Geluidsniveau, eenheid decibel, decibelschaal

Vermogen van een golf

Definitie

Het vermogen van een golf is de hoeveelheid energie die per tijdseenheid door de golf wordt getransporteerd. Het vermogen drukt uit hoe snel er energie wordt overgedragen langs het voortplantingsmedium. Deze grootheid is essentieel bij het beschrijven van intensiteit en geluidsniveau omdat ze de basis vormt van hoeveel energie overgedragen kan worden naar een waarnemer.

Belangrijke concepten

Vermogen (meestal weergegeven met het symbool $P$) hangt direct af van de bewegingskenmerken van de golf. Bij mechanische golven, zoals geluidsgolven in lucht, is het vermogen recht evenredig met het kwadraat van de amplitude: een verdubbeling van de amplitude resulteert in een viervoudig vermogen, aangezien $P \propto A^2$. Daarnaast heeft de frequentie invloed: hogere frequenties transporteren per seconde meer energie bij eenzelfde amplitude.

Formules en berekeningen

De algemene formule voor het vermogen van een golf luidt:

$$P = \frac{E}{\Delta t}$$

waarbij:

• $P$: vermogen (in watt, W)

• $E$: overgedragen energie (in joule, J)

• $\Delta t$: tijdsinterval (in seconde, s)

Voor een transversale of longitudinale mechanische golf, bijvoorbeeld geluid in lucht, waarbij amplitude $A$, hoekfrequentie $\omega$, massa per lengte-eenheid $\mu$, en voortplantingssnelheid $v$ kunnen worden betrokken, wordt het gemiddeld vermogen vaak als volgt uitgedrukt:

$$P_{gem} = \frac{1}{2} \mu \omega^2 A^2 v$$

Deze formule vat samen hoe zowel amplitude als frequentie (via $\omega = 2\pi f$) het vermogen verhogen, bij gelijke mediumeigenschappen.

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Een geluidsgolf met amplitude $A_1$ en frequentie $f_1$ transporteert een gemiddeld vermogen $P_1$. Indien de amplitude wordt verdrievoudigd en de frequentie verdubbeld, hoeveel keer groter wordt het vermogen?

Uitwerking:

• Amplitudeverandering: $(3A_1)^2 = 9A_1^2$ ⇒ effect: vermogen x9

• Frequentieverandering: $(2f_1)^2 = 4f_1^2$ ⇒ effect: vermogen x4

• Totale vermenigvuldigingsfactor: 9 (amplitude) x 4 (frequentie) = 36

Dus het vermogen stijgt met een factor 36.

Voorbeeld 2: Een luidspreker levert in 0,1 seconde een energiepuls van 2 J. Wat is het gemiddelde vermogen tijdens die puls?

Uitwerking:

$$P = \frac{E}{\Delta t} = \frac{2}{0,1} = 20 \text{ W}$$

Veel gemaakte fouten

• Enkel het effect van amplitude kwadratisch toepassen, maar het effect van frequentie vergeten: het vermogen hangt eveneens kwadratisch af van de frequentie, niet enkel van de amplitude.

• Verkeerd interpreteren van $P = \frac{E}{\Delta t}$ bij niet-constante energieoverdracht: het gaat hier enkel om het GEMIDDELDE vermogen.

• Verwarring tussen het vermogen van de bron en het vermogen dat de ontvanger ontvangt; verliezen in het medium worden soms verwaarloosd zonder motivatie.

Intensiteit van een golf

Definitie

De intensiteit van een golf is het gemiddelde vermogen dat per eenheid oppervlakte loodrecht op de voortplantingsrichting passeert. Het is de proportionele maatstaf voor de sterkte of “kracht” van de golf zoals die op een gegeven punt in de ruimte wordt gemeten.

Belangrijke concepten

Intensiteit ($I$) kwantificeert de verspreiding van energie over een oppervlak. Voor een puntbron die in alle richtingen gelijk uitzendt (sferisch), neemt de intensiteit af met het kwadraat van de afstand tot de bron vanwege de spreiding over een steeds groter oppervlak ($1/r^2$-wet).

Formules en berekeningen

De basisformule voor intensiteit is:

$$I = \frac{P}{A}$$

waarbij:

• $I$: intensiteit (in watt per vierkante meter, W/m²)

• $P$: vermogen (in watt, W)

• $A$: oppervlakte (in vierkante meter, m²), loodrecht op de voortplantingsrichting

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Een puntvormige luidspreker straalt 10 W uit in alle richtingen. Bepaal de geluidsintensiteit op een afstand van 5 meter.

Uitwerking:

• Oppervlakte bol met straal 5 m: $A = 4\pi r^2 = 4\pi \times 25 = 100\pi$ m²

• Intensiteit: $I = \frac{10}{100\pi} \approx 0,032$ W/m²

Voorbeeld 2: Een microfoon detecteert een vermogen van $5 \times 10^{-6}$ W op een opnameoppervlak van 0,01 m². Wat is de lokale intensiteit?

Uitwerking:

$$I = \frac{5 \times 10^{-6}}{0,01} = 5 \times 10^{-4} \text{ W/m}^2$$

Veel gemaakte fouten

• Verkeerde interpretatie van oppervlakte: het niet gebruiken van de loodrechte doorsnede resulteert in onderschatting van de intensiteit.

• Het negeren van spreiding bij sferische golven, waardoor men de afname met het kwadraat van de afstand niet juist verwerkt.

• Vergeten om de eenheid om te zetten naar W/m², zeker bij opgaven die gebruikmaken van cm².

Geluidsniveau (intensiteitsniveau) en decibelschaal

Definitie

Het geluidsniveau, ook wel intensiteitsniveau genoemd, is een logaritmische maat voor de intensiteit van een geluidsgolf, uitgedrukt in decibel (dB). Het menselijke gehoor heeft een enorm dynamisch bereik qua intensiteit, waardoor een logaritmische schaal vereist is om verschillen waarneembaar en vergelijkbaar te maken.

Belangrijke concepten

• Logaritmische schaal: Omdat het gehoor logaritmisch waarneemt, wordt geluidsniveau berekend via het logaritme van de verhouding tussen de gemeten intensiteit $I$ en de referentie-intensiteit $I_0$.

• Referentie-intensiteit: De hoorgrens voor het menselijk oor ligt rond $I_0 = 10^{-12}$ W/m² en komt overeen met 0 dB. De pijngrens ligt rond $I_{\text{max}} = 1$ W/m², overeenkomend met 120 dB.

• Relatie tussen geluidsniveau en intensiteit: Elke verhoging van het geluidsniveau met 10 dB betekent dat de intensiteit een factor 10 groter wordt. Een toename met 20 dB resulteert in een intensiteit die 100 keer zo groot is, enzovoort.

Formules en berekeningen

• Basisformule geluidsniveau: $$N = 10 \cdot \log{\left(\frac{I}{I_0}\right)}$$ waarbij:

• $N$: geluidsniveau in decibel (dB)

• $I$: gemeten intensiteit (W/m²)

• $I_0$: referentie-intensiteit, standaard $10^{-12}$ W/m²

• Relatie tussen verandering van dB en intensiteit:

• Verhoging met $n \cdot 10$ dB: $$I_{nieuw} = I_{oud} \cdot 10^{n}$$ Omgekeerd: een stijging van 40 dB boven de hoorgrens: $10^{4} = 10\,000$ keer intensere golf.

• Herleiding: - Als N stijgt van $N_1$ naar $N_2$: $$N_2 - N_1 = 10 \cdot \log{\left(\frac{I_2}{I_0}\right)} - 10 \cdot \log{\left(\frac{I_1}{I_0}\right)} = 10 \cdot \log{\left(\frac{I_2}{I_1}\right)}$$ dus: $$\frac{I_2}{I_1} = 10^{\frac{N_2 - N_1}{10}}$$

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Een fabriek produceert een geluidsintensiteit van $10^{-6}$ W/m² op een bepaalde locatie. Bereken het geluidsniveau.

Uitwerking:

$$N = 10 \cdot \log{\left(\frac{10^{-6}}{10^{-12}}\right)} = 10 \cdot \log{(10^{6})} = 10 \cdot 6 = 60~ \text{dB}$$

Het geluidsniveau bedraagt dus 60 dB.

Voorbeeld 2: Op een festival wordt het geluidsniveau gemeten op 90 dB. Welke intensiteit hoort hierbij?

Uitwerking:

$$N = 10 \cdot \log{\left(\frac{I}{10^{-12}}\right)}$$

Dus:

$$90 = 10 \cdot \log{\left(\frac{I}{10^{-12}}\right)}$$$$\frac{I}{10^{-12}} = 10^{9}$$$$I = 10^{-12} \times 10^{9} = 10^{-3} \;\text{W/m}^2$$

Voorbeeld 3: Wat gebeurt er met de intensiteit als het geluidsniveau stijgt van 70 dB tot 100 dB?

Uitwerking:

• Verschil: 100 - 70 = 30 dB

• Factor: $10^{30/10} = 10^3 = 1000$ De intensiteit stijgt met een factor 1.000.

Veel gemaakte fouten

• Verkeerde substitutie van de referentie-intensiteit $I_0$: sommige studenten gebruiken een verkeerde waarde, wat leidt tot foute dB-waarden.

• Vergeten dat het logaritme in basis tien is, of verwarring met natuurlijke logaritme.

• Het niet herkennen van het exponentieel effect van decibelverhoging: het verschil van 20 dB is geen verdubbeling maar een factor 100.

• Omrekeningen tussen intensiteit en dB verkeerd uitvoeren, met name het omvormen van negatieve exponenten.

Vergelijkingstabel decibel, Bel en intensiteit

Definitie

De decibel is een afgeleide eenheid gelijk aan 1/10 Bel. Geluidsniveau en intensiteit zijn verbonden via een logaritmische relatie: een stijging met 10 dB staat gelijk aan een vertienvoudiging van de intensiteit. Een helder overzicht van verschillende decibelwaarden, de bijbehorende logaritmische waarde en de corresponderende intensiteit maakt deze exponentiële schaal inzichtelijk.

Belangrijke concepten

• Exponentiële schaal: Elke tien dB is een orde van grootte extra intensiteit.

• Praktisch bereik: Het menselijk oor bestrijkt een bereik van 0 dB (hoorgrens, $10^{-12}$ W/m²) tot 120 dB (pijngrens, 1 W/m²).

• Bel versus decibel: 1 Bel = 10 decibel. In de praktijk wordt zelden de Bel zelf gehanteerd.

Formules en berekeningen

dB-waarde	Bel-waarde	Logaritmische waarde	Intensiteit (W/m²)
0 dB	0,0 B	log(1) = 0	$1,0 \times 10^{-12}$
10 dB	1,0 B	log(10) = 1	$1,0 \times 10^{-11}$
20 dB	2,0 B	log(100) = 2	$1,0 \times 10^{-10}$
30 dB	3,0 B	log(1000) = 3	$1,0 \times 10^{-9}$
40 dB	4,0 B	log(10^4) = 4	$1,0 \times 10^{-8}$
50 dB	5,0 B	log(10^5) = 5	$1,0 \times 10^{-7}$
60 dB	6,0 B	log(10^6) = 6	$1,0 \times 10^{-6}$
70 dB	7,0 B	log(10^7) = 7	$1,0 \times 10^{-5}$
80 dB	8,0 B	log(10^8) = 8	$1,0 \times 10^{-4}$
90 dB	9,0 B	log(10^9) = 9	$1,0 \times 10^{-3}$
100 dB	10,0 B	log(10^{10})=10	$1,0 \times 10^{-2}$
110 dB	11,0 B	log(10^{11})=11	$1,0 \times 10^{-1}$
120 dB	12,0 B	log(10^{12})=12	$1,0 \times 10^{0} = 1$

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Als een omgeving een geluidsniveau van 70 dB heeft, lees je uit de tabel af: logaritmische waarde = 7, intensiteit = $1,0 \times 10^{-5}$ W/m².

Voorbeeld 2: Een aantal apparaten zorgen samen voor een geluidsniveau van 100 dB. Dit correspondeert met een intensiteit van $1,0 \times 10^{-2}$ W/m². Als men daarbovenop een identieke bron toevoegt (zelfde intensiteit), stijgt het geluidsniveau met circa 3 dB (factor 2 intensiteit). Nieuw geluidsniveau:

$$N_{nieuw} = 10 \cdot \log{2 \cdot 10^{-2}/10^{-12}} = 10 \cdot ( \log{2} + 10) \approx 10 \cdot (0,301 + 10) = 103,01 \text{ dB}$$

Veel gemaakte fouten

• Foutief aannemen dat een stijging met bijvoorbeeld 20 dB een verdubbeling inhoudt i.p.v. een honderdvoud.

• Verkeerde lezing uit de tabel van intensiteit bij een bepaalde dB-waarde.

• Verwisselen van Bel en decibel: niet herkennen dat dB steeds een tiende van een Bel is.

Samenvatting

• Het vermogen van een golf bepaalt hoeveel energie per seconde wordt getransporteerd en is proportioneel met het kwadraat van de amplitude en van de frequentie.

• De intensiteit geeft aan welk vermogen per oppervlakseenheid wordt waargenomen en volgt de formule $I = \frac{P}{A}$.

• Het geluidsniveau wordt opgegeven in decibel (dB) en berekend als $N = 10 \cdot \log{\left( \frac{I}{I_0} \right)}$, met referentie-intensiteit $I_0 = 10^{-12}$ W/m².

• Decibel is een logaritmische schaal: elke stijging met 10 dB betekent een vertienvoudiging van de intensiteit.

• Overzichtelijke tabellen koppelen decibelwaarden, logaritmische waarde en corresponderende intensiteiten, van hoorgrens (0 dB, $10^{-12}$ W/m²) tot pijngrens (120 dB, 1 W/m²).

• Belangrijke valkuilen zijn het niet herkennen van de logaritmische schaal, het verwarren van Bel en decibel, of het foutief omgaan met exponenten en logaritme.

Oefenvragen

1. Een geluidsgolf heeft ter hoogte van een microfoon een intensiteit van $2 \times 10^{-8}$ W/m². a) Bereken het geluidsniveau in dB. b) Welke dB-verhoging veroorzaakt een vertienvoudiging van deze intensiteit?

*Antwoord:* a)

$$N = 10 \cdot \log{\left( \frac{2 \times 10^{-8}}{10^{-12}} \right )} = 10 \cdot \left( \log{2} + \log{10^4} \right ) = 10 \cdot (0,301 + 4) = 43,01 \text{ dB}$$

b) Een vertienvoudiging: stijging met 10 dB.

---

2. Het geluidsniveau op een druk kruispunt is 80 dB. Wat is de intensiteit in W/m², en hoeveel keer krachtiger is dit geluid dan het referentiegeluid aan de hoorgrens?

*Antwoord:* Intensiteit:

$$I = I_0 \cdot 10^{N/10} = 10^{-12} \cdot 10^{8} = 10^{-4} \text{ W/m}^2$$

Krachtiger dan hoorgrens: $10^8 = 100\,000\,000$ keer zo krachtig.

---

3. Twee identieke sirenes produceren afzonderlijk elk een geluidsniveau van 90 dB op een bepaalde plaats. Wat is het gecombineerde geluidsniveau?

*Antwoord:* Bij dubbel aantal bronnen: intensiteit x2.

$$N_{totaal} = 10 \cdot \log{(2I/ I_0)} = 10 \cdot (\log{2} + \log{I/I_0}) = 10 \cdot (0,301 + 9) = 93,01~\text{dB}$$

Dus het gezamenlijke geluidsniveau is 93 dB.

---

4. Een student meet tijdens een experiment een geluidsintensiteit van $1,0 \times 10^{-10}$ W/m². Gebruik de tabel en formule om het geluidsniveau in dB te bevestigen.

*Antwoord:*

$$N = 10 \cdot \log{\left( \frac{1,0 \times 10^{-10}}{10^{-12}} \right )} = 10 \cdot \log{(10^2)} = 10 \cdot 2 = 20~\text{dB}$$

Dit komt overeen met de tabel: 20 dB ↔ $1,0 \times 10^{-10}$ W/m².

---

5. Op een feest stijgt het geluidsniveau van 85 dB naar 100 dB. Met hoeveel vermenigvuldigt de intensiteit van het geluid?

*Antwoord:* Verschil: 100 - 85 = 15 dB.

$$\frac{I_{2}}{I_{1}} = 10^{(N_2-N_1)/10} = 10^{1,5} \approx 31,6$$

De intensiteit wordt ongeveer 32 keer groter.