Eenparige rechtlijnige versnelde beweging (ERVB) zonder en met beginsnelheid

Blok 1: Definitie en algemene kenmerken van ERVB

Definitie

Een eenparige rechtlijnige versnelde beweging (ERVB) is een lineaire beweging waarbij de versnelling $a$ constant blijft, zowel in grootte als in richting. Dit betekent dat de veranderingssnelheid van de snelheid (de versnelling) op elk tijdstip hetzelfde is. De snelheid van het bewegende voorwerp verandert hierdoor lineair in de tijd. Zowel versnelde als vertraagde bewegingen binnen één dimensie vallen onder deze noemer, zolang de versnelling onveranderd blijft.

Belangrijke concepten

• Versnelling [INLINE_EQUATION]a[/INLINE_EQUATION] is constant: De verandering van de snelheid per tijdseenheid blijft gelijk gedurende het volledige traject.

• Rechtlijnig: De beweging volgt een rechte baan, waardoor de vectoriële analyse in één richting af te handelen is.

• Snelheid [INLINE_EQUATION]v[/INLINE_EQUATION] is veranderlijk: Door de constante versnelling is de snelheid op elk tijdstip verschillend, behalve als de versnelling nul is.

• Toepassingen: Projectile motion in de afwezigheid van luchtweerstand, beweging langs een rechte helling met constante kracht.

Formules en berekeningen

• Geen expliciete formules in deze sectie; deze volgen in de volgende blokken.

Praktijkvoorbeelden

1. Vrije val zonder luchtweerstand: Een voorwerp dat vanuit stilstand wordt losgelaten, ervaart een constante zwaartekrachtversnelling en beschrijft dus een ERVB.

2. Beweging van een wagen op een luchtkussenbaan: Indien er een constante kracht wordt uitgeoefend in afwezigheid van wrijving, ondergaat de wagen een ERVB in de richting van de kracht.

Veel gemaakte fouten

• Verwarren van eenparige (d.w.z. constante snelheid) met eenparig versnelde (d.w.z. constante versnelling) beweging.

• Negeren van de richtingsafhankelijkheid (vectoriële karakter) van versnelling en snelheid.

• Aannemen dat een constante kracht altijd tot constante snelheid leidt (fout: leidt tot constante versnelling).

Blok 2: Positie als functie van de tijd bij ERVB

Definitie

De positie $x(t)$ van een voorwerp dat een ERVB uitvoert, kan analytisch worden bepaald door rekening te houden met een eventuele beginsnelheid en beginpositie. De positie volgt een kwadratische functie van de tijd.

Belangrijke concepten

• De baanvergelijking omvat drie bepalende parameters: beginpositie $x_0$, beginsnelheid $v_0$ en constante versnelling $a$.

• Zowel $v_0$ als $a$ zijn in het algemeen vectoriële grootheden. In één dimensie kan de richting via het teken worden aangegeven.

• Voor ERVB is de tijdsafhankelijkheid van de positie essentieel: het kwadratische lid ($\frac{1}{2} a t^2$) maakt de functionele relatie niet-lineair.

Formules en berekeningen

De algemeen geldende formule voor de positie bij een eenparige rechtlijnige versnelde beweging luidt:

waarbij:

• $x(t)$: positie op tijdstip $t$

• $x_0$: positie op tijdstip $t = 0$

• $v_0$: snelheid op tijdstip $t = 0$ (beginsnelheid)

• $a$: constante versnelling

Het kwadratische karakter impliceert dat de afgelegde afstand toeneemt met het kwadraat van de tijd wanneer een beginsnelheid van nul wordt gehanteerd.

Praktijkvoorbeelden

1. Voorbeeld 1: Bewegend voorwerp met beginsnelheid Een wagen start op $x_0 = 5{,}0\,\mathrm{m}$ met een beginsnelheid van $v_0 = 2{,}0\,\mathrm{m/s}$ en ondervindt een constante versnelling van $a = 1{,}5\,\mathrm{m/s}^2$. Bepaal zijn positie na $t = 4{,}0\,\mathrm{s}$. Uitwerking: $$x(4{,}0) = 5{,}0 + (2{,}0) \cdot (4{,}0) + \frac{1}{2} \cdot 1{,}5 \cdot (4{,}0)^2$$ $$x(4{,}0) = 5{,}0 + 8{,}0 + \frac{1}{2} \cdot 1{,}5 \cdot 16{,}0$$ $$= 5{,}0 + 8{,}0 + 12{,}0 = 25{,}0\,\mathrm{m}$$

2. Voorbeeld 2: Valbeweging met negatieve versnelling Een steen wordt vanuit een hoogte van $x_0 = 80\,\mathrm{m}$ omhoog gegooid met $v_0 = 12\,\mathrm{m/s}$, tegen de zwaartekracht in ($a = -9{,}81\,\mathrm{m/s}^2$). Wat is de hoogte na $t = 2{,}0\,\mathrm{s}$? Uitwerking: $$x(2{,}0) = 80 + 12 \cdot 2{,}0 + \frac{1}{2} \cdot (-9{,}81) \cdot (2{,}0)^2$$ $$= 80 + 24 - \frac{1}{2} \cdot 9{,}81 \cdot 4$$ $$= 80 + 24 - 19{,}62 = 84{,}38\,\mathrm{m}$$

Veel gemaakte fouten

• Vergeten het kwadratisch tijdslid ($\frac{1}{2} a t^2$) toe te voegen, wat leidt tot een lineair foutbeeld.

• Verkeerde interpretatie van het teken van $a$ bij beweging tegen de versnelling in (bijvoorbeeld oppassen bij negatieve versnelling).

• Verwarren van beginpositie ($x_0$) met de afgelegde afstand.

Blok 3: Snelheid als functie van de tijd bij ERVB

Definitie

Bij een eenparige rechtlijnige versnelde beweging is de snelheid $v(t)$ op elk tijdstip $t$ een lineaire functie van de tijd. Dit volgt rechtstreeks uit de definitie van versnelling als tijdsafgeleide van de snelheid.

Belangrijke concepten

• Zowel $v(t)$ als $v_0$ en $a$ zijn vectoriële grootheden; hun richting is bepalend voor het verloop van de beweging.

• Het teken van $a$ bepaalt of de snelheid toeneemt (versnelling in dezelfde richting als de beginsnelheid) of afneemt (versnelling tegengesteld aan de beginsnelheid → vertraging).

• Het snijpunt met de tijdas ($v(t) = 0$) geeft het moment aan waarop het voorwerp tot stilstand komt, bijvoorbeeld bij opwaartse worp gevolgd door val.

Formules en berekeningen

De formule luidt:

waarbij:

• $v(t)$: snelheid op tijdstip $t$

• $v_0$: beginsnelheid (vector!)

• $a$: versnelling (constant, vector!)

Praktijkvoorbeelden

1. Voorbeeld 1: Versnellende beweging Een trein vertrekt met een beginsnelheid van $v_0 = 0$ en versnelt met $a = 1{,}20\,\mathrm{m/s}^2$. Wat is de snelheid na $t = 10\,\mathrm{s}$? Uitwerking: $$v(10) = 0 + 1{,}20 \cdot 10 = 12\,\mathrm{m/s}$$

2. Voorbeeld 2: Remmende beweging Een auto rijdt met $v_0 = 18\,\mathrm{m/s}$ en remt af met $a = -3,0\,\mathrm{m/s^2}$. Wat is de snelheid na $t = 4\,\mathrm{s}$? Uitwerking: $$v(4) = 18 + (-3,0) \cdot 4 = 18 - 12 = 6\,\mathrm{m/s}$$

Veel gemaakte fouten

• Vergeten om het negatieve teken bij remmende (vertraagde) beweging correct toe te passen.

• Aanname dat $v_0 = 0$ is zonder dat dit bepaald werd uit de context van het vraagstuk.

• Verwaarlozen van de richting bij vectoriële interpretaties, waardoor men de snelheid foutief positief houdt bij omgekeerde bewegingsrichting.

Blok 4: Verband tussen snelheid en positie (energiebenadering)

Definitie

Bij een ERVB bestaat een direct verband tussen de snelheid van het voorwerp en zijn afgelegde positie, onafhankelijk van de tijdsparameter. Dit verband is vooral van belang voor situaties waar tijd als tussenstap expliciet vermeden moet worden, bijvoorbeeld bij energieoverwegingen of kinematica zonder tijdsgegevens.

Belangrijke concepten

• Afgeleid door eliminatie van de tijdsvariabele tussen $v(t)$ en $x(t)$.

• Vormt de basis voor klassieke kinematische energie-argumentatie: de verandering van kinetische energie is recht evenredig met het geleverde vermogen via de constante kracht.

Formules en berekeningen

De relationele formule is:

waarbij:

• $v$: snelheid op positie $x$

• $v_0$: beginsnelheid op $x_0$

• $a$: constante versnelling

• $x - x_0$: verplaatsing ten opzichte van beginpositie

Praktijkvoorbeelden

1. Voorbeeld 1: Hoogte bereiken bij een worp Een voorwerp wordt verticaal omhoog gegooid met $v_0 = 20\,\mathrm{m/s}$ tegen een versnellingsveld $a = -9,81\,\mathrm{m/s}^2$. Welke maximale hoogte bereikt het voorwerp t.o.v. de werppositie? Uitwerking: Op maximumhoogte is $v = 0$. $$0 = (20)^2 + 2 \cdot (-9,81) \cdot (x_{max} - 0)$$ $$-400 = 2 \cdot (-9,81) \cdot x_{max}$$ $$-400 = -19,62 \cdot x_{max}$$ $$x_{max} = \frac{400}{19,62} \approx 20,4\,\mathrm{m}$$

2. Voorbeeld 2: Remweg berekenen Een voertuig rijdt met $v_0 = 25\,\mathrm{m/s}$ en moet tot stilstand komen ($v = 0$) bij een constante vertraging $a = -5,0\,\mathrm{m/s}^2$. Wat is de benodigde remweg? Uitwerking: $$0 = (25)^2 + 2 \cdot (-5,0) \cdot (x - 0)$$ $$625 = 10 \cdot x$$ $$x = \frac{625}{10} = 62,5\,\mathrm{m}$$

Veel gemaakte fouten

• Foutief oplossen naar $x$ zonder correcte voorrang van tekens, vooral bij negatieve versnelling.

• Verkeerd invullen van verplaatsing als totale afgelegde afstand, terwijl $(x - x_0)$ directe verplaatsing is.

• Negeren van fysieke onmogelijkheid van negatieve kwadraten bij niet-nul eindposities.

Blok 5: Speciale situatie – vertrek uit rust

Definitie

Wanneer een beweging uit rust vertrekt, geldt voor de beginsnelheid $v_0 = 0$. Dit vereenvoudigt alle formules en maakt de berekening van positie en snelheid directer, omdat het lineaire beginsnelheidslid wegvalt.

Belangrijke concepten

• De beginvoorwaarden bepalen de exacte functievoorschriften voor $x(t)$ en $v(t)$.

• Bij vertrek uit rust worden alle termen in de oplossingen die afhankelijk zijn van $v_0$ geëlimineerd.

Formules en berekeningen

De aangepaste formules voor vertrek uit rust zijn:

• Positie: $$x(t) = x_0 + \frac{1}{2} a t^2$$

• Snelheid: $$v(t) = a t$$

• Kinematisch verband: $$v^2 = 2 a (x - x_0)$$

Praktijkvoorbeelden

1. Voorbeeld 1: Vrije val uit rust Een bal valt uit rust vanaf $x_0 = 100\,\mathrm{m}$ boven de grond. Na hoeveel tijd is de hoogte gehalveerd, neem $a = -9,81\,\mathrm{m/s}^2$? Uitwerking: Gevraagd: tijd $t$ bij $x(t) = 50\,\mathrm{m}$. $$50 = 100 + \frac{1}{2} \cdot (-9,81) t^2$$ $$50 - 100 = -4,905 t^2$$ $$-50 = -4,905 t^2$$ $$t^2 = \frac{50}{4,905} \approx 10,19$$ $$t \approx 3,19\,\mathrm{s}$$

2. Voorbeeld 2: Auto versnelt uit rust Een auto vertrekt vanuit stilstand met een constante versnelling van $3{,}0\,\mathrm{m/s}^2$. Na welke afstand heeft de wagen een snelheid van $18\,\mathrm{m/s}$ bereikt? Uitwerking: Gebruik $v^2 = 2 a (x - x_0)$: $$(18)^2 = 2 \cdot 3,0 \cdot x$$ $$324 = 6x \implies x = 54\,\mathrm{m}$$

Veel gemaakte fouten

• Onterecht aannemen dat $v_0 = 0$ terwijl dat niet uit de fysieke situatie volgt.

• Vergeten aangepaste, vereenvoudigde formules te gebruiken bij vertrek uit rust.

• Onjuiste interpretatie van de negatieve versnelling bij valbewegingen, wat kan leiden tot onrealistische tijd- of afstandswaarden.

Samenvatting

• Eenparige rechtlijnige versnelde beweging (ERVB): Een lineaire beweging met constante versnelling, resulterend in een snelheidsverandering die lineair met de tijd toeneemt of afneemt afhankelijk van de richting van $a$.

• Positievergelijking: $$x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$$ met duidelijk onderscheid tussen beginpositie, beginsnelheid en constante versnelling.

• Snelheid als functie van de tijd: $$v(t) = v_0 + a t$$ Belangrijk: steeds vectorieel interpreteren, correcte tekenkeuze cruciaal.

• Direct verband tussen snelheid en positie: $$v^2 = v_0^2 + 2a(x - x_0)$$ Handig bij vraagstukken zonder tijdsinformatie.

• Vertrek uit rust: Beginsnelheid $v_0 = 0$ vereenvoudigt alle uitdrukkingen en maakt analyse direct.

• Veelgemaakte fouten op eindexamenniveau: Foute tekenkeuze bij versnellingsvector, verwarring tussen positie en afgelegde afstand, inconsistent gebruik van aangepaste formules bij vertrek uit rust, vergeten het kwadratisch tijdslid bij positie.

Oefenvragen

1. Een fietser vertrekt vanuit rust en versnelt rechtlijnig met [INLINE_EQUATION]2{,}5\,\mathrm{m/s}^2[/INLINE_EQUATION] gedurende [INLINE_EQUATION]8{,}0\,\mathrm{s}[/INLINE_EQUATION]. - a) Bereken de eindsnelheid. - b) Bepaal de afgelegde afstand. Antwoorden: - a) $v(t) = a t = 2{,}5 \cdot 8 = 20\,\mathrm{m/s}$ - b) $x(t) = x_0 + \frac{1}{2} a t^2 = 0 + 0,5 \cdot 2,5 \cdot 64 = 80\,\mathrm{m}$

2. Een steen wordt met een beginsnelheid van [INLINE_EQUATION]14\,\mathrm{m/s}[/INLINE_EQUATION] recht naar boven gegooid. - a) Hoe lang duurt het tot het hoogste punt bereikt is? (Gebruik $a = -9{,}81\,\mathrm{m/s}^2$) - b) Welke maximale hoogte bereikt de steen t.o.v. het vertrekpunt? Antwoorden: - a) Op hoogste punt $v = 0$, dus $0 = 14 - 9{,}81 t \implies t = 1,43\,\mathrm{s}$ - b) $x_{max} = 0 + 14 \cdot 1,43 + 0,5 \cdot (-9,81) \cdot (1,43)^2 = 20,02 - 10,015 = 10,0\,\mathrm{m}$

3. Een trein rijdt met een snelheid van [INLINE_EQUATION]22\,\mathrm{m/s}[/INLINE_EQUATION] en remt af met [INLINE_EQUATION]-1{,}1\,\mathrm{m/s}^2[/INLINE_EQUATION]. - a) Hoe lang duurt het tot stilstand? - b) Welke afstand legt de trein tijdens het remmen af? Antwoorden: - a) $0 = 22 - 1,1 t \implies t = 20\,\mathrm{s}$ - b) $x = 0 + 22 \cdot 20 + 0,5 \cdot (-1,1) \cdot (20)^2 = 440 - 220 = 220\,\mathrm{m}$

4. Een raketschlittenproef: een voertuig start op [INLINE_EQUATION]x_0 = 0[/INLINE_EQUATION] met [INLINE_EQUATION]v_0 = 15\,\mathrm{m/s}[/INLINE_EQUATION] en versnelt met [INLINE_EQUATION]6{,}0\,\mathrm{m/s}^2[/INLINE_EQUATION]. Na hoeveel meter heeft het voertuig een snelheid van [INLINE_EQUATION]39\,\mathrm{m/s}[/INLINE_EQUATION]? Antwoord: - $v^2 = v_0^2 + 2 a x \implies 39^2 = 15^2 + 2 \cdot 6 \cdot x \implies 1521 = 225 + 12x \implies 1296 = 12x \implies x = 108\,\mathrm{m}$