Krachtwerking in een homogeen en radiaal elektrisch veld

Homogeen elektrisch veld – definitie en veldsterkte

Definitie

Een homogeen elektrisch veld is een elektrisch veld waarvan de veldlijnen overal evenwijdig lopen en waarin de elektrische veldsterkte overal dezelfde grootte en richting heeft. Dit type veld ontstaat typisch tussen twee grote, evenwijdige, geleidende platen die op een verschillende spanning geplaatst worden. In een homogeen veld ervaren alle geladen deeltjes op gelijke afstand ten opzichte van de platen dezelfde kracht, ongeacht de positie binnen het gebied tussen de platen, zolang randinvloeden verwaarloosd kunnen worden.

Belangrijke concepten

• Uniformiteit: In een homogeen veld reageren geladen deeltjes over het volledige centrale gebied op exact dezelfde wijze op het veld, omdat de veldsterkte constant is.

• Oriëntatie van het veld: De veldlijnen lopen loodrecht van de positieve naar de negatieve plaat. De richting van de kracht op een positieve testlading is van de positieve naar de negatieve plaat, en omgekeerd voor een negatieve lading.

• Afwezigheid van randinvloeden: Het homogene karakter geldt enkel centraal tussen de platen; dicht bij de randen treden verstoringen van het veld op, wat tot een klein niet-homogeen effect leidt.

• Elektrische potentiaal en veldsterkte: De elektrische potentiaal (V) verandert lineair over de afstand (d) tussen de platen, omdat de veldsterkte $E$ constant is.

Formules en berekeningen

De elektrische veldsterkte $E$ tussen twee evenwijdige platen met een spanning $U$ en afstand $d$ wordt uitgedrukt als:

$$E = \frac{U}{d}$$

waarbij:

• $E$ de elektrische veldsterkte is in newton per coulomb $(N/C)$

• $U$ de aangelegde spanning tussen de platen is in volt $(V)$

• $d$ de afstand tussen de platen is in meter $(m)$

Voor situaties waarbij de elektrische potentiaal $V$ gegeven is over een afstand $r$ tot een bepaalde referentieplaats wordt soms genoteerd:

$$E = \frac{V}{r}$$

Hierbij:

• $E$: elektrische veldsterkte

• $V$: verschil in elektrische potentiaal over afstand $r$

• $r$: afstand waarover het potentiaalverschil geldt

Deze formules kunnen onderling gebruikt worden wanneer de situatie dat toelaat; tussen de platen van een condensator of een vergelijkbare opstelling zijn beide notaties relevant.

Relatie tussen veldsterkte, spanning en afstand

De veldsterkte is recht evenredig met de spanning en omgekeerd evenredig met de afstand. Indien men de spanning verdubbelt bij gelijke afstand, verdubbelt de veldsterkte. Indien men de afstand tussen de platen vergroot (bij constante spanning), dan neemt de veldsterkte af.

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Bepalen van de veldsterkte tussen condensatorplaten Twee grote, evenwijdige platen waarvan de afstand $d = 1,5$ cm bedraagt, zijn aangesloten op een spanning van $U = 3000$ V. Bepaal de veldsterkte tussen deze platen.

$$E = \frac{U}{d} = \frac{3000}{0,015} = 200\ 000 \ \mathrm{V/m}$$

De elektrische veldsterkte tussen de platen bedraagt $2,0 \times 10^{5}$ V/m.

Voorbeeld 2: Versnelling van een geladen deeltje in een homogeen veld Een elektron ($q = -1,6 \times 10^{-19}$ C) beweegt in een homogeen veld $E = 5,0 \times 10^{4}$ V/m en ondervindt daarbij een kracht. Bereken de grootte van de kracht op het elektron.

$$F = q \cdot E = -1,6 \times 10^{-19} \cdot 5,0 \times 10^{4} = -8,0 \times 10^{-15}\ \mathrm{N}$$

De negatieve waarde geeft aan dat de kracht tegenovergesteld is aan de richting van het veld. De grootte van de kracht is $8,0 \times 10^{-15}$ N.

Veel gemaakte fouten

• Onjuiste eenhedengebruik: Veel studenten rekenen de afstand $d$ niet om naar meter, wat een foutieve veldsterkte oplevert.

• Foute richting bij kracht op ladingen: De richting van de kracht op negatieve ladingen wordt vaak verward met die op positieve ladingen. De kracht werkt altijd in de richting van het veld voor positieve ladingen en omgekeerd voor negatieve ladingen.

• Verwarring tussen potentiaal en spanning: Het begrip potentiaal (V) en potentiaalverschil (spanning, U) wordt soms niet correct onderscheid, wat tot fouten leidt bij het toepassen van de formules.

• Randinvloeden onderschatten: In reële opstellingen zijn de veldlijnen niet altijd precies parallel, vooral aan de randen. Voor theoretische berekeningen wordt het centrale, homogeen veld beschouwd.

Radiaal elektrisch veld – definitie en veldsterkte

Definitie

Een radiaal elektrisch veld is een veld waarvan de veldlijnen uitstralen vanuit een centraal punt, typisch veroorzaakt door een puntlading. De groote van de veldsterkte neemt kwadratisch af met de afstand tot de bron van het veld. De lijnen lopen recht van of naar het centrum, afhankelijk van het teken van de lading.

Belangrijke concepten

• Invloedssfeer van een puntlading: Elke geladen deeltje creëert een radiaal veld waarvan de sterkte enkel afhangt van de afstand tot het centrum en de grootte van de bronlading.

• Afhankelijkheid van afstand: De veldsterkte $E$ neemt af volgens een $1/r^2$-wetmatigheid, wat betekent dat de krachtwerking snel verzwakt met toenemende afstand van het centrum.

• Toepasbaarheid: Geldig voor puntladingen of bolsymmetrische ladingen, waarbij het volledige veld als radiaal beschouwd kan worden buiten het oppervlak van de lading.

• Richting van het veld: Voor een positieve lading wijzen de veldlijnen naar buiten, voor een negatieve lading naar binnen.

Formules en berekeningen

De grootte van de veldsterkte $E$ op afstand $r$ van een puntlading $q$:

$$E = k \cdot \frac{q}{r^2}$$

waarbij:

• $E$: elektrische veldsterkte (N/C)

• $k$: constante van Coulomb $(k = 8,99 \times 10^{9}\ \mathrm{N\,m^2/C^2})$

• $q$: de waarde van de puntlading (C)

• $r$: afstand van het meetpunt tot het centrum van de puntlading (m)

De formule toont dat bij verdubbeling van de afstand tot de lading, de veldsterkte tot een vierde terugvalt.

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Berekening van de veldsterkte rond een positieve puntlading Stel een puntlading $q = 2,0 \times 10^{-8}$ C. Wat is de veldsterkte op een afstand $r = 0,40$ m?

$$E = k \frac{q}{r^2} = 8,99 \times 10^9 \frac{2,0 \times 10^{-8}}{(0,40)^2} = 1,12 \times 10^3\ \mathrm{N/C}$$

Voorbeeld 2: Veldsterkte op halverwege afstand tot negatieve lading Een negatieve puntlading $q = -6,0 \times 10^{-9 }$ C is geplaatst in het vacuüm. Bepaal het veld op $r = 12$ cm afstand.

$$E = k \frac{|q|}{r^2} = 8,99 \times 10^9 \frac{6,0 \times 10^{-9}}{(0,12)^2} = 3,7 \times 10^4\ \mathrm{N/C}$$

De richting is naar de negatieve lading toe.

Veel gemaakte fouten

• Vergeten van het kwadraat bij de afstand: Soms wordt $r$ in de noemer vergeten te kwadrateren, waardoor de resultaten foutief veel te groot (of te klein) zijn.

• Onjuiste tekeninterpretatie: Het teken van $q$ bepaalt enkel de richting, niet de grootte van de veldsterkte. De absolute waarde geeft de grootte, het teken geeft richting aan.

• Gebruik van verkeerde eenheden: Met name het vergeten om de afstand $r$ volledig in meter om te zetten komt frequent voor.

• Toepassen van formule buiten haar bereik: Studenten proberen deze formule soms toe te passen op situaties zonder bolsymmetrie (zoals tussen platen), wat tot onjuiste berekeningen leidt.

Samenvatting

• Een homogeen elektrisch veld heeft een constante veldsterkte $E$ over het hele centrale gebied, typisch gevormd door twee grote, evenwijdige platen. Hier geldt $E = \frac{U}{d}$, waarbij $U$ de spanning tussen de platen is en $d$ de afstand er tussen.

• De richting van het veld loopt van de positieve naar de negatieve plaat. Krachtwerking op ladingen is uniform binnen het veld.

• In een radiaal elektrisch veld, ontstaan door een puntlading, neemt de veldsterkte af met het kwadraat van de afstand volgens $E = k \cdot \frac{q}{r^2}$. Hieruit volgt dat de kracht op een lading in het veld snel afneemt met toenemende afstand.

• Belangrijk voor het eindexamen is correct gebruik van formules, het juist interpreteren van eenheden en richting, en het onderscheiden van toepassingsgebieden tussen homogene en radiale velden.

Oefenvragen

1. Een condensator bestaat uit twee evenwijdige platen op [INLINE_EQUATION]1200[/INLINE_EQUATION] V spanning, op [INLINE_EQUATION]3,5[/INLINE_EQUATION] mm afstand. Bereken de elektrische veldsterkte tussen de platen.

Antwoord:$$E = \frac{U}{d} = \frac{1200}{0,0035} = 3,4 \times 10^5\ \mathrm{V/m}$$ ---

2. Een proton ([INLINE_EQUATION]q = 1,6 \times 10^{-19}[/INLINE_EQUATION] C) bevindt zich [INLINE_EQUATION]2,0[/INLINE_EQUATION] cm van een puntlading [INLINE_EQUATION]Q = 8,0 \times 10^{-8}[/INLINE_EQUATION] C. Wat is de grootte en richting van de krachten?

Antwoord:$$E = k \frac{Q}{r^2} = 8,99 \times 10^9 \frac{8,0 \times 10^{-8}}{(0,020)^2} = 1,8 \times 10^6\ \mathrm{N/C}$$$$F = q \cdot E = 1,6 \times 10^{-19} \cdot 1,8 \times 10^6 = 2,9 \times 10^{-13}\ \mathrm{N}$$

De kracht is van het proefdeeltje af gericht, omdat beide ladingen positief zijn.

---

3. Een elektron wordt losgelaten in het midden van een homogeen elektrisch veld met [INLINE_EQUATION]E = 4,5 \times 10^4[/INLINE_EQUATION] V/m. Wat is de grootte van de kracht die het elektron ondervindt?

Antwoord:$$F = q \cdot E = 1,6 \times 10^{-19} \cdot 4,5 \times 10^4 = 7,2 \times 10^{-15}\ \mathrm{N}$$

De kracht is tegengesteld aan de richting van het veld.

---

4. Op welke afstand van een negatieve puntlading [INLINE_EQUATION]q = -2,5 \times 10^{-7}[/INLINE_EQUATION] C is de veldsterkte [INLINE_EQUATION]9000[/INLINE_EQUATION] N/C?

Antwoord:$$E = k \cdot \frac{|q|}{r^2} \implies r = \sqrt{ k \cdot \frac{|q|}{E} } = \sqrt{ 8,99 \times 10^9 \cdot \frac{2,5 \times 10^{-7}}{9000}} = \sqrt{249,7} = 15,8\ \mathrm{m}$$