Eenparige cirkelvormige beweging (ECB)

Blok 1: Definitie en basisprincipes van de ECB

Definitie

Een eenparige cirkelvormige beweging (ECB) is een beweging waarbij een object met een constante snelheid over een cirkelvormige baan beweegt. Gedurende deze beweging legt het object in gelijke tijdsintervallen altijd gelijke hoeken af ten opzichte van het middelpunt van de cirkel. Dit betekent dat er sprake is van een constante hoeksnelheid, genoteerd als ω (omega).

Formeel wordt een ECB gedefinieerd als volgt: Een beweging waarbij een lichaam een cirkelomtrek doorloopt met een constante hoeksnelheid ω, zodat in elk tijdsinterval Δt dezelfde booghoek Δθ wordt doorlopen, onafhankelijk van de positie op de cirkel.

Belangrijke concepten

Snelheidsvector (v): Hoewel de groottte van de snelheid constant blijft tijdens een ECB, verandert de richting voortdurend. De snelheid is op elk moment steeds gericht langs de raaklijn (tangens) aan de cirkelbaan ter hoogte van de positie van het object. De snelheidsvector staat dus altijd loodrecht op de straal van de cirkel naar de huidige positie van het object.

Krachtsvector (centripetale kracht) en versnelling (a): Voor een voorwerp om in een cirkelbaan te blijven, is een resulterende kracht vereist die continu naar het middelpunt van de cirkel wijst. Deze kracht wordt de centripetale kracht genoemd. De bijbehorende versnelling, eveneens centripetaal genoemd, wijst ook altijd naar het middelpunt van de cirkel. In vectornotatie ligt de versnelling a dus radiaal naar binnen, terwijl de snelheidsvector v tangentieel ligt.

Constante hoeksnelheid (ω): De hoeksnelheid ω is de snelheid waarmee het object de hoek θ aflegt ten opzichte van een vast referentiepunt (meestal de positieve x-as). Bij ECB geldt dat ω constant is:

$$ω = \frac{Δθ}{Δt} = \text{constante waarde}$$

Belangrijke notaties en termen:

• r: straal van de cirkel

• v: snelheidsvector (richting tangentieel aan de cirkel)

• a: versnellingsvector (richting radiaal naar het middelpunt, centripetal)

• θ: hoek in radialen, gemeten vanaf de x-as tot de positie van het object

• ω: hoeksnelheid

Het onderscheid tussen tangentieel (langs de raaklijn aan de cirkel) en radiaal (naar het middelpunt) is essentieel:

• Snelheid (v): tangentieel

• Versnelling (a) en kracht: radiaal naar binnen

Formules en berekeningen

Hoeksnelheid en omloopstijd: De hoeksnelheid ω is gekoppeld aan de omlooptijd T (de tijd om de volledige cirkel te doorlopen) via:

$$ω = \frac{2π}{T}$$$$T = \frac{2π}{ω}$$

Tangentiële snelheid: De snelheid v van het object is gerelateerd aan de hoeksnelheid ω en de straal r van de cirkel:

$$v = ω r$$

Centripetale versnelling: De grootte van de centripetale versnelling a_c is:

$$a_c = \frac{v^2}{r} = ω^2 r$$

Centripetale kracht: De kracht nodig om de cirkelbeweging in stand te houden (uitgaande van een massa m):

$$F_c = m a_c = m \frac{v^2}{r} = m ω^2 r$$

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Satelliet in een baan om de aarde Een satelliet beweegt in een cirkelbaan met straal 7000 km rond de aarde met een omlooptijd van 6000 s. Bereken de hoeksnelheid, de baansnelheid en de centripetale versnelling van de satelliet.

Hoeksnelheid:

$$ω = \frac{2π}{T} = \frac{2π}{6000}\ \text{rad/s} ≈ 0,00105\ \text{rad/s}$$

Tangentiële snelheid:

$$v = ω r = 0,00105 \times 7,0 \times 10^6\ \text{m/s} = 7350\ \text{m/s}$$

Centripetale versnelling:

$$a_c = ω^2 r = (0,00105)^2 \times 7,0 \times 10^6\ \text{m/s}^2 ≈ 7,71\ \text{m/s}^2$$

Voorbeeld 2: Elektron in een cyclotron Een elektron draait met constante snelheid in een cirkel van straal 0,5 m in een magneetveld. De snelheid is 2,0 × 10^7 m/s. Bereken de hoeksnelheid en de benodigde centripetale kracht.

Hoeksnelheid:

$$ω = \frac{v}{r} = \frac{2,0 \times 10^{7}}{0,5} = 4,0 \times 10^7\ \text{rad/s}$$

Centripetale kracht (massa elektron m = 9,1 × 10^{-31} kg):

$$F_c = m \frac{v^2}{r} = 9,1 \times 10^{-31} \times \frac{(2,0 \times 10^{7})^2}{0,5} = 9,1 \times 10^{-31} \times \frac{4,0 \times 10^{14}}{0,5} = 9,1 \times 10^{-31} \times 8,0 \times 10^{14} = 7,28 \times 10^{-16}\ \text{N}$$

Veel gemaakte fouten

• Zulke fouten omvatten het verwarren van richtingen: studenten tekenen de snelheidsvector vaak radiaal (naar het middelpunt) in plaats van tangentieel aan de cirkelbaan.

• Vergeten dat bij ECB de grootheid v constant is in grootte maar niet in richting; de verkeerde aanname dat de snelheid niet verandert omdat |v| constant is, wat de noodzaak voor centripetale versnelling miskent.

• Foutief gelijkstellen van hoeksnelheid ω en tangentiële snelheid v; deze zijn slechts via de cirkelstraal r aan elkaar gekoppeld en niet identiek.

• Onjuiste toepassing van de formule voor versnelling of kracht door r te verwisselen met diameter of door ω te gebruiken waar v bedoeld is.

• In opgaven met éénheidsanalyse wordt soms onzorgvuldig gerekend met rad/s versus m/s, wat tot dimensionale inconsistenties leidt.

---

Blok 2: Diagram en visualisatie van krachten en vectoren bij ECB

Definitie

Visualisatie van een ECB vereist een correct getekend diagram waarin de essentiële vectoren en referentiepunten zijn weergegeven. Dit illustreert zowel de geometrische als de fysische aspecten van de beweging.

Belangrijke concepten

• Snelheidsvector (v): Tangentieel aan de cirkel, steeds loodrecht op de straal. Geeft op elk tijdstip de richting aan waarin het object zich zou voortbewegen indien alle krachten wegvallen.

• Versnellingsvector (a): Radiaal en gericht naar het middelpunt, ongeacht de positie van het object op de baan. Dit is de centripetale versnelling die de verandering van richting van de snelheidsvector veroorzaakt.

• Hoek θ: Gemeten tussen de positievector van het object (van middelpunt naar het object) en de x-as van het coördinatenstelsel.

• Coördinatenstelsel (x, y): Gebruikt voor het exact bepalen van de positie en voor het weergeven van de vectorcomponenten.

Formules en berekeningen

• De positievector in functie van θ: $$\vec{r}(θ) = r\,\cosθ\,\hat{\imath} + r\,\sinθ\,\hat{\jmath}$$

• De snelheidsvector (afgeleid naar tijd): $$\vec{v}(θ) = \frac{d\vec{r}}{dt} = -r ω \sinθ\,\hat{\imath} + r ω \cosθ\,\hat{\jmath}$$

• De versnellingsvector: $$\vec{a}(θ) = \frac{d\vec{v}}{dt} = -r ω^2 \cosθ\,\hat{\imath} - r ω^2 \sinθ\,\hat{\jmath}$$ Oftewel, $$\vec{a}(θ) = -ω^2 \vec{r}(θ)$$ Dit bevestigt dat de versnelling steeds naar het middelpunt wijst (tegengestelde richting van de positievector).

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Vectoranalyse op een gegeven positie Een object beweegt in ECB met r = 3 m, ω = 2 rad/s. Bepaal ter hoogte van θ = 60° (π/3 rad) de componenten van de snelheidsvector en de centripetale versnellingsvector.

Positievector:

$$\vec{r} = 3 \cos(π/3)\, \hat{\imath} + 3 \sin(π/3)\, \hat{\jmath} = 3 \times 0,5\, \hat{\imath} + 3 \times 0,866\, \hat{\jmath} = 1,5\, \hat{\imath} + 2,60\, \hat{\jmath}$$

Snelheidsvector:

$$\vec{v} = -3 \times 2 \sin(π/3)\, \hat{\imath} + 3 \times 2 \cos(π/3)\, \hat{\jmath} = -6 \times 0,866\, \hat{\imath} + 6 \times 0,5\, \hat{\jmath} = -5,20\, \hat{\imath} + 3,00\, \hat{\jmath}\,\text{m/s}$$

Versnellingsvector:

$$\vec{a} = -9 \cos(π/3)\, \hat{\imath} - 9 \sin(π/3)\, \hat{\jmath} = -9 \times 0,5\, \hat{\imath} - 9 \times 0,866\, \hat{\jmath} = -4,5\, \hat{\imath} - 7,8\, \hat{\jmath}\,\text{m/s}^2$$

Voorbeeld 2: Vectorvoorstelling in het coördinatenvlak Een steen draait aan een touw (lengte 1,2 m) rond in horizontaal vlak met f = 0,95 Hz. Teken op θ = 45° de positieve positievector, snelheidsvector, versnellingsvector.

Berekeningen:

$$ω = 2πf = 2π \times 0,95 = 5,97\,\text{rad/s}$$ Positievector: $$r = 1,2 \cos(45°)\, \hat{\imath} + 1,2 \sin(45°)\, \hat{\jmath} = 0,849\, \hat{\imath} + 0,849\, \hat{\jmath}$$ Snelheidsvector: $$v = ω r = 5,97 \times 1,2 = 7,164\,\text{m/s}$$ De richting is tangentieel: op θ = 45°, dus richting (-sin θ, cos θ): $$\vec{v} = -7,164 \sin(45°)\, \hat{\imath} + 7,164 \cos(45°)\, \hat{\jmath} = -5,07\, \hat{\imath} + 5,07\, \hat{\jmath}$$ Versnellingsvector: $$a = ω^2 r = (5,97)^2 \times 1,2 = 42,7\,\text{m/s}^2$$ Richting: naar het middelpunt (tegenovergesteld aan de positievector).

Veel gemaakte fouten

• In diagrammen de snelheidsvector niet loodrecht tekenen op de straal, waardoor de tangentiële aard niet tot uiting komt.

• Verkeerde toewijzing van de richting van de versnelling: bijvoorbeeld versnelling tekenen in dezelfde richting als de snelheid of zelfs naar buiten in plaats van naar het middelpunt.

• Onjuist gebruik van eenheden bij het tekenen van vectoren in een coördinatenstelsel, waardoor geen relatieve schaalbewustheid ontstaat.

• Verkeerde plaatsing van θ op de cirkel, door de hoek niet altijd vanaf de positieve x-as te meten of omdat men graden in plaats van radialen gebruikt zonder de juiste omzetting.

• Vergeten dat de versnellingsvector altijd in lijn ligt met −r (dus centripetaal), terwijl v altijd tangentieel staat, ook bij verschillende posities op de cirkel.

---

Samenvatting

• Eenparige cirkelvormige beweging (ECB) is gekarakteriseerd door een constante hoeksnelheid ω, waarbij een object op een cirkelbaan gelijke hoeken in gelijke tijden doorloopt.

• De snelheidsvector is continu van richting veranderend maar steeds tangentieel aan de baan; de krachtvector en de bijhorende centripetale versnelling zijn beide steeds naar het middelpunt van de cirkel gericht.

• Essentiële relaties zijn: $v = ω r$, $a_c = \frac{v^2}{r} = ω^2 r$, en $F_c = m a_c$.

• Visualisaties tonen dat v tangentieel aan de baan staat, a centripetaal naar het middelpunt, en θ gemeten wordt vanaf de x-as.

• Veel voorkomende fouten zijn verwarring over vectorrichtingen, het niet correct interpreteren van ω versus v, en het fout inschatten van de richting van de centripetale kracht en versnelling.

---

Oefenvragen

Oefening 1: Een coronawiel draait met een straal van 0,30 m en een toerental van 1200 omwentelingen per minuut. a) Bereken de hoeksnelheid in rad/s. b) Bereken de geprojecteerde waarde van de snelheid op het moment dat de hoek θ = 150° is.

Antwoorden: a) Aantal omwentelingen per seconde: 1200/60 = 20 Hz

$$ω = 2π f = 2π \times 20 = 125,7\ \text{rad/s}$$

b) Tangentiële snelheid:

$$v = ω r = 125,7 \times 0,30 = 37,7\ \text{m/s}$$ De geprojecteerde waarde op bijvoorbeeld de x-as: $$v_x = -v \sin(θ) = -37,7 \sin(150°) = -37,7 \times 0,5 = -18,9\ \text{m/s}$$ ---

Oefening 2: Een proton beweegt eenparig in een cirkelbaan van straal 0,10 m met een snelheid van 1,5 × 10^6 m/s. a) Bereken de centripetale versnelling. b) Geef een schematische voorstelling van de snelheids- en versnellingsvector als het proton op θ = π/2 (y-as positief) zit.

Antwoorden: a)

$$a_c = \frac{v^2}{r} = \frac{(1,5 \times 10^6)^2}{0,10} = 2,25 \times 10^{13}\ \text{m/s}^2$$

b) Op θ = π/2:

• Positievector naar (0, 0,10)

• Snelheidsvector: tangentieel, dus richting positieve x-as (tangens aan cirkel bij y-max)

• Versnellingsvector: radiaal naar het middelpunt, dus in negatieve y-richting

---

Oefening 3: Teken voor een ECB met straal 2,0 m en ω = 3,0 rad/s de positievector, snelheidsvector en centripetale versnellingsvector bij θ = 0, θ = π/2 en θ = π. Bereken in elk geval de vectorcomponenten.

Antwoorden: Bij θ = 0: $\vec{r} = (2,0, 0)$, $\vec{v} = (0, 6,0)$, $\vec{a} = (-18, 0)$

Bij θ = π/2: $\vec{r} = (0, 2,0)$, $\vec{v} = (-6,0, 0)$, $\vec{a} = (0, -18)$

Bij θ = π: $\vec{r} = (-2,0, 0)$, $\vec{v} = (0, -6,0)$, $\vec{a} = (18, 0)$

De spanningsvector is steeds tangentieel, de centripetale versnelling radiaal naar binnen.