Arbeid geleverd door een constante kracht die niet evenwijdig is met de verplaatsing

Blok 1: Inleiding tot arbeid en energie

Definitie

Ener­gie is de fys­i­sche grootheid die de capaciteit beschrijft om arbeid te leveren. Arbeid wordt in dit kader gedefinieerd als de overdracht van energie door middel van een kracht die wordt uitgeoefend over een zekere verplaatsing.

Belangrijke concepten

Binnen de klassieke mechanica beschrijft arbeid specifiek het proces waarbij een kracht op een object inwerkt en daardoor een energieoverdracht tussen systemen teweegbrengt. De arbeid ontstaat enkel als er zowel een kracht wordt uitgeoefend als een verplaatsing plaatsvindt.

Formules en eenheden

• Arbeid (aangeduid als $W$) wordt gemeten in Joule (J), waarbij $1~\text{Joule} \equiv 1~\text{Newton} \cdot 1~\text{meter}~ (1~\text{J} = 1~\text{N}\cdot\text{m})$.

Praktijkvoorbeelden

Hieraan zijn geen uitgebreide voorbeelden nodig; de focus ligt op zuiver het kaderen van de begrippen.

Veel gemaakte fouten

• Het enige relevante aandachtspunt op dit niveau is om arbeid altijd te koppelen aan een kracht én verplaatsing. Geen arbeid betekent dat minimaal één van beide ontbreekt.

Blok 2: Arbeid bij een niet-evenwijdige kracht

Definitie

Wanneer een constante kracht een object verplaatst en deze kracht is niet evenwijdig aan de richting van de verplaatsing, wordt alleen het component van de kracht in de richting van de verplaatsing in rekening gebracht bij het berekenen van de arbeid.

Belangrijke concepten

De arbeid $W$ geleverd door een constante kracht $F$ die onder een hoek $\theta$ met de verplaatsing $\Delta x$ wordt uitgeoefend, wordt gegeven door de volgende algemene formule:

• $W = F \cdot \Delta x \cdot \cos\theta$

Hierbij is $F$ de grootte van de uitgeoefende kracht, $\Delta x$ de afgelegde afstand, en $\theta$ de hoek tussen de richting van de kracht en de richting van de verplaatsing.

Het gebruik van de cosinusfunctie ($\cos\theta$) selecteert het naar de verplaatsing geprojecteerde component van de kracht. Zo telt alleen het deel van de kracht mee dat daadwerkelijk arbeid verricht in de richting van de verplaatsing.

Formules en berekeningen

De algemene formule:

• $W$: Arbeid in Joule (J)

• $F$: Grootte van de uitgeoefende kracht in Newton (N)

• $\Delta x$: Grootte van de verplaatsing in meter (m)

• $\theta$: Hoek tussen krachtvector en verplaatsingsvector in radialen of graden

Belangrijk: Enkel de component $F\cos\theta$ is verantwoordelijk voor de energietransfer richting verplaatsing.

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Trekking van een trolley

Stel dat een persoon een trolley voorttrekt met een trekkracht $F = 120~\text{N}$ onder een hoek van $\theta = 30^\circ$ ten opzichte van de horizontale verplaatsingsrichting. In een rechte lijn wordt de trolley over een afstand van $\Delta x = 8{,}0~\text{m}$ verplaatst.

Bereken de verrichte arbeid:

• Er wordt enkel het horizontale component van de kracht in rekening gebracht:

  • $F_\text{horizontaal} = F\cos\theta = 120~\text{N} \cdot \cos(30^\circ) = 120~\text{N} \cdot 0,866 = 103,9~\text{N}$

  • Arbeid: $W = F_\text{horizontaal} \cdot \Delta x = 103,9~\text{N} \cdot 8,0~\text{m} \approx 831~\text{J}$

Voorbeeld 2: Bagage op een lopende band

Een koffer wordt met een kracht $F = 60~\text{N}$ onder $\theta = 45^\circ$ over een afstand van $4,0~\text{m}$ horizontaal verplaatst op een lopende band.

• $F_\text{horizontaal} = 60~\text{N} \times \cos(45^\circ) = 60~\text{N} \times 0,707 = 42,4~\text{N}$

• Arbeid: $W = 42,4~\text{N} \times 4,0~\text{m} = 169,6~\text{J}$

Veel gemaakte fouten

• Vergeten om de hoek $\theta$ in rekening te brengen, waardoor men $F \cdot \Delta x$ gebruikt in plaats van $F \cdot \Delta x \cdot \cos\theta$, en de arbeid overschat wordt.

• Verwarring tussen graden en radialen bij het berekenen van $\cos\theta$.

• Het volledige krachtvector nemen in plaats van enkel het component in de richting van de verplaatsing.

• Foutieve interpretatie van de hoek $\theta$; $\theta$ moet altijd de kleinste hoek zijn tussen de krachtvector en de verplaatsingsvector.

Blok 3: Speciale gevallen van de arbeid-formule afhankelijk van θ

Definitie

De arbeid die een kracht levert is afhankelijk van de hoek $\theta$ tussen de kracht en de verplaatsingsrichting. Drie bijzondere gevallen geven inzicht in de praktische toepassing van de arbeid-formule.

Belangrijke concepten

Geval 1: Kracht en verplaatsing hebben dezelfde zin en richting

• $\theta = 0^\circ$

• $\cos(0^\circ) = 1$

• Formule: $W = F \cdot \Delta x \cdot 1 = F \cdot \Delta x$

In dit geval wordt de volledige kracht gebruikt om arbeid te verrichten in de richting van de verplaatsing.

Geval 2: Kracht en verplaatsing hebben dezelfde richting maar tegengestelde zin

• $\theta = 180^\circ$

• $\cos(180^\circ) = -1$

• Formule: $W = F \cdot \Delta x \cdot (-1) = -F \cdot \Delta x$

Hier werkt de kracht in tegengestelde richting van de verplaatsing en zal negatieve arbeid leveren. De kracht werkt de verplaatsing actief tegen.

Geval 3: Kracht en verplaatsing staan loodrecht op elkaar

• $\theta = 90^\circ$

• $\cos(90^\circ) = 0$

• Formule: $W = F \cdot \Delta x \cdot 0 = 0$

In dit geval is er geen component van de kracht in de richting van de verplaatsing, en verricht de kracht geen arbeid.

Formules en berekeningen

Voor elk specifiek geval is de arbeid-formule als volgt:

• $\theta = 0^\circ:~ W = F \cdot \Delta x$

• $\theta = 180^\circ:~ W = -F \cdot \Delta x$

• $\theta = 90^\circ:~ W = 0$

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Gewichtheffen ([INLINE_EQUATION]\theta = 180^\circ[/INLINE_EQUATION])

Stel een gewichtheffer tilt een halter van $100~\text{kg}$ recht omhoog over $2,0~\text{m}$, waarbij de zwaartekracht naar beneden werkt. De verplaatsing is omhoog, de zwaartekracht omlaag: $\theta = 180^\circ$.

$F_\text{zwaartekracht} = m g = 100~\text{kg} \cdot 9,81~\text{m/s}^2 = 981~\text{N}$

$W_\text{zwaartekracht} = F_\text{zwaartekracht} \cdot \Delta x \cdot \cos(180^\circ) = 981~\text{N} \cdot 2,0~\text{m} \cdot (-1) = -1962~\text{J}$

De zwaartekracht levert negatieve arbeid: tijdens het optillen neemt de potentiële energie toe op kosten van arbeid tegen de zwaartekracht in.

Voorbeeld 2: Draaiend wiel ([INLINE_EQUATION]\theta = 90^\circ[/INLINE_EQUATION])

Een wiel beweegt met een constante snelheid over een vlakke ondergrond. De normaalkracht (loodrecht op de verplaatsingsrichting) heeft $\theta = 90^\circ$.

$W_\text{normaal} = F_\text{normaal} \cdot \Delta x \cdot \cos(90^\circ) = F_\text{normaal} \cdot \Delta x \cdot 0 = 0$

De normaalkracht verricht geen arbeid ondanks de constante verplaatsing, aangezien de krachtvector loodrecht staat op de verplaatsingsvector.

Veel gemaakte fouten

• $\theta$ niet correct bepalen: men kiest soms per ongeluk een hoek van $0^\circ$ of $180^\circ$ terwijl de richtingen niet exact tegengesteld of gelijklopend zijn.

• Foutief rekenen van arbeid door krachten die geen component in verplaatsingsrichting hebben (zoals normaalkracht of lading van de kabel bij cirkelbewegingen).

• Verwarring over het negatief teken: negatieve arbeid betekent niet dat energie "verloren" gaat, maar verwijst naar energie die het systeem verliest of opneemt.

Blok 4: Interpretatie van het teken van arbeid

Definitie

Het teken van de arbeid (positief of negatief) geeft aan of er door het kracht leverende systeem energie wordt afgestaan of opgenomen.

Belangrijke concepten

• $W > 0$: Positieve arbeid betekent dat het kracht leverende systeem arbeid uitoefent en energie overdraagt aan het systeem waarop het werkt. Dit scenario komt voor als de kracht een component heeft in de richting van de verplaatsing.

• $W < 0$: Negatieve arbeid betekent dat het kracht leverende systeem energie opneemt van het systeem waarop het werkt. Hier werkt de kracht tegen de bewegingsrichting in.

Formules en verklaring

Dit volgt rechtstreeks uit de formule $W = F \cdot \Delta x \cdot \cos\theta$:

• $\cos\theta > 0 \Rightarrow W > 0$: kracht en verplaatsing gelijkaardig gericht

• $\cos\theta < 0 \Rightarrow W < 0$: kracht en verplaatsing tegengesteld gericht

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Remkracht op een auto

Een auto met snelheid waarop een remkracht in tegengestelde richting werkt, resulteert in $W < 0$. De remmen absorberen energie van het rijdende voertuig: arbeid wordt geleverd door het voertuig aan de remmen.

Voorbeeld 2: Voorwaartse kracht op een trein

Een locomotief levert een voorwaartse kracht in de richting van de rijrichting ($\theta = 0^\circ,~ W > 0$), waardoor het systeem arbeid levert aan de trein om deze te versnellen.

Veel gemaakte fouten

• Het verkeerd interpreteren van negatieve arbeid als “ongewenst”: negatieve arbeid is correct wanneer krachten tegengesteld werken aan de verplaatsing (bv. remmen, wrijving).

• Niet steeds een fysische betekenis toekennen aan het teken van arbeid, zodat men mist wie werk levert aan wie.

Samenvatting

• Arbeid is de overdracht van energie door middel van een kracht uitgeoefend over een verplaatsing; enkel het component van de kracht in de richting van de verplaatsing verricht arbeid.

• De algemene formule voor arbeid bij een constante kracht onder een hoek $\theta$ met de verplaatsingsrichting is: $W = F \cdot \Delta x \cdot \cos\theta$.

• In drie specifieke gevallen levert dit op: loodrechte kracht ($W = 0$), kracht en verplaatsing in dezelfde zin ($W = F\cdot\Delta x$), en kracht en verplaatsing in tegengestelde zin ($W = -F\cdot\Delta x$).

• Het teken van $W$ geeft aan of het systeem arbeid levert (positief) of ontvangt (negatief).

• Correcte interpretatie van $\theta$ en het signaal beperkingen zijn essentieel om realistische en fysisch te verantwoorden oplossingen voor examenvragen te formuleren.

Oefenvragen

Vraag 1 Een kabelspoor trekt een kar van $800~\text{kg}$ met een constante kracht van $1,6~\text{kN}$ onder een hoek van $25^\circ$ boven de horizontale richting over een afstand van $50~\text{m}$. Bereken de geleverde arbeid door de kracht van het kabelspoor.

Antwoord 1 $F = 1,6~\text{kN} = 1600~\text{N}$; $\theta = 25^\circ$; $\Delta x = 50~\text{m}$ $W = F \cdot \Delta x \cdot \cos\theta = 1600~\text{N} \cdot 50~\text{m} \cdot \cos(25^\circ)$ $\cos(25^\circ) \approx 0,9063$ $W = 1600 \times 50 \times 0,9063 \approx 72\,504~\text{J}$

Vraag 2 Een kist glijdt $5,0~\text{m}$ over een ruw oppervlak. De wrijvingskracht werkt tegen de bewegingsrichting in en heeft een grootte van $150~\text{N}$. Bereken het verrichte arbeid door de wrijvingskracht.

Antwoord 2 $\theta = 180^\circ$ (tegenovergesteld) $W = F \cdot \Delta x \cdot \cos\theta = 150~\text{N} \cdot 5,0~\text{m} \cdot (-1) = -750~\text{J}$

Vraag 3 Een lading van $200~\text{N}$ hangt aan een kabel en wordt horizontaal $3,0~\text{m}$ verplaatst. Wat is de arbeid verricht door de zwaartekracht?

Antwoord 3 De zwaartekracht werkt verticaal, de verplaatsing is horizontaal; $\theta = 90^\circ$ $W = F \cdot \Delta x \cdot \cos\theta = 200~\text{N} \cdot 3,0~\text{m} \cdot 0 = 0~\text{J}$ De zwaartekracht verricht geen arbeid in deze verplaatsing.

Vraag 4 Tijdens het opheffen van een gewicht van $500~\text{N}$ over een verticale afstand van $1,2~\text{m}$ berekent een leerling een arbeid van $-600~\text{J}$ voor de zwaartekracht. Leg uit waarom het teken negatief is en geef een context waarin deze arbeid als positief geldt.

Antwoord 4 De zwaartekracht werkt naar beneden, de verplaatsing is naar boven: arbeid door de zwaartekracht is negatief ($\theta = 180^\circ,~\cos\theta = -1$), want deze werkt tegen de verplaatsingsrichting. Bij het laten zakken van het gewicht (verplaatsing naar beneden) wordt de arbeid positief (kracht en verplaatsing in dezelfde richting).