aandacht vereist voor correcte omgang met componenten, tekens, richtingen en eventuele bijzondere verhoudingen zoals $y_2=2x_3$.

---

Oefenvragen

Oefening 1

Drie ladingen Q1=+1,5×10⁻⁶ C op (0,0), Q2=+1,0×10⁻⁶ C op (0,10 m), Q3=−2,0×10⁻⁶ C op (0,10 m; 0,10 m) liggen in een rechthoekige configuratie. Bereken de grootte en hoek van de resulterende kracht op Q2.

Antwoord:

• Bereken $\vec{F}_1$ (Q1 op Q2): positieve ladingen op verticale lijn, kracht naar boven, $F_1 = k_e \frac{Q_1 Q_2}{(0,10)^2} = 8,988\times10^9 \frac{1,5\times10^{-6}1,0\times10^{-6}}{0,01} = 1,348\ \text{N}$

• Bereken $\vec{F}_3$ (Q3 op Q2): Q3 negatief, Q2 positief, kracht naar Q3, afstand $\sqrt{(0,10)^2 + (0,10)^2}=0,141$ m, $F_3 = k_e \frac{2,0\times10^{-6}1,0\times10^{-6}}{0,02}=0,899\ \text{N}$

• Richting F3: 45° naar rechtsboven.

• Ontbind F3: $F_{3,x} = 0,899\times\cos(45°)=0,636$, $F_{3,y}=0,636$

• Totale x-component: $0+0,636=0,636$ N

• Totale y-component: $1,348+0,636=1,984$ N

• Grootte: $\sqrt{0,636^2+1,984^2}=2,086$ N

• Hoek: $\arctan(1,984/0,636)=72°$ boven de x-as

Oefening 2

Vier gelijke ladingen Q op de hoekpunten van een rechthoek met $a=0,2$ m, $b=0,4$ m. Bereken voor Q2 op $(a,0)$ de grootte van de krachtcomponenten als $y_2=2x_3$ geldt, en bepaal de resultante krachtvector.

Antwoord

• Bereken individuele krachten van Q1, Q3, Q4 op Q2: - $F_{1,2}$ langs x: $F_{1,2}=k_e \frac{Q^2}{a^2}$, volledig x-richting. - $F_{3,2}$ langs y: $F_{3,2}=k_e \frac{Q^2}{b^2}$, volledig y-richting. - $F_{4,2}$ diagonaal: $F_{4,2}=k_e \frac{Q^2}{a^2 + b^2}$, splitst in $F_{4,2,x}=-F_{4,2}a/\sqrt{a^2+b^2}, F_{4,2,y}=F_{4,2}b/\sqrt{a^2+b^2}$

• Voer optellingen uit per component.

• Gebruik $a=0,2$ m, $b=0,4$ m $\rightarrow\ y_2=2x_3$.

• Resultante: $F_{\text{res}}=\sqrt{(F_{1,2}+F_{4,2,x})^2+(F_{3,2}+F_{4,2,y})^2}$

• Hoek $\theta=\arctan\left(\frac{F_{\text{res},y}}{F_{\text{res},x}}\right)$

Oefening 3

In een vierkant van zijde d, liggen vier puntladingen in de hoeken: Q1 en Q3 positief, Q2 en Q4 negatief. Bereken het x- en y-component van de kracht die op Q2 werkt, als d=0,15 m en alle ladingen even groot zijn ($|Q|$).

Antwoord

• Bereken krachten door de naburige en de overstaande hoekpuntladingen.

• Ontbind de diagonaalkracht van Q4 in x- en y-componenten, met $\cos(45°)$ en $\sin(45°)$.

• Tel de componenten op, rekening houdend met tekens en richtingen.

• Geef uiteindelijke componenten van de resulterende kracht.