Gecombineerde lessen: Hydrostatische druk, totale druk in een vloeistof & Archimedeskracht (met inbegrip van drijven, zinken en zweven)

Blok 1: Introductie – Druk in vloeistoffen: hydrostatische druk

Definitie

Hydrostatische druk is de druk die uitgeoefend wordt door een stilstaande vloeistof op een willekeurig punt op een bepaalde diepte onder het vloeistofoppervlak, als gevolg van de zwaartekracht die inwerkt op de vloeistofmassa boven dat punt. Deze druk ontstaat vanwege het gewicht van de vloeistofkolom die zich boven het beschouwde punt bevindt.

Belangrijke concepten

• Hydrostatische druk: Enkel van toepassing bij stabiele, stilstaande vloeistoffen. Beweging, stromen of turbulentie zijn uitgesloten.

• Statische vloeistof: De toestand waarin geen macroscopische verplaatsing van de vloeistof optreedt; er is evenwicht.

• Bepaalde diepte: De diepte (‘h’) is steeds gemeten loodrecht vanaf het oppervlak van de vloeistof tot het punt in kwestie.

• Zwaartekracht: Verantwoordelijk voor het bestaan van deze druk (door de massa van de vloeistof boven het waarnemingspunt).

Hydrostatische druk treedt nooit op in gassen met prominente stroming (zoals wind) of in bewegende vloeistoffen waarin wrijvings- en snelheidsverschillen belangrijk zijn. Voor systematische drukberekeningen wordt altijd uitgegaan van vloeistoffen in rust.

Blok 2: Wiskundige beschrijving van hydrostatische druk

Formules en berekeningen

De totale druk op een punt op diepte ‘h’ onder het oppervlak van een statische vloeistof wordt gegeven door:

$$p = p_0 + \rho g h$$

waarbij:

• $p$: totale druk op de beschouwde diepte (in pascal, Pa)

• $p_0$: druk aan het vloeistofoppervlak (meestal atmosferische luchtdruk), in pascal (Pa)

• $\rho$: dichtheid van de vloeistof (in kilogram per kubieke meter, kg/m³)

• $g$: zwaarteveldsterkte of valversnelling (meestal 9,81 m/s², indien anders aangegeven in de opgave)

• $h$: loodrechte diepte gemeten vanaf het vloeistofoppervlak tot het punt (in meter, m)

Notatieoverzicht:

• \textbf{Druk}: ‘p’ (Pa), met $1\, \mathrm{Pa} = 1\, \mathrm{N/m^2}$

• \textbf{Dichtheid}: ‘$\rho$’ (kg/m³ of g/cm³; bij gebruik van g/cm³ omrekenen naar kg/m³: $1\, \mathrm{g/cm^3} = 1000\, \mathrm{kg/m^3}$)

• \textbf{Valversnelling}: $g$ (m/s²), standaard op aarde $g = 9,81\, \mathrm{m/s^2}$

• \textbf{Diepte}: ‘$h$’ (m)

Belangrijke aandachtspunten:

• Bij diepe systemen (grotere $h$), is het verschil tussen absolute druk en overdruk (ten opzichte van het buitenoppervlak) vaak relevant.

• $p_0$ is essentieel: vergeet de atmosferische druk niet wanneer gevraagd wordt naar totale druk diep onder wateroppervlak.

• Fouten treden vaak op bij het verkeerd omrekenen van dichtheden als gegeven in andere eenheden.

Blok 3: Visuele ondersteuning – schematische voorstelling

Stel een verticaal cilindrisch vat gevuld met vloeistof voor. Aan het uiteinde van een touw is een kleine massieve bol (pendel) bevestigd. Dit touw hangt aan een vast punt aan de bovenzijde van het vat. De bol bevindt zich geheel onder het vloeistofoppervlak op een diepte aangeduid met "h".

Wanneer “h” in deze context gebruikt wordt:

• “h” is steeds de verticale afstand van het vloeistofoppervlak tot het beschouwde punt aan de onderzijde van de bol.

• “h” geldt als universeel symbool voor diepte/hoogte in vrijwel alle vergelijkingen voor druk in een vloeistof.

Deze visualisatie ondersteunt de toepassing van “h” als variabele in de wet voor hydrostatische druk (zie vorige blok), én later bij volume- en oppervlakteberekeningen voor ondergedompelde delen.

Blok 4: Eigenschappen van hydrostatische druk

1. Constante druk op gelijke dieptes: In eenzelfde vloeistof heerst op alle punten op eenzelfde diepte $h$ exact dezelfde druk $p$, onafhankelijk van de vorm of breedte van het vat. Enkel de verticale afstand tot het oppervlak telt.

2. Isotropie van hydrostatische druk: Hydrostatische druk werkt op ieder vlak door het punt (en in alle richtingen: horizontaal, verticaal, diagonaal) even sterk (isotropisch gedrag). Deze eigenschap is essentieel voor het correct berekenen van netto krachten op ondergedompelde lichamen.

Overgang van hydrostatische druk naar archimedeskracht

Het verschil in hydrostatische druk tussen de bovenkant en onderkant van een ondergedompeld lichaam levert een resulterende netto opwaartse kracht. Dit fundamentele drukverschil vormt het fysische mechanisme achter de Archimedeskracht – dat is de reden waarom onderdompeling tot een opwaartse resultante leidt.

Blok 5: Definitie en verklaring van de archimedeskracht

Definitie

De archimedeskracht is de opwaartse kracht die uitgeoefend wordt op een lichaam dat geheel of gedeeltelijk ondergedompeld is in een vloeistof of gas. Grootte en richting zijn het directe gevolg van het hydrostatische drukverschil tussen de onderzijde (grotere diepte, dus grotere druk) en bovenzijde (kleinere diepte) van het lichaam.

Belangrijke concepten

• Volume uitgesloten door het lichaam: Alleen het volume van het deel dat daadwerkelijk in de vloeistof of het gas zit telt voor de archimedeskrachtberekening.

• Opwaartse resulterende kracht: Het drukverschil (onderzijde – bovenzijde) levert een kracht die altijd gericht is tegen de richting van de zwaartekracht in, dus naar boven.

• Gelijk aan gewicht van verdreven vloeistof: De archimedeskracht is EXPLICIET gelijk aan het gewicht (massa × zwaartekracht) van de verplaatste hoeveelheid vloeistof (of gas). Dit betekent: hoe groter het verplaatste volume, hoe groter de kracht.

• Universeel bij vloeistoffen én gassen: Archimedeskracht geldt telkens wanneer een lichaam in een andere materiële fase (vloeistof of gas) wordt ondergedompeld.

Blok 6: Formules en eenheden van de archimedeskracht

Formules

1. Volumeformule: $$F = \rho \cdot g \cdot V$$ waarbij - $F$: archimedeskracht (N) - $\rho$: dichtheid van de verplaatste vloeistof/gas (kg/m³) - $g$: valversnelling (m/s²) - $V$: volume van het volledig ondergedompelde deel van het lichaam (m³)

2. Afgeleide formule via hoogte en oppervlak: $$F = \rho \cdot g \cdot h \cdot A$$ Hierbij wordt het verplaatste volume uitgedrukt als oppervlakte (A, m²) × ondergedompelde hoogte (h, m). Dit is nuttig voor blokvormige objecten of cilinders.

Eenhedenoverzicht

• Kracht: Newton (N), met $1\, \mathrm{N} = 1\, \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m/s^2}$

• Dichtheid ([INLINE_EQUATION]\rho[/INLINE_EQUATION]): kg/m³ (hoofdstandaard), bij antwoorden NOOIT vergeten om te rekenen als in g/cm³ gegeven

• Volume (V): m³

• Oppervlak (A): m²

• Hoogte (h): m

• Valversnelling (g): m/s²

Belangrijke aandachtspunten

• Vergelijk altijd de dichtheid van de VLOEISTOF of GAS waarin het lichaam zich bevindt, NIET die van het lichaam zelf, bij berekening van de archimedeskracht.

• Let systematisch op eenhedenconversies (vb. cm³ naar m³ = 10⁻⁶).

• Onjuiste interpretatie van V kan tot fouten leiden: enkel het volume IN de vloeistof telt.

• Na berekening van F kan deze kracht direct vergeleken worden met het gewicht van het lichaam ($m_{lichaam} \cdot g$), wat essentieel is om gedrag te voorspellen (drijven, zinken of zweven).

Blok 7: Drijven, zinken en zweven – Toepassing van dichtheid en archimedeskracht

Kracht- en dichtheidscriteria

Het gedrag van een ondergedompeld lichaam in een vloeistof wordt uitsluitend bepaald door de verhouding tussen de massadichtheid van het lichaam ($\rho_{voorwerp}$) en die van de vloeistof ($\rho_{vloeistof}$). Er zijn drie mogelijke scenario's:

• Drijven: $\rho_{voorwerp} < \rho_{vloeistof}$ - De archimedeskracht is groter dan het gewicht van het lichaam. Het lichaam beweegt omhoog tot het volledig (of gedeeltelijk) boven het oppervlak uitsteekt, totdat het evenwicht bereikt is (F_archimedes = gewicht).

• Zinken: $\rho_{voorwerp} > \rho_{vloeistof}$ - Het gewicht van het lichaam is groter dan de maximale archimedeskracht (die optreedt als het volledig is ondergedompeld). Het lichaam zinkt naar de bodem.

• Zweven: $\rho_{voorwerp} = \rho_{vloeistof}$ - De opwaartse kracht is exact gelijk aan het gewicht van het lichaam wanneer het volledig ondergedompeld is. Het lichaam "zweeft" op een bepaalde hoogte in de vloeistof, zonder naar boven of beneden te bewegen.

Direct toepasbare regels

• Altijd de massa van het lichaam en het volume van het ondergedompelde deel bepalen, met correcte dichtheden!

• Hoe hoger $\rho_{vloeistof}$, hoe groter de archimedeskracht bij gegeven volume.

• Voorspelling van het gedrag is een directe toepassing van bovenstaande relaties.

• Notatie: Let op gebruik van <, >, = bij examenvragen.

Praktijkvoorbeelden

Voorbeeld 1: Druk- en krachtberekening bij onderdompeling

Een kubus van ijzer met ribbe 5,0 cm wordt volledig in water ondergedompeld. Gegeven:

• Dichtheid ijzer: $\rho_{Fe} = 7800\, \mathrm{kg/m^3}$

• Dichtheid water: $\rho_{H_2O} = 1000\, \mathrm{kg/m^3}$

• Ribbe kubus: $a = 0,050$ m

• Oppervlakte boven- en ondervlak: $A = a^2 = 0,0025$ m²

• Kubus ligt met bovenoppervlak op 20 cm diepte in het water.

a) Bereken de totale hydrostatische druk op het bovenvlak.

$$p_{\text{boven}} = p_0 + \rho_{\text{water}} \cdot g \cdot h_{\text{boven}} = 1,0 \cdot 10^5\, \mathrm{Pa} + 1000\, \mathrm{kg/m^3} \cdot 9,81\, \mathrm{m/s^2} \cdot 0,20\, \mathrm{m} = 1,0 \cdot 10^5\, \mathrm{Pa} + 1962\, \mathrm{Pa} = 101962\, \mathrm{Pa}$$

b) Bereken de archimedeskracht op de kubus.

Volume van de kubus: $V = a^3 = (0,050)^3 = 1,25 \cdot 10^{-4}$ m³

$$F_{A} = \rho_{\text{water}} \cdot g \cdot V = 1000\, \mathrm{kg/m^3} \cdot 9,81\, \mathrm{m/s^2} \cdot 1,25 \cdot 10^{-4}\, \mathrm{m^3} = 1,226\, \mathrm{N}$$

Analyse: Aangezien het gewicht van de ijzeren kubus ($m \cdot g = (7800 \cdot 1,25 \cdot 10^{-4})\, \mathrm{kg} \cdot 9,81\, \mathrm{m/s^2} \approx 9,56\, \mathrm{N}$) veel groter is dan de archimedeskracht, zal de kubus zinken.

Voorbeeld 2: Zweefvoorwaarde bij onbekend volume

Een onbekend kunststof voorwerp zweeft volledig ondergedompeld in zout water ($\rho_{zout\,water} = 1030\, \mathrm{kg/m^3}$). De massa is $0,515\, \mathrm{kg}$. Welk volume heeft het voorwerp?

Bij zweven:

$$F_{A} = m \cdot g$$$$\rho_{vloeistof} \cdot g \cdot V = m \cdot g$$$$V = \frac{m}{\rho_{vloeistof}}$$$$V = \frac{0,515}{1030} = 0,000500\, \mathrm{m^3} = 500\, \mathrm{cm^3}$$

Zodra het voorwerp geheel is ondergedompeld en zweeft, moet de dichtheid gelijk zijn aan die van het zout water:

$$\frac{m}{V} = 1030\, \mathrm{kg/m^3}$$

Veel gemaakte fouten

• Vergeten de atmosferische druk ($p_0$) mee te nemen bij totale drukberekeningen; enkel het verschil beschouwen waar de absolute druk gevraagd is.

• Vergissingen in het meetkundig bepalen van het correct ondergedompeld volume (alleen effectieve onderdompeling telt)

• Gebruiken van de dichtheid van het voorwerp in plaats van die van de vloeistof/gas voor de archimedeskracht.

• Eenheden verwisselen: cm³ gebruiken in plaats van m³ zonder omrekening veroorzaakt fouten van een factor 10⁶ in krachtberekeningen.

• Onzorgvuldig notatiegebruik bij het vergelijken van massa met volume – onderscheid maken tussen massa van het lichaam en van de verplaatste vloeistof is kritisch.

• Bij toepassing van zweven, foute interpretatie van gedeeltelijke onderdompeling versus volledig ondergedompeld evenwicht.

• Verkeerd gebruik van g-waarde (incorrect afronden of vergeten lokale variatie).

Samenvatting

• De hydrostatische druk geeft de druk op een willekeurig punt onder het oppervlak van een stilstaande vloeistof; formule: $p = p_0 + \rho g h$.

• Deze druk hangt alleen af van diepte, dichtheid en zwaartekracht, niet van de vorm van het vat.

• Het drukverschil tussen onderzijde en bovenzijde van een voorwerp veroorzaakt de archimedeskracht.

• Archimedeskracht: opwaarts gericht, gelijk aan $\rho_{vloeistof} g V_{ondergedompeld}$; alleen het verplaatste volume van de vloeistof telt.

• Het verschil tussen dichtheid van het voorwerp en die van de vloeistof bepaalt of iets drijft (<), zinkt (>), of zweeft (=).

• Correcte keuze van eenheden en strikte toepassing van wiskundige vergelijkingen en logische vergelijkingssymbolen is essentieel voor een juiste aanpak van examenproblemen.

• Typische valkuilen zijn fouten in eenheden, verkeerd onderdompeld volume, en verwarring tussen massa’s.

Oefenvragen

1. Een massief loden blok (dichtheid: 11350 kg/m³, volume: 2,00·10⁻⁴ m³) wordt in zuiver water met [INLINE_EQUATION]p_0 = 1,01 \cdot 10^5[/INLINE_EQUATION] Pa volledig ondergedompeld. Bereken: - a) De hydrostatische druk op de onderzijde als het midden van het blok zich op 0,75 m diepte bevindt. - b) De archimedeskracht. - c) Of het blok zal drijven, zinken of zweven. Motiveer.

Antwoorden:

a) $$p = p_0 + \rho_{H_2O} \cdot g \cdot h = 1,01 \cdot 10^5 + 1000 \cdot 9,81 \cdot 0,75 = 1,01 \cdot 10^5 + 7358 = 108358 \, \mathrm{Pa}$$ b) $$F_A = \rho_{H_2O} \cdot g \cdot V = 1000 \cdot 9,81 \cdot 2,00 \cdot 10^{-4} = 0,196\, \mathrm{N}$$ c)

Massa van lood: $m = \rho_{Pb} \cdot V = 11350 \cdot 2,00 \cdot 10^{-4} = 2,27\, \mathrm{kg}$ Gewicht: $2,27 \cdot 9,81 = 22,27\, \mathrm{N}$ Gewicht (22,27 N) >> Archimedeskracht (0,196 N): het blok zinkt.

---

2. Een kunststof bol (volume 350 cm³, geopend, massa onbekend) wordt onder het wateroppervlak geduwd. Zolang je niet loslaat, merk je een opwaartse kracht van 3,43 N. - a) Bereken de dichtheid van het kunststof als de bol bij loslaten net zweeft. - b) Leg uit wat er gebeurt als men een hiaat laat in de bol waardoor water kan binnendringen.

Antwoorden:

a) $$V = 350\, \mathrm{cm^3} = 3,5 \cdot 10^{-4}\, \mathrm{m^3}$$ Bij zweven: $$F_A = m_{bol} \cdot g$$$$m_{bol} = \frac{F_A}{g} = \frac{3,43\, \mathrm{N}}{9,81\, \mathrm{m/s^2}} = 0,350\, \mathrm{kg}$$$$\rho_{bol} = \frac{m_{bol}}{V} = \frac{0,350}{3,5 \cdot 10^{-4}} = 1000\, \mathrm{kg/m^3}$$ b) Als de bol niet meer luchtdicht is en water binnendringt, vergroot de massa zonder dat het verplaatste volume noemenswaardig toeneemt. De bol wordt zwaarder – zijn gemiddelde dichtheid stijgt – en zal uiteindelijk zinken zodra $\rho_{bol} > \rho_{water}$. ---

3. Een holle glazen cilinder (volume 1,20·10⁻³ m³, massa 1,05 kg) wordt afwisselend ondergedompeld in petroleum ([INLINE_EQUATION]\rho = 800\, \mathrm{kg/m^3}[/INLINE_EQUATION]) en in zout water ([INLINE_EQUATION]\rho = 1040\, \mathrm{kg/m^3}[/INLINE_EQUATION]). - a) In welk van de beide vloeistoffen zal hij drijven? Toon met berekeningen. - b) Hoe diep zou de cilinder in zout water ondergedompeld zijn bij evenwicht?

Antwoorden:

a) $$Dichtheid cilinder: [INLINE_EQUATION]\rho_{cil} = \frac{1,05}{1,20 \cdot 10^{-3}} = 875\, \mathrm{kg/m^3}[/INLINE_EQUATION]$$

Petroleum: $875 > 800$ → cilinder zinkt.

Zout water: $875 < 1040$ → cilinder drijft.

b)

Gelijkgewicht bij drijven:

$$F_A = m_{cil} \cdot g = \rho_{zout \,water} \cdot g \cdot V_{ondergedompeld}$$$$V_{ondergedompeld} = \frac{m_{cil}}{\rho_{zout \,water}} = \frac{1,05}{1040} = 1,01 \cdot 10^{-3}\, \mathrm{m^3}$$

Fractie ondergedompeld: $\frac{V_{ondergedompeld}}{V_{totaal}} = \frac{1,01 \cdot 10^{-3}}{1,20 \cdot 10^{-3}} = 0,84$ (dus 84 % van de cilinder zit onder water bij drijven in zout water).